人教版八年级数学上册09《角的平分线的性质》知识讲解+巩固练习(提高版)（含答案）

1、PAGE 角的平分线的性质（提高）【学习目标】1掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质2掌握角平分线的判定及角平分线的画法3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题【要点梳理】【高清课堂：388612 角平分线的性质，知识要点】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分ADB，点P是CD上一点，且PEAD于点E，PFBD于点F，则PEPF.要点二、角的平分线的判定 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PEAD于点E，PFBD于点

2、F，PEPF，则PD平分ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：ABC的内心为，旁心为，这四个点到ABC三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、

3、角的平分线的性质及判定1、（秋新洲区期末）如图，在ABC中，ABC的平分线与ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP（1）求证：PA平分BAC的外角CAM；（2）过点C作CEAP，E是垂足，并延长CE交BM于点D求证：CE=ED【思路点拨】（1）过P作PTBC于T，PSAC于S，PQBA于Q，根据角平分线性质求出PQ=PS=PT，根据角平分线性质得出即可；（2）根据ASA求出AEDAEC即可【答案与解析】证明：（1）过P作PTBC于T，PSAC于S，PQBA于Q，如图，在ABC中，ABC的平分线与ACB的外角的平分线相交于点P，PQ=PT，PS=PT，PQ=PS，AP平分DAC，即PA平分BA

4、C的外角CAM；（2）PA平分BAC的外角CAM，DAE=CAE，CEAP，AED=AEC=90，在AED和AEC中AEDAEC，CE=ED【总结升华】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线并进一步求出PQ=PS和AEDAEC，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等举一反三：【变式】如图，AD是BAC的平分线，DEAB，交AB的延长线于点E，DFAC于点F，且DBDC.求证：BECF.【答案】证明：DEAE，DFAC，AD是BAC的平分线， DEDF，BEDDFC90 在RtBDE与RtCDF中， RtBDERtCDF（HL） BECF2、如图，A

5、D是ABC的角平分线，DFAB，垂足为F，DEDG，ADG和AED的面积分别为50和39，则EDF的面积为：（ ） A.11 B.5.5 C.7 D.3.5【答案】 B；【解析】解： 过D点作DHAC于H， AD是ABC的角平分线，DFAB，DHACDFDH在RtEDF和RtGDH中DEDG，DFDHRtEDFRtGDH同理可证RtADF和RtADH503911，EDF的面积为5.5 【总结升华】本题求EDF的面积不方便找底和高，利用全等三角形可用已知ADG和AED的面积来表示EDF面积.【高清课堂：388612 角平分线的性质，例6】3、（2016湖州）如图，ABCD，BP和CP分别平分AB

6、C和DCB，AD过点P，且与AB垂直若AD=8，则点P到BC的距离是（）A8B6C4D2【思路点拨】过点P作PEBC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等即可推出P到BC的距离.【答案与解析】解：过点P作PEBC于E，ABCD，PAAB，PDCD，BP和CP分别平分ABC和DCB，PA=PE，PD=PE，PE=PA=PD，PA+PD=AD=8，PA=PD=4，PE=4故选C【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键类型二、角的平分线的性质综合应用4、如图，P为ABC的外角平分线上任一点.求证：PBPCABAC.【思路点拨】在BA的延长线

7、上取ADAC，证PADPAC，从而将四条线段转化到同一个PBD中，利用三角形两边之和大于第三边解决问题.【答案与解析】证明：当点P与点A不重合时，在BA延长线上取一点D，使ADAC，连接PD.P为ABC的外角平分线上一点，12 在PAD和PAC中PADPAC（SAS），PDPC在PBD中，PBPDBD，BDABADPBPCABAC.当点P与点A重合时，PBPCABAC.综上，PBPCABAC.【总结升华】利用角平分线的对称性，在角两边取相同的线段，通过（SAS）构造全等三角形，从而把分散的线段集中到同一个三角形中.举一反三：【变式】（秋启东市校级期中）如图，四边形ABDC中，D=ABD=90，

8、点O为BD的中点，且OA平分BAC（1）求证：OC平分ACD；（2）求证：OAOC；（3）求证：AB+CD=AC【答案】证明：（1）过点O作OEAC于E，ABD=90，OA平分BAC，OB=OE，点O为BD的中点，OB=OD，OE=OD，OC平分ACD；（2）在RtABO和RtAEO中，RtABORtAEO（HL），AOB=AOE，同理求出COD=COE，AOC=AOE+COE=180=90，OAOC；（3）RtABORtAEO，AB=AE，同理可得CD=CE，AC=AE+CE，AB+CD=AC【巩固练习】一.选择题1. 已知，如图AD、BE是ABC的两条高线，AD与BE交于点O，AD平分BA

