新高考数学二轮专题《导数》第23讲 导数解答题之maxmin函数问题（解析版）

1、第23讲 导数解答题之max，min函数问题1已知函数，（1）若直线与曲线相切，求实数的值；（2）用，表示，中的最小值，设函数，讨论零点的个数【解析】解：（1）依题意，则曲线在点，处的切线方程为，又，代入整理得，此直线与重合，得，消去得：，令，则，当时单调递增，当时，单调递减，（1）由知，解得；（2）当时，所以，无零点；当时，（1）（1），从而（1），故为的一个零点；当时，则的零点即为的零点又，所以当时，此时在上单调递增，（1），此时无零点；当时，令，解得：，易知在上单调递减，在上单调递增，又（1），在上无零点，另外，由（1）可知（1）恒成立，即对恒成立，则，所以，故存在，进而存在，使得，即，

2、此时在上存在唯一零点；综上可得：当时，有1个零点；当时，有2个零点2已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）记，表示，中的最小值，设，若函数至少有三个零点，求实数的取值范围【解析】解：（1）的定义域为，令，得当，即时，；当，即时，；当，即时，综上，当时，的单减区间为和，单增区间为；当时，的单减区间为，无增区间；当时，的单减区间为和，单增区间为（2）的唯一一个零点是，由（1）可得：当时，此时至多有两个零点，不符合题意；（）当时，在定义域上单减递减，此时至多有两个零点，不符合题意；（）当时，若（2），即，此时至多有两个零点，不符合题意；若（2），即，此时，即，此时恰好有三个零点，符合题意；若（2）

3、，即，此时，记，所以，所以（a）在上单调递增，所以，此时恰好有四个零点，符合题意，综上，3已知函数，（1）当时，求的单调区间；（2）当时，记函数，若函数至少有三个零点，求实数的取值范围【解析】解：（1）令，当时，令，得当，单调递增；当，单调递减；当，单调递增（2）当时，令，得，当，即时，此时至多有两个零点，不合题意；当，即时，此时至多有两个零点，不合题意；当，即时，若（1），至多有两个零点，不合题意；若（1），得，恰好有三个零点；若（1），得，（2），记（a），则（a），（a），此时有四个零点综上所述，满足条件的实数的取值集合为，4已知函数（1）求证：；（2）用，表示，中的最大值，记，讨论函数

4、零点的个数【解析】证明：（1）：设，定义域为，则，当时，；当时，故在内是递减函数，在内递增函数，所以是的极小值点，也是的最小值点，所以（1），所以解：（2）函数的定义域为，当时，；当时，所以在内是递减函数，在内是递增函数，所以是的极小值点，也是的最小值点，即（1），若，则，当时，；当时，；当时，所以，于是只有一个零点当时，则，当时，此时；当时，此时所以没有零点当时，根据（1）知：，而，所以，又因为（1），所以在上有一个零点，从而一定存在，使得（c）（c），即，即，当时，所以，从而，于是有两个零点和1当时，有两个零点综上：当时，有一个零点；当时，没有零点；当时，有两个零点5已知函数，（1）当，且时，证明：；（2）定义，设函数，试讨论零点的个数【解析】（1）证明：当时，要证，需证，即，即证：当时，；当时，令，则，在上单调递增，在上单调递增，当时，（1），此时；当时，（1），此时故，且时，（2）解：当时，在上无零点；当时，（1）（1），则（1），是的唯一零点；当时，在上无零点，在上的零点个数等价于在上的零点个数，若时，在上单调递增，（1），此时无零点；若即时，令，得；令，得，在上单调递增，在上单调递减，令（a），则（a），（a）在