人教版八年级数学上册28《分式方程的解法及应用》知识讲解+巩固练习(基础版)(含答案)

1、PAGE 分式方程的解法及应用（基础） 【学习目标】1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程2. 会列出分式方程解简单的应用问题【要点梳理】【高清课堂 分式方程的解法及应用 知识要点】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思

2、想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方

3、程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错

4、误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.【典型例题】类型一、判别分式方程1、下列方程中，是分式方程的是（ ）A BC D，（，为非零常数）【答案】B；【解析】A、C两项中的方程尽管有分母，但分母都是常数；D项中的方程尽管含有分母，但分母中不含未知数，由定义知这三个方程都不是分式方程，只有B项中的方程符合分式方程的定义【总

5、结升华】要判断一个方程是否为分式方程，就看其有无分母，并且分母中是否含有未知数类型二、解分式方程2、 解分式方程（1）；（2）【答案与解析】解：（1），将方程两边同乘，得解方程，得检验：将代入，得 是原方程的解（2），方程两边同乘以，得解这个方程，得检验：把代入最简公分母，得251100 原方程的解是【总结升华】将分式方程化为整式方程时，乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项特别提醒：解分式方程时，一定要检验方程的根举一反三：【变式】解方程：【答案】解：，方程两边都乘，得，解这个方程，得，检验：当时， 是增根， 原方程无解类型三、分式方程的增根3、（2015春安岳县期中）若解关于

6、x的分式方程会产生增根，求m的值【思路点拨】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值【答案与解析】解：方程两边都乘（x+2）（x2），得2（x+2）+mx=3（x2）最简公分母为（x+2）（x2），原方程增根为x=2，把x=2代入整式方程，得m=4把x=2代入整式方程，得m=6综上，可知m=4或6【总结升华】增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值举一反三：【变式】如果方程有增根，那么增根是_【答案】；提示：因为增根是使分式的分母为零的根，由分母或可得所以增根是类型四、分式方程的应用4、

7、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等求甲、乙两班每小时各种多少棵树?【思路点拨】本题的等量关系为：甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等【答案与解析】解：设甲班每小时种棵树，则乙班每小时种棵树由题意可得，解这个方程，得经检验是原方程的根且符合题意所以(棵)答：甲班每小时种20棵树，乙班每小时种22棵树【总结升华】解此题的关键是设出未知数后，用含的分式表示甲、乙两班种树所用的时间举一反三：【变式】（2016淮安）王师傅检修一条长600米的自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，每小时检修管

8、道长度是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成任务，王师傅原计划每小时检修管道多少米？【答案】解：设原计划每小时检修管道x米 由题意，得 解得 经检验，是原方程的解且符合题意 答：原计划每小时检修管道50米【巩固练习】一.选择题1下列关于的方程中，不是分式方程的是（ ）ABCD2解分式方程，可得结果( )A.B.C.D.无解3要使的值和的值互为倒数，则的值为( )A.0B.1C.D.14已知，若用含的代数式表示，则以下结果正确的是( )A.B.C.D.5（2016周口校级一模）若关于的分式方程有增根，则m的值是（）A.B. C. D. 或6（汉阳区期末）一项工程需在规定日期完成，如果甲队独做，就

9、要超规定日期1天，如果乙队单独做，要超过规定日期4天，现在由甲、乙两队共做3天，剩下工程由乙队单独做，刚好在规定日期完成，则规定日期为（）A 6天B8天C10天D7.5天二.填空题7. 当_时，分式与的值互为相反数8仓库贮存水果吨，原计划每天供应市场吨，若每天多供应2吨，则要少供应_天9（2016齐河县二模）分式方程的解为 10当_时，关于的方程的根是111若方程有增根，则增根是_12关于的方程的解是负数，则的取值范围为_三.解答题13.（2015贺州）解分式方程：=14. 甲、乙两地相距50，A骑自行车，B乘汽车，同时从甲城出发去乙城已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，B中途休息了0.5小

10、时还比A早到2小时，求自行车和汽车的速度15.有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C； 【解析】C选项中分母不含有未知数，故不是分式方程.2. 【答案】D； 【解析】是原方程的增根.3. 【答案】B； 【解析】由题意，化简得：解得.4. 【答案】C； 【解析】由题意，化简得：，所以选C.5. 【答案】C； 【解析】把x=2代入整式方程：mx1=3x6，解得：m=3.6. 【答案】B； 【解析】解：设工作总量为1，规定日期为x天，则若单独做，甲队需x+1天，乙队需x+4天，根据题意列方程得：3（+

11、）+=1，解方程可得x=8，经检验x=8是分式方程的解，故选B二.填空题7. 【答案】18； 【解析】，解得.8. 【答案】； 【解析】原计划能供应天，现在能供应天，则少供应天.9. 【答案】x=2； 【解析】解：去分母得：x（x+1）+1=（x+1）（x1），去括号，得：x2+x+1=x21，移项、合并同类项，得：x=2，检验得（x+1）（x1）=30，所以方程的解为：x=2，故答案为：x=210.【答案】； 【解析】将代入原方程，得，解得.11.【答案】； 【解析】原方程化为：，解得，经检验是增根.12.【答案】且a0；【解析】原方程化为，解得.x-1，解得a0.三.解答题13.【解析】解：原方程可化为：=，两边同时乘以（2x+1）（2x1）得：x+1=3（2x1）2（2x+1），x+1=6x34x2，解得：x=6经检验：x=6是原分式方程的解原方程的解是x=61