2014年六年级数学思维训练：数论综合一

1、2014年六年级数学思维训练：数论综合一一、兴趣篇1如果某整数同时具备如下3条性质：这个数与1的差是质数；这个数除以2所得的商也是质数；这个数除以9所得的余数是5那么我们称这个整数为幸运数求出所有的两位幸运数2一个五位数825，空格中的数未知，请问：（1）如果该数能被72整除，这个五位数是多少？（2）如果该数能被55整除，这个五位数是多少？3在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有个4一个各位数字均不为0的三位数能被8整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数（例如，按此方法由247将得到47、27、24）已知这些两位数中一个是5的倍数，另一个

2、是6的倍数，还有一个是7的倍数原来的三位数是多少？526460的所有约数中，6的倍数有多少个？与6互质的有多少个？6一个自然数N共有9个约数，而N1恰有8个约数，满足条件的自然数中，最小的和第二小的分别是多少？7一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111，这个自然数是8有一个算式65432l小明在上式中把一些“”换成“”，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？9一个两位数分别除以7、8、9，所得余数的和为20问：这个两位数是多少？10信息在战争中是非常重要的，它常以密文的方式传送对方能获取密文却很难知道破译密文的密码，这样就达到保密的作用有一天我军截获了敌军的一串密文：A378

3、8421C，字母表示还没有被破译出来的数字如果知道密码满足如下条件：密文由三个三位数连在一起组成，每个三位数的三个数字互不相同；三个三位数除以12所得到的余数是三个互不相同的质数；三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数你能破解此密文吗？二、解答题（共12小题，满分0分）11已知是495的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字请问：三位数是多少？1211个连续两位数乘积的末4位都是0，那么这11个数的总和最小是多少？13有一个算式98765432l小明在上式中把一些“”换成“”，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？14有15位同学，每位同学都有个编号，他们的编号是1号到15号1号同学写

4、了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号接着说：“这个数能被3整除”依此下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除1号一一作了验证：只有两个同学（他们的编号是连续的）说得不对，其余同学都对问：（1）说的不对的两位同学他们的编号是哪两个连续的自然数？（2）如果1号同学写的自然数是一个五位数，那么这个自然数为多少？15有2008盏灯，分别对应编号为1至2008的2008个开关现在有1至2008的2008个人来按动这些开关已知第1个人按的开关的编号是1的倍数（也就是说他把所有开关都按了一遍），第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数依此做下去，第2008个人按的开

5、关的编号是2008的倍数，如果刚开始的时候，灯全是亮着的，那么这2008个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？16狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳米，黄鼠狼每次跳米，它们每秒钟都只跳一次比赛途中，从起点开始每隔米设有一个陷井，当它们之中有一个掉进陷井时，另一个跳了多少米？17一个偶数恰有6个约数不是3的倍数，恰有8个约数不是5的倍数请问：这个偶数是多少？18一个合数，其最大的两个约数之和为1164求所有满足要求的合数19已知a与b是两个正整数，且ab请问：（1）如果它们的最小公倍数是36，那么这两个正整数有多少种情况？（2）如果它们的最小公倍数是120，那么这两个正整数有多少种情况？20已知a

6、与b的最大公约数是14，a与c的最小公倍数是350，b与c的最小公倍数也是350满足上述条件的正整数a、b、c共有多少组？21已知两个连续的两位数除以5的余数之和是5，除以6的余数之和是5，除以7的余数之和是1求这两个两位数22在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），如图小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？三、解答题（共8小题，满分0分）23有6个互不相同且不为0的自然数，其中任意5个数的和都是7的倍

7、数，任意4个数的和都是6的倍数请问：这6个数的和最小是多少？24设N=30130220052006，请问：（1）N的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”？（2）用N不断除以12，直到结果不能被12整除为止，一共可以除以多少次12？25老师告诉贝贝和晶晶一个小于5000的四位数，这个四位数是5的倍数贝贝计算出它与5！的最小公倍数，晶晶计算出它与10！的最大公约数，结果发现贝贝的计算结果恰好是晶晶的5倍锖问：这个四位数是多少？26一个正整数，它分别加上75和48以后都不是120的倍数，但这两个和的乘积却能被120整除这个正整数最小是多少？27a、b、c是三个非零自然数a和b的最小公倍数是300，c

