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文档简介

1、第九章 曲线积分与曲面积分 第五节 对坐标的曲面积分 牛牛文库文档分享一、有向曲面观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧 牛牛文库文档分享 通常我们遇到的曲面都是双侧的曲面的方向可以用曲面上的单位法向量n cosa , cosb , cosg的方向来确定 例如由方程zz(x, y)表示的曲面分为上侧与下侧，xyzO 在曲面的上侧cosg 0， 在曲面的下侧cosg 0， 在曲面的左侧cosb 0， 在曲面的后侧cosa 0 牛牛文库文档分享曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题: 牛牛文库文档分享分别是曲面在点（x,y,z)的法

2、线向量与X，Y，Z轴正向的夹角类似地有：其中 牛牛文库文档分享二、对坐标的曲面积分的概念与性质实例: 流向曲面一侧的流量. 牛牛文库文档分享 牛牛文库文档分享1. 分割则该点流速为 .法向量为 . 牛牛文库文档分享2. 求和 牛牛文库文档分享3.取极限 牛牛文库文档分享 牛牛文库文档分享概念及性质 牛牛文库文档分享被积函数积分曲面类似可定义有向面积元 牛牛文库文档分享存在条件:组合形式:物理意义: 牛牛文库文档分享性质: 牛牛文库文档分享三、计算法 牛牛文库文档分享 牛牛文库文档分享注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.(前正后负)(上正下负)(右正左负) 牛牛文库文档分享这就是把对坐

3、标的曲面积分化成二重积分的计算公式要点为：代：将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入 被积函数，将其化成二元函数投：将积分曲面投影到与有向面积元素（如dxdy）中两个变量同名的坐标面上（如xoy 面）定号： 由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分 的正负号一代、二投、三定号 曲面取上侧、前侧、右侧时为正 曲面取下侧、后侧、左侧时为负注:积分曲面的方程必须表示为单值显函数 否则分片计算，结果相加 牛牛文库文档分享解 牛牛文库文档分享 牛牛文库文档分享例2 计算所截得的在第一卦限的部分的前侧oxyz解 牛牛文库文档分享oxyz 牛牛文库文档分享例3 计算平面 x = 0 , y = 0 , z =

4、0 , x + y + z = 1 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧oxyz解分成四个部分左侧下侧后侧上侧 牛牛文库文档分享同理 牛牛文库文档分享同理注对坐标的曲面积分的对称性被积表达式具有轮换对称性，即将被积 表达式中的所有字母按xyz顺序代换后原式不变积分曲面及其侧具有对称性，这是指曲面 在各坐标面上的投影区域均相同，且配给 的符号也相同 牛牛文库文档分享例4 计算解上侧下侧 牛牛文库文档分享 牛牛文库文档分享 牛牛文库文档分享 牛牛文库文档分享四、两类曲面积分之间的联系 牛牛文库文档分享 牛牛文库文档分享 牛牛文库文档分享两类曲面积分之间的联系: 牛牛文库文档分享解 牛牛文库文档分享 牛牛文库文档分享 牛牛文库文档分享六、小结1、物理意义2、计算时应注意以下两点曲面的侧

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