新教材高一数学必修第二册暑假作业第02练《平面向量的数量积》（解析版）

1、第02练 平面向量的数量积【知识梳理】知识点一 平面向量数量积的含义与物理意义【知识点的知识】1、向量的夹角概念： 对于两个非零向量，如果以O为起点，作，那么射线OA，OB的夹角叫做向量与向量的夹角，其中02、向量的数量积概念及其运算：（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为，那么我们把|cos叫做与的数量积，记做即：|cos规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：0注意： 表示数量而不表示向量，符号由cos决定； 符号“”在数量积运算中既不能省略也不能用“”代替；在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0（2）投影：在上的投影是一个数量|cos，它可以为正，可以为负，也可以为0

2、（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，3、向量的夹角公式：4、向量的模长：5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度|与在的方向上的投影|cos的积知识点二 平面向量数量积的性质及其运算【知识点的知识】1、平面向量数量积的重要性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为，则：（1）|cos；（2）0；（判定两向量垂直的充要条件）（3）当，方向相同时，|；当，方向相反时，|；特别地：|2或|（用于计算向量的模）（4）cos（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）（5）|2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：；（2）数乘向量的结合律

3、：（）（）（）；（3）分配律：（）（）【平面向量数量积的运算】平面向量数量积运算的一般定理为（）222+2（）（+）22（）（），从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样知识点三 数量积表示两个向量的夹角【知识点的知识】我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角，并且还有这样的公式：cos通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了知识点四 向量的投影【知识点的知识】1、两个向量的数量积及其性质：（1）|cos，；（2）0（，为非零向量）；（3）|22，|2、向量的投影：|cosR，称为向量在方向上的投影

4、 1已知，且，则在上的投影向量为ABCD【分析】由先求出，先表示出在上的投影，再结合投影向量概念即可求解【解答】解：因为，所以，即，又因为，设的夹角为，所以在上的投影为：，所以在上的投影向量为故选：【点评】本题考查平面向量的意义，考查学生的运算能力，属于中档题2已知，且与夹角，则在上的投影为A1BCD【分析】利用在上的投影为，即可得出答案【解答】解：，所以，所以在上的投影为，故选：【点评】本题考查向量的数量积，向量的投影，属于基础题3已知向量，则在上的投影向量为ABCD【分析】可求在上的投影，然后即可得出在上的投影向量【解答】解：向量，则在上的投影为：，在上的投影向量为故选：【点评】本题考查了

5、投影和投影向量的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题4已知为的外心，若，则ABCD【分析】过圆心作于点，而，由此容易得解【解答】解：如图，过圆心作于点，则为中点，故选：【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查运算求解能力，属于基础题5已知为所在平面内一点，若，则AB8CD16【分析】由题意可知，是的外心，利用数量积投影意义即可得到结果【解答】解：设，分别为，的中点，是边，的中垂线，是的外心，故选：【点评】本题考查了数量积投影意义，属于中档题6若，且，则的值为AB1CD【分析】直接根据数量积定义，向量垂直即可求解【解答】解：，且，故选：【点评】本题考查数量积定义，向量垂直，属基础题7设为单位

6、向量，当，的夹角为时，在上的投影向量为ABCD【分析】由平面向量数量积运算，结合投影向量的概念求解即可【解答】解：由题意可知：，则在上的投影向量为，故选：【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了投影向量的概念，属基础题8如图，在等腰梯形中，则ABCD【分析】以的中点为原点，建立平面直角坐标系，写出，的坐标，再由平面向量的坐标运算法则，即可得解【解答】解：以的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，因为，所以，又，所以，所以，所以故选：【点评】本题考查平面向量在几何中的应用，遇到规则图形，一般建立坐标系，将问题转化为向量的坐标运算可简化试题难度，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题9

7、在中，分别是边上的三等分点，则的值是A6BC8D【分析】作图，根据向量三角形法用表示出，结合已知条件得答案【解答】解：如图，故选：【点评】本题考查平面向量数量积的运算性质，数形结合思想，属于中档题10在中，则ABCD15【分析】由平面向量数量积运算，结合向量的夹角求解即可【解答】解：在中，则，故选：【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量的夹角，属基础题11若向量，满足，则与的夹角为ABCD【分析】由平面向量数量积运算，结合向量夹角的运算求解即可【解答】解：已知向量，满足，则，即，设与的夹角为，则，又，则与的夹角为故选：【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量夹角的运算