8、和a、c和b的最大公约数都是20，且abc请问：满足条件的a、b、c共有多少组？28有一类三位数，它们除以2、3、4、5、6所得到的余数互不相同（可以含0）这样的三位数中最小的三个是多少？29有一个自然数除以15、17、19所得到的商与余数之和都相等，并且商和余数都大于1，那么这个自然数是多少？30有4个互不相同的三位数，它们的首位数字相同，并且它们的和能被它们之中的3个数整除，请写出这4个数2014年六年级数学思维训练：数论综合一参考答案与试题解析一、兴趣篇1如果某整数同时具备如下3条性质：这个数与1的差是质数；这个数除以2所得的商也是质数；这个数除以9所得的余数是5那么我们称这个整数为幸运

9、数求出所有的两位幸运数【分析】先找出满足（3）的这个数除以9的余数是5，即找出小于100的9的倍数减去5即可，然后再从（3）中找出满足（1）的即这个数与1的差是质数，最后在从满足（1）的数中找出满足（2）的这个数除以2所得的商也是质数，据此解答【解答】解：100以内9的倍数有：9、18、27、36、45、54、63、72、80、81、90、99，满足（3）这个数除以9的余数是5：14、23、32、41、50、59、68、77、86、95满足（1）这个数与1的差是质数：14、32、68满足（2）这个数除以2所得的商也是质数：14 答：这个幸运数是142一个五位数825，空格中的数未知，请问：（1

10、）如果该数能被72整除，这个五位数是多少？（2）如果该数能被55整除，这个五位数是多少？【分析】（1）因为72=89，根据被8或9整除数的特征分析探讨得出答案即可；（2）因为55=511，根据被8或9整除数的特征分析探讨得出答案即可【解答】解：（1）因为72=89，所以8+2+5+=15+2能被9整除，符合条件的只有6，而256恰好能被8整除，所以这个五位数为86256（2）因为55=511，所以能被5整除，末尾只能是5和0，8+2（5+）=5+能被11整除，当末尾是5时，没有答案；当末尾是0时，这个五位数为852503在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有18个【

11、分析】能被11整除的数的性质：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除结合题意，只有两种情况：奇数位数字和=12，偶数位数字和=1奇数位数字和=1，偶数位数字和=12【解答】解：奇数位数字和=12，偶数位数字和=1，为3190，3091，4180，4081共4种可能奇数位数字和=1，偶数位数字和=12为1309，1408，1507，1606，1705，1804，1903；319，418，517，616，715，814，913共14种可能共4+14=18种故答案为：184一个各位数字均不为0

12、的三位数能被8整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数（例如，按此方法由247将得到47、27、24）已知这些两位数中一个是5的倍数，另一个是6的倍数，还有一个是7的倍数原来的三位数是多少？【分析】设这个三位数的百位数为a，十位数字为b，个位数字为c，根据被8整除数的特征和被5、6、7整除的数的特征分析探讨得出答案即可【解答】解：设这个三位数的百位数为a，十位数字为b，个位数字为c，因为三位数能被8整除，所以c为非0偶数，三个两位数中ab，bc，ac中bc与ac均为以c结尾的数字，而c为非0偶数，所以能是5的倍数的就只能是ab了，所以b=5，因为三位数能被8整除，所以

13、设100a+105+c=8k（k为整数），得C+50=4（25a+2k）为4的倍数，所以c只能为2或6，当c=2时，bc=52既不是6的倍数也不是7的倍数，所以c=6，bc=56是7的倍数，所以ac是6的倍数，所以a是6，所以原来的三位数是656526460的所有约数中，6的倍数有多少个？与6互质的有多少个？【分析】首先将26460分解质因数，再进一步根据约数和的计算方法，找出含有6的质因数和不含6的质因数的数的个数即可【解答】解：26460=2233572，26460所有约数中6的倍数的数，即求264606=4410的所有约数4410=232572，故约数个数为（1+1）（2+1）（1+1）

14、（2+1）=36个，也就是6的倍数有36个；与6互质，即约数中不含质因子2和3即所求为572=245的所有约数，故与6互质的有 （1+1）（2+1）=6个，也就是与6互质的有6个6一个自然数N共有9个约数，而N1恰有8个约数，满足条件的自然数中，最小的和第二小的分别是多少？【分析】因为9=33=91，所以可以把N看做只有一个质因数或两个质因数，进一步从最小的质因数考虑，逐步探讨得出答案即可【解答】解：根据约数个数公式可知：当N=an，即N只有一个质因数时，n+1=9，所以n=8，这样最小的N=28=256，N1=255=3517，恰好有（1+1）（1+1）（1+1）=8个约数，符合题意；当N=