9、C，BE平分ABC，下列结论：（1）CDBD, (2)AECE (3)OAOBODOE (4)AEBDAB，其中正确结论的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.42.（2016招远市模拟）如图，在ABC中，AD是角平分线，DEAB于点E，ABC的面积为7，AB=4，DE=2，则AC的长是（）A4 B3 C6 D53. 如图，在RtABC中，ACB90，CAB30，ACB的平分线与ABC的外角平分线交于E点，则AEB（ ） A.50 B.45 C.40 D .354. 如图，ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PRAB，PSAC，垂足分别是R、S.若AQPQ，PRPS，下列结论：ASA

10、R；PQAR；BRPCSP.其中正确的是（ ） A. B. C. D.5.（2015春成都校级期末）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）AABC的三条中线的交点 BABC三边的中垂线的交点CABC三条高所在直线的交点 DABC三条角平分线的交点6中，AD是的平分线，且.若，则 的大小为 （ ）A B C D 二.填空题7. 在三角形纸片ABC中，C90，A30，AC3.折叠该纸片，使点A与点B重合，折痕与AB、AC分别相交于点D和点E（如图），折痕DE的长为 .8. 如图，已知在中，平分，于，若，则的周长为 9.（2016

11、邯郸二模）如图所示，已知ABC的周长是20，OB、OC分别平分ABC和ACB，ODBC于D，且OD=3，则ABC的面积是 10.（2015春海门市期末）如图ABC中，AD平分BAC，AB=4，AC=2，且ABD的面积为3，则ACD的面积为 11在数学活动课上，小明提出这样一个问题：BC90，E是BC的中点，DE平分ADC，CED35，如图，则EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是_ 12. 如图，在ABC中，ABC100，ACB20，CE平分ACB,D为AC上一点，若CBD20，则CED_.三.解答题13已知：如图，OD平分POQ，在OP、OQ边上取OAOB，点C在

12、OD上，CMAD于M，CNBD于N.求证：CMCN14（秋五华区校级期中）四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，ADC+B=180求证：2AE=AB+AD15已知：如图，在ABC中，AD是ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有EDFEAF180试判断DE和DF的大小关系并说明理由【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】（1）（2）（4）是正确的.2.【答案】B； 【解析】解：过点D作DFAC于F，AD是ABC的角平分线，DEAB，DE=DF=2，SABC=42+AC2=7，解得AC=3故选：B3.【答案】B； 【解析】可证EA是CAB外角平分线.过点E作EF、

13、EM、EN分别垂直于CB、AB、CA，并且交点分别为F、M、N，所以EFEMEN.所以EA是CAB的外角平分线.4.【答案】C； 【解析】依据角平分线的判定定理知AP平分BAC，正确，因AQPQ，PAQAPQBAP，所以正确.5.【答案】D；【解析】解：凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭选择ABC三条角平分线的交点故选D6.【答案】A；【解析】在AB边上截取AEAC，连接DE，可证ACDAED，可推出CDDEBE，2BC，所以B40.二.填空题7. 【答案】1； 【解析】由题意设DECE，BCBDAD，AE2，AC 33，1.8. 【答案】15； 【解析】BCCEBEACBEABBEADBDBE

14、DEBDBE15.9. 【答案】30【解析】解：如图，连接OA，过O作OEAB于E，OFAC于F，OB、OC分别平分ABC和ACB，OE=OF=OD=3，ABC的周长是22，ODBC于D，且OD=3，SABC=ABOE+BCOD+ACOF=（AB+BC+AC）3=203=3010.【答案】； 【解析】解：过点D作DEAB，DFAC，AD平分BAC，DE=DF，AB=4，ABD的面积为3，SABD=ABDE=4DE=3，解得DE=；DF=，AC=2，SACD=ACDF=2=故答案为：11.【答案】35；【解析】作EFAD于F，证DCEDFE（HL），再证AFEABE（HL），可得FEB18070110，AEB55，EAB35.12.【答案】10；【解析】考虑BDC中， EC 是C的平分线， EB是B的外角平分线， 所以E是BDC的一个旁心， 于是ED平分BDA. CED ADE DCE ADB DCB DBC 20 10.三.解答题13.【解析】证明：OD平分POQAODBOD在AOD与BOD中AODBOD（SAS）ADOBDO又CMAD于M，CNBD于N.CMCN（角平分线上的点到角两边的距离相等）.14.【解析】证明：过C作CFAD于F，AC平分BAD，FAC=EAC，CE