8、，属基础题二多选题（共2小题）12已知向量，的夹角为，且，则和在方向上的投影的数量分别等于A4B2C1D【分析】根据平面向量的数量积计算模长，根据投影的定义计算对应的数值【解答】解：向量，的夹角为，所以；所以，所以；所以在方向上的投影的数量为故选：【点评】本题考查了平面向量的数量积计算问题，也考查了投影的计算问题，是基础题13在中，边上的中线，则下列说法正确的有ABCD的最大值为【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，向量的数量积运算，正弦定理和余弦定理的应用，基本不等式的应用判断、的结论【解答】解：在中，边上的中线，对于，由余弦定理知，化简得，即，故正确；对于，故错误；对于：在中，由余弦定

9、理知，当且仅当时取等号；由可知，由选项可知，则，解得：，故，故错误；对于，所以的最大值为，故正确；故选：【点评】本题考查平面向量的数量积运算，正弦定理和余弦定理的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题三填空题（共2小题）14已知向量，方向相反，且，则在方向上的数量投影为 【分析】根据投影的定义，应用公式在方向上的数量投影为，求解即可【解答】解：向量，方向相反，且，根据投影的定义可得：在方向上的数量投影为故答案为：【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用解答关键在于要求熟练应用公式，是基础题15已知向量，满足，与的夹角为，则【分析

10、】根据平面向量数量积的定义与性质即可求解【解答】解：由题意可得，故答案为：【点评】本题考查平面向量数量积的定义与性质，属基础题16如图，是圆的弦，已知，则2【分析】如图所示，过点作，垂足为可得，再利用数量积运算性质即可得出【解答】解：如图所示，过点作，垂足为，故答案为：2【点评】本题考查了圆的垂经定理、向量垂直与数量积直角的关系、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17在中，则在方向上的投影为【分析】先根据正弦定理求出边的长度，再由题意得出向量与的夹角为，利用投影的定义即可求解【解答】解：在中，由正弦定理得：，又根据题意：向量与的夹角为，向量与的夹角为，则在方向上的投影为故答

11、案为：【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用18已知三点在平面直角坐标系所在平面内，点、分别在、轴正半轴上滑动，则的最大值为 【分析】建系，利用坐标法通过向量数量积构建函数模型，根据函数思想求解【解答】解：在中，如图以直线为新的横轴轴，以直线为新的纵轴轴建立新的直角坐标系，则，中点为，设点为，则点在以为直径的圆上，又圆方程为，令，的最大值为故答案为：【点评】本题考查平面向量数量积，坐标法，函数思想，属中档题19已知平面向量满足，设，若，则的取值范围为 ，【分析】设，结合题意可得，从而化简可得，进而可得，根据向量三角不等式可求解【解答】解：设，则，故，即，又，即

12、，故答案为：，【点评】本题考查了平面向量运算的综合应用及向量三角不等式的应用，属于中档题20已知向量满足为非零的实数），设向量的夹角为，有下列四个命题其中正确的命题有 （填写所有正确结论的编号）存在，使得；不存在，使得；当变化时，的最大值为1；当变化时，的最小值为【分析】将两边平方，再由，解关于的方程，即可；由，解之即可；先由平面向量夹角公式求得，再令，观察方程是否有解，可进行排除；不妨取，根据方程有解，推出的最小值不可能为【解答】解：因为，所以，若存在，使得，则，解得或1，因为为非零常数，所以，即正确；若，则，解得，即错误；由知，所以，若，则，解得，与为非零实数相矛盾，即错误；取，则，化简得

13、，该方程有解，即存在实数使得，故错误故答案为：【点评】本题考查平面向量的综合，熟练掌握平面向量的线性运算和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题21在平面内，定点，满足，且，则；平面内的动点，满足，则的最大值是 【分析】利用向量线性运算法则和数量积运算法则计算出，进而根据，平方后计算出，从而求出；然后建立平面直角坐标系，设出，表达出和，利用三角函数有界性求出最大值【解答】解：因为，所以，两边平方得：，即，解得：，因为，所以，因为所以；可得到是等边三角形，且边长为，如图，以为坐标原点，所在直线为轴，垂直为轴建立平面直角坐标系，因为，所以设，由可得：是线段的中点，则，

14、则当时，取得最大值，最大值为故答案为：，【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题22在梯形中，与相交于点若，则；若，为线段延长线上的动点，则的最小值为 【分析】易知，且四边形为菱形，根据平面向量的运算法则，将表示成以，为基底的向量运算，即可得解；设，由，可求得，再将表示成以，为基底的向量运算，然后由二次函数的性质，得解【解答】解：由题意知，且四边形为菱形，所以，所以；设，则，因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以当时，取得最小值，为故答案为：；【点评】本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的线性和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，