15、anbm，即N有两个质因数时，（n+1）（m+1）=9，所以n=m=2，这样最小的N=2232=36，N1=35=57有（1+1）（1+1）=4个约数，不符合题意；第二小的N=2252=100，N1=99=3211有（2+1）（1+1）=6个约数，符合题意；第三小的N=2272=196，N1=195=3513有（1+1）（1+1）（1+1）=8个约数，符合题意；综上所述，最小的N是196，第二小的是2567一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111，这个自然数是74【分析】因为111是奇数，而奇数=奇数+偶数，所以所求数的最大约数与次大约数必为一奇一偶而一个数的最大约数是其自身，而一个

16、数如有偶约数此数必为偶数，而一个偶数的次大约数应为这个偶数的，设这个次大约数为a，则最大约数为2a，由此得出方程：a+2a=111，求得a，进而得出这个自然数【解答】解：因为111是奇数，而奇数=奇数+偶数，所以所求数的最大约数与次大约数必为一奇一偶而一个数的最大约数是其自身，而一个数如有偶约数此数必为偶数，而一个偶数的次大约数应为这个偶数的，设这个次大约数为a，则最大约数为2a，则：a+2a=111 a=37，2a=74，即所求数为74故答案为：748有一个算式65432l小明在上式中把一些“”换成“”，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？【分析】要使最后的结果还是自然数，可把6、

17、4分解质因数，再根据分解质因数的情况来确定把多少个乘号换成除号据此解答【解答】解：65432l=（32）5（22）321=（32）54（32）1654321=5答：这个自然数最小是59一个两位数分别除以7、8、9，所得余数的和为20问：这个两位数是多少？【分析】根据除数大于余数得出余数的具体取值范围，确定余数可能是：（1）5、7、8；（2）6、6、8；（3）6、7、7；再分情况分析即可【解答】解：因为余数比除数小，所以除以7所得余数可能是1、2、3、4、5、6；除以8所得余数可能是1、2、3、4、5、6、7；除以9所得余数可能是1、2、3、4、5、6、7、8；又因为余数的和是20，所以余数可能

18、是：（1）5、7、8；（2）6、6、8；（3）6、7、7；即这个两位数除以7，8，9的余数有3种情况：（1）除以7余5，除以8余7，除以9余8，即加1是8，9的倍数，即89=72，721=71，但除以7余1，71不符合题意；（2）除以7余6，除以8余6，除以9余8，即加1是7，9的倍数，即79=63，631=62，除以8余6，62符合题意；（3）除以7余6，除以8余7，除以9余7，即加1是7，8的倍数，即78=56，561=55，但除以9余1，所以55不符合题意答：这个数是6210信息在战争中是非常重要的，它常以密文的方式传送对方能获取密文却很难知道破译密文的密码，这样就达到保密的作用有一天我

19、军截获了敌军的一串密文：A3788421C，字母表示还没有被破译出来的数字如果知道密码满足如下条件：密文由三个三位数连在一起组成，每个三位数的三个数字互不相同；三个三位数除以12所得到的余数是三个互不相同的质数；三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数你能破解此密文吗？【分析】把A37，8B4，21C分别除以12，余数只能为2，3，5，7，11，然后根据密码满足的三个条件进行推理即可【解答】解：把A37，8B4，21C分别除以12，余数只能为2，3，5，7，118B4为偶数，余数也只能为偶数，所以8B4除以12余2，B只能为5A37的余数只能从3，5，7，11中选，12=34，如果只考虑4的话，

20、那么A=1或4（3不用考虑）21C的余数只能从3，7，11中选，分别带入（21C3）12、（21C7）12、（21C11）12，那么C=9、1或5因为每个三位数的三个数字互不相同，又因为三个三位数除以12所得的余数是三个互不相同的质数所以C只能为9最后，因为三个字母表示的数字互不相同而且不全是奇数，所以A只能为4所以密文为：437854219二、解答题（共12小题，满分0分）11已知是495的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字请问：三位数是多少？【分析】由是495的倍数，可知c一定为5，不可能为0；三位数成三位数，积最小应是6位数，进而推得a、b的值，解决问题【解答】解：由以上分析可得：a

21、=8，b=6，c=5 387605=234135 234135495=473 abc=865答：三位数是8651211个连续两位数乘积的末4位都是0，那么这11个数的总和最小是多少？【分析】连续两位数乘积的末4位都是0，因10000=22225555，也就是说这11个数里要含有4个因数5，但是连续11个数有最多只能有3个数是5的倍数，所以其中一个数是25的倍数，要求11个数总和最小，要把25放在最后1个数这样这11个数是15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25据此解答【解答】解：要使11个连续两位数乘积的末4位都是0，则这11个数里要有4个因数5，要使这11个数的和最小

22、，则满足条件的最大两位数是25所以和最小是：15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25=（15+25）112=40112=220答：这11个数的总和最小是22013有一个算式98765432l小明在上式中把一些“”换成“”，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？【分析】要使最后的结果还是自然数，可把9、8、6分解质因数，再根据分解质因数的情况来确定把多少个乘号换成除号据此解答【解答】解：98765432l=（33）（222）7（32）5（22）321=（33222）75（32223）21987654321=70答：这个自然数最小是7014有15位同学，每位同学都有

23、个编号，他们的编号是1号到15号1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号接着说：“这个数能被3整除”依此下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除1号一一作了验证：只有两个同学（他们的编号是连续的）说得不对，其余同学都对问：（1）说的不对的两位同学他们的编号是哪两个连续的自然数？（2）如果1号同学写的自然数是一个五位数，那么这个自然数为多少？【分析】（1）首先可以判定编号是2、3、4、5、6、7号的同学说的一定都对不然，其中说得不对的编号乘以2后所得编号也将说得不对这个数能同时被2、5，3，4和2、7整除，则一定能被10、12、14整除，从而编号为10、12、14的同学说得

24、对由“两个连续编号的同学说得错“知，11，13，15号也说得对因此，说的不对的两个同学的编号是8和9（2）这个数是2、3、4、5、6、7、10、11、12、13、14、15的公倍数，因为2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15=60060因为60060是一个五位数，而上述12个数的其它公倍数不是五位数，所以1号同学写的数就是60060【解答】解：（1）根据2号15号同学所述结论，将合数4，6，（15分）解质因数后，由1号同学验证结果，进行分析推理得出问题的结论4=22，6=23，8=23，9=32，10=25，12=223，14=27，15=35由此不难断定说得不对的两个同学

25、的编号是8与9两个连续自然数（可逐次排除，只有8与9满足要求）（2）1号同学所写的自然数能被2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15这12个数整除，也就是它们的公倍数它们的最小公倍数是223571113=60060因为60060是一位五位数，而这12个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的五位数是6006015有2008盏灯，分别对应编号为1至2008的2008个开关现在有1至2008的2008个人来按动这些开关已知第1个人按的开关的编号是1的倍数（也就是说他把所有开关都按了一遍），第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数依此做下去，第2008

26、个人按的开关的编号是2008的倍数，如果刚开始的时候，灯全是亮着的，那么这2008个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？【分析】根据题意，每一个灯，编号有多少个因数，就要被按多少次，亮着的灯是被按了偶数次的，灭了的灯是被按了奇数次的；因为奇数个的数字只能是完全平方数，4422008452，所以灯的编号是完全平方数的有44盏，所以灭了的灯共有44盏，亮着的灯有200844=1964盏，据此解答即可【解答】解：根据题意，每一个灯，编号有多少个因数，就要被按多少次，亮着的灯是被按了偶数次的，灭了的灯是被按了奇数次的；因为奇数个的数字只能是完全平方数，4422008452，所以灯的编号是完全平方数的有44

27、盏，因此灭了的灯共有44盏，亮着的灯有：200844=1964盏答：这2008个人按完后，还有1964盏灯是亮着的16狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳米，黄鼠狼每次跳米，它们每秒钟都只跳一次比赛途中，从起点开始每隔米设有一个陷井，当它们之中有一个掉进陷井时，另一个跳了多少米？【分析】黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是与的“最小公倍数”，即跳了=9次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是和的“最小公倍数”，即跳了=11次掉进陷井经过比较可知，黄鼠狼先掉进陷井，这时狐狸已跳的行程是9=40.5米【解答】解：与的“最小公倍数”是，黄鼠狼：=9（次），和的“最小公倍数”是，狐狸：=11（次），经过

28、比较可知，黄鼠狼先掉进陷井，这时狐狸已跳的行程是9=40.5（米）17一个偶数恰有6个约数不是3的倍数，恰有8个约数不是5的倍数请问：这个偶数是多少？【分析】首先根据约数个数的计算方法，得出所含数个数的可能性，进一步从最小的质数分析探讨得出答案即可【解答】解：6=23=（1+1）（1+2），因此，要让这个偶数恰有6个约数不是3的倍数，那么这个偶数可以包含：255，8=24=（1+1）（1+3），8=18因此，要让这个偶数恰有8个约数不是5的倍数，那么这个偶数可以包含：2333，2222222，这样，同时满足上两个条件的最小公倍数是：255333=1350，或222222255=3200（不是3

29、的倍数有24个不合题意舍去）；所以这个偶数是135018一个合数，其最大的两个约数之和为1164求所有满足要求的合数【分析】因为1164=22397，1164（2+1）=388，1164（3+1）=291，1164（5+1）=194，1164（11+1）=97，然后分两种情况讨论：（1）如果这个合数是偶数，（2）如果这个合数是奇数，求出所有满足要求的合数即可【解答】解：因为1164=22397，1164（2+1）=388，1164（3+1）=291，1164（5+1）=194，1164（11+1）=97，（1）如果这个合数是偶数，则这个合数为：3882=776，最大的两个约数为：776、388

30、；（2）如果这个合数是奇数，这个合数为：2913=873，最大的两个约数为：873、291；这个合数为：9711=1067，最大的两个约数为：1067、97；所以满足要求的合数为：776，873，106719已知a与b是两个正整数，且ab请问：（1）如果它们的最小公倍数是36，那么这两个正整数有多少种情况？（2）如果它们的最小公倍数是120，那么这两个正整数有多少种情况？【分析】（1）首先找出36的所有的因数，然后分类讨论，求出这两个正整数有多少种情况即可；（2）首先找出120的所有的因数，然后分类讨论，求出这两个正整数有多少种情况即可【解答】解：（1）36的因数有1、2、3、4、6、9、12

31、、18、36，因为a、b的最小公倍数是36，且ab，可得当a=36时，b=1、2、3、4、6、9、12、18，一共8种情况；当a=18时，b=4、12，一共2种情况；当a=12时，b=9，有1种情况；当a=9时，b=4，有1种情况；8+2+1+1=12（种），所以这两个正整数有12种情况答：这两个正整数有12种情况（2）120的因数有1、2、3、4、5、6、8、10、12、15、20、24、30、40、60、120，因为a、b的最小公倍数是120，且ab，可得当a=120时，b=1、2、3、4、5、6、8、10、12、15、20、24、30、40、60，一共15种情况；当a=60时，b=8、2

32、4、40，一共3种情况；当a=40时，b=3、6、12、15、24、30，一共6种情况；当a=30时，b=4、8、24，一共3种情况；当a=24时，b=5、10、15、20，一共4种情况；当a=15时，b=8，有1种情况；15+3+6+3+4+1=32（种），所以这两个正整数有32种情况答：这两个正整数有32种情况20已知a与b的最大公约数是14，a与c的最小公倍数是350，b与c的最小公倍数也是350满足上述条件的正整数a、b、c共有多少组？【分析】根据题意，可得14能整除a，a能整除350，14能整除b，b能整除350，因为14=27，350=2752，所以a=14或a=145=70或a=

33、1425=350；然后分类讨论，求出满足上述条件的正整数a、b、c共有多少组即可【解答】解：根据题意，可得14能整除a，a能整除350，14能整除b，b能整除350，因为14=27，350=2752，所以a=14或a=145=70或a=1425=350；（1）当a=14时，b=14或b=145=70或b=1425=350，因为a与b的最大公约数是14，（2）所以当a=70，350时，b都只能取14，则满足条件的a、b共有5组：a=14，b=14； a=14，b=70；a=14，b=350；a=70，b=14； a=350，b=14；对于a、b的每组值，c均有4个不同的值：25，50，175，3

34、50所以满足条件的正整数a、b、c共有：54=20（组）答：满足上述条件的正整数a，b，c共有20组21已知两个连续的两位数除以5的余数之和是5，除以6的余数之和是5，除以7的余数之和是1求这两个两位数【分析】首先设两个连续整数的和为s，则根据题意，可得，将上面的s，x，y都用z表示出来，可得s=1+7z，x=+z，y=+z；然后根据x，y，z，s都是整数，分析求出s的值是多少，进而求出这两个连续的两位数是多少即可【解答】解：设两个连续整数的和为s，则根据题意，可得，将上面的s，x，y都用z表示出来，可得s=1+7z，x=+z，y=+z，因为x，y，z，s都是整数，可以取z=30k8（k取任意

35、整数），k=1时z=22，s=1+722=155，因为（s1）2=1542=77，15577=78，可得这两个连续的两位数可以取77、78答：这两个两位数可以取77、7822在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），如图小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？【分析】根据“每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔”说明一步跳3个孔，余1个孔，所以总孔数是3的倍数加1；根据“每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔”说明一步跳

36、5个孔，余1个孔，所以总孔数是5的倍数加1；既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数这个15的倍数加上1就等于孔数；然后根据“他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔”说明一步跳7个孔正好，所以总孔数是7的倍数；然后验证再100以内，15的倍数加1能被7整除的数，即可得解【解答】解：如果将孔数减1，那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数这个15的倍数加上1就等于孔数，而且能被7整除注意：15被7除余1，所以156被7除余6，15的6倍加1正好被7整除我们还可以看出，15的其他（小于7的）倍数加1都不能被7整除，而157=105已经大于100.7以上的倍数都不必考虑，因此，圆圈上总孔数是：

37、156+1=91；答：圆圈上共有91个孔三、解答题（共8小题，满分0分）23有6个互不相同且不为0的自然数，其中任意5个数的和都是7的倍数，任意4个数的和都是6的倍数请问：这6个数的和最小是多少？【分析】任意5个数的和是7的倍数，说明这6个数均是7的倍数任意4个数的和是6的倍数，则每个数被6除同时余0或余3则这样的数最小是21，往上就是21+421、21+422、据此解答【解答】解：这6个数的和最小21+（21+421）+（21+425）=216+42（1+2+3+4+5）=126+630=756答：这个数的和最小是75624设N=30130220052006，请问：（1）N的末尾一共会出现多

38、少个连续的数字“0”？（2）用N不断除以12，直到结果不能被12整除为止，一共可以除以多少次12？【分析】（1）一个因数2与一个因数相乘，会在乘积的末尾增加一个0，连续的自然数相乘，因数2足够多，只需看因数5的个数即可求解；（2）第二问就要看因数2与因数3的个数，分别求出有多少个因数3和多少个因数2，找出较少的即可求解【解答】解：（1）N中因数2足够多，因此末尾0的个数取决于N中因数5的个数2006301+1=1706因数5的个数：20065+200625+2006125+2006625（3005+30025+300125）=401+80+16+360122=426（个）所以，N末尾有426个

39、连续0（2）N中因数3比因数4多，因此最多可以除去多少次12，取决于N中因数4的个数N中因数2的个数：20062+20064+20068+200616+200610243002+3004+3008+300256）=1003+501+250+125+62+31+15+7+3+11507537189421=1702则N中因数4的个数为：170221=8501（个）所以，用N不断除以12，直到结果不能被12整除为止，一共可以除以850次1225老师告诉贝贝和晶晶一个小于5000的四位数，这个四位数是5的倍数贝贝计算出它与5！的最小公倍数，晶晶计算出它与10！的最大公约数，结果发现贝贝的计算结果恰好是

40、晶晶的5倍锖问：这个四位数是多少？【分析】因为5！=54321=2335，10！=10987654321=2834527，所以所求的四位数必须满足：因数2的个数是38个，因数3的个数是14个，因数7的个数是0或1个，又因为这个四位数是5的倍数，所以要么1个因数5也没有，要么含有3个因数5；然后分类讨论，求出满足条件的四位数有哪些即可【解答】解：5！=54321=2335，10！=10987654321=2834527，所求的四位数必须满足：因数2的个数是38个，因数3的个数是14个，因数7的个数是0或1个，因为这个四位数是5的倍数，所以要么1个因数5也没有，要么含有3个因数5；通过分析，满足条

41、件的四位数有：（1）因数5的个数是3个的四位数有1个：23353=3000；（2）不含因数5，含有因数7的四位数有：73423=4536；73323=1512；73324=3024；73224=1008；73225=2016；73226=4032；7326=1344；7327=2688；（3）不含因数5，不含因数7的四位数有：3424=1296；3425=2592；3326=1728；3327=3456；3227=1152；3228=2304所以这样的四位数有15个：3000、4536、1512、3024、1008、2016、4032、1344、2688、1296、2592、1728、3456

42、、1152、2304答：这样的四位数有15个：3000、4536、1512、3024、1008、2016、4032、1344、2688、1296、2592、1728、3456、1152、230426一个正整数，它分别加上75和48以后都不是120的倍数，但这两个和的乘积却能被120整除这个正整数最小是多少？【分析】设这个数是a，已知条件说明：（1）a+75不是120的倍数（2）a+48不是120的倍数（3）（a+75）（a+48）是120的倍数，因为120=22235a+75和a+48的奇偶性不同，所以只有四种可能：（1）a+75是24的倍数且不是5的倍数，a+48是5的倍数且不是24的倍数（

43、2）a+75是5的倍数且不是24的倍数，a+48是24的倍数且不是5的倍数（3）a+75是40的倍数且不是3的倍数，a+48是3的倍数且不是40的倍数这样的a不存在（4）a+75是3的倍数且不是40的倍数，a+48是40的倍数且不是3的倍数这样的a不存在然后分情况进行讨论【解答】解：设这个数是a，已知条件说明：（1）a+75不是120的倍数（2）a+48不是120的倍数（3）（a+75）（a+48）是120的倍数因为120=22235a+75和a+48的奇偶性不同，所以只有四种可能：（1）a+75是24的倍数且不是5的倍数，a+48是5的倍数且不是24的倍数（2）a+75是5的倍数且不是24的

44、倍数，a+48是24的倍数且不是5的倍数（3）a+75是40的倍数且不是3的倍数，a+48是3的倍数且不是40的倍数这样的a不存在（4）a+75是3的倍数且不是40的倍数，a+48是40的倍数且不是3的倍数这样的a不存在分情况讨论对于第（1）种情况说明a除以24余21，且a除以5余2此时a最小为117对于第（2）种情况说明a除以5余0，且a除以24余0也就是a是5和24的公倍数此时a最小为120所以，a最小为11727a、b、c是三个非零自然数a和b的最小公倍数是300，c和a、c和b的最大公约数都是20，且abc请问：满足条件的a、b、c共有多少组？【分析】a和b的最小公倍数是300，300

45、=22355=2035，c和a、c和b的最大公约数都是20，且abc当c=20，那么a=205，b=203；当c=202，那么a=205，b=203【解答】解：300=22355=2035，c和a、c和b的最大公约数都是20，且abc当c=20，那么a=205，b=203；当c=202，那么a=205，b=203，答：满足条件的a、b、c共有两组为：100，60，20或100，60，4028有一类三位数，它们除以2、3、4、5、6所得到的余数互不相同（可以含0）这样的三位数中最小的三个是多少？【分析】根据题意，可使此数除以2，3，4，5，6所得到的余数顺序为：为0、1、2、3、4；为1、2、3

46、、4、52、3、4、5、6的最小公倍数60，因此6022=118符合且最小6021=119符合且最小比稍大，且满足余数不同的还可能有，然后进行分析即可【解答】解：可使此数除以2，3，4，5，6所得到的余数顺序为：为0、1、2、3、4为1、2、3、4、52、3、4、5、6的最小公倍数60，因此6022=118符合且最小6021=119符合且最小比稍大，且满足余数不同的还可能有，分析如下：A、被6除余0、1、2、3、4、5，则被3除余0、1、2、0、1、2余数不发生重复的有：被6除余3、4、5，被3除余0、1、2，B、被4除余0、1、2、3，则被2除余0、1、0、1余数不发生重复的有被4除余2、3

47、，被2除余0、1，因此这两组不重复的组合有：6除余4、3除余1，4除余2，2除余0，则须被5除余3，同上述，6除余5、3除余2，4除余3，2除余1，则5除余4同上述，或5除余0，则求6除余5、5除余0、4除余3，3除余2，2除余1的数，即6除余5、5除余0、4除余3的数：6K+5=（5K+5）+K，K最小为0，6K+5最小为530K+5=（28K+3）+2（K+1），K最小为3，30K+5最小为30*3+5=95求得形式为60K+95的数符合“6除余5、5除余0、4除余3，3除余2，2除余1”这样的三位数最小是60+95=155综上，除以2，3，4，5，6所得到的余数互不相同的最小的三位数是：

48、118、119、15529有一个自然数除以15、17、19所得到的商与余数之和都相等，并且商和余数都大于1，那么这个自然数是多少？【分析】首先设这个自然数是m，则m=15a+b=17c+d=19e+f；然后根据题意，可得a+b=c+d=e+f，由，可得14a=16c=18e，14、16、18的最小公倍数是1008，a=72，c=63，e=56，bmin=2，d=10，f=17，代入求出这个自然数是多少即可【解答】解：设这个自然数是m，则m=15a+b=17c+d=19e+f；根据题意，可得a+b=c+d=e+f，由，可得14a=16c=18e；因为14=27，16=28，18=29，所以14、

49、16、18的最小公倍数是：2789=1008，解得a=72，c=63，e=56，bmin=2，d=10，f=17，所以这个自然数是：1572+2=1082答：这个自然数是108230有4个互不相同的三位数，它们的首位数字相同，并且它们的和能被它们之中的3个数整除，请写出这4个数【分析】设这四个数分别为m，n，p，q，且它们的和能被其中的n，p，q整除，npq；则=N（N为自然数），即=N1；因为它们的首位数字相同，所以N1应该大约等于3，又因为npq，所以=4；同理，可得，解得：4p=5n=3q，由5n=3q，可得2n=3（qn），因为q和n的首数字相同，所以qn的最大值为99，即n最大值为1

50、48，又因为4p=5n=3q，可得n能被12整除，求出n的值，进而求出m、p、q的值即可【解答】解：设这四个数分别为m，n，p，q，且它们的和能被其中的n，p，q整除，npq，则=N（N为自然数），即=N1；因为它们的首位数字相同，所以N1应该大约等于3，又因为npq，所以=4；同理，可得，解得：4p=5n=3q，由5n=3q，可得2n=3（qn），因为q和n的首数字相同，所以qn的最大值为99，即n最大值为148，又因为4p=5n=3q，可得n能被12整除，故n可以为108，120，132，144；可得p为135，150，q为180，200，所以n只能取108，从而p=135，q=180，m

51、=117，即这四个数是108，117，135，180答：这四个数是108，117，135，180参与本试卷答题和审题的老师有：xiaosh；73zzx；齐敬孝；春暖花开；lqt；pengh；奋斗；duaizh；wdzyzlhx（排名不分先后）菁优网2016年5月22日考点卡片1数字问题【知识点归纳】1数字问题的主要题型：数字问题是研究有关数字的特殊结构、特殊关系以及数字运算中变换问题的一类问题，相对来说，难度较大通常情况下题目会给出某个数各个位数关系，求这个数为多少2核心知识（1）数字的拆分是将一个数拆分成几个因数相乘或者相加的形式，经常需要综合应用整除性质、奇偶性质、因式分解、同余理论等（2

52、）数字的排列与位数关系解答数字的排列与位数关系时，经常需要借助于首尾数法进行考虑、判断，同时可以利用列方程法、代入法、假设法等一些方法，进行快速求解【命题方向】常考题型：例1：在1到400的整数中，至少能被3和5中的一个数整除的数有（）个5A、213 B、187 C、133 D、80 分析：先求出400里面有几个3，就是1400中有多少个数能被3整除，再求出400里面有几个5，就是1400中有多少个数能被5整除；能同时倍3和5整除的数是15的倍数；求出400里面有多少个15，就是能同时被3和5整除的数，然后用3的倍数的个数加上5的倍数的个数然后减去15的倍数的个数即可解：1到400中能被3整除

53、有：4003133（个）；1到400中能被5整除有：4005=80（个）；1到400中既能被3也能被5整除有：400（35）26（个）；在1到400的整数中，至少能被3和5中的一个数整除的数：133+8026=187（个）；故选：B点评：本题要注意能同时被3和5整除的数，是重复计算的数字例2：自然数12321，90009，41014 有一个共同特征：它们倒过来写还是原来的数，那么具有这种“特征”的五位偶数有400个分析：倒过来写还是原来的数，具有这种“特征”的五位偶数万位和个位有2，4，6，8这4种选择；千位和十位有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10种选择；百位有0，1，2，3，4，

54、5，6，7，8，9这10种选择可以组成倒过来写还是原来的数具有这种“特征”的五位偶数则有41010=400个解：根据分析，倒过来写还是原来的数，具有这种“特征”的五位偶数有41010=400个答：具有这种“特征”的五位偶数有400个故答案为：400点评：根据这种数的特征，分析各对称数位会出现的数字可能，把出现可能的种数相乘即可得这种特征数的个数2奇偶性问题【知识点归纳】主要用到的知识点：1奇数奇数=偶数；偶数偶数=偶数； 奇数偶数=奇数；偶数奇数=奇数 2奇数个奇数的和（或差）为奇数，偶数个奇数的和（或差）为偶数，任意多个偶数的和（或差）为偶数 3奇数奇数=奇数；偶数偶数=偶数；奇数偶数=偶数

55、 4若干个数相乘，其中有一个因数是偶数，则积为偶数；如果所有的因数都是奇数，则积为奇数 5偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1【命题方向】常考题型：例1：一个偶数，各个数位上的数字之和是24，这个数最小是798分析：根据自然数的组成规律可和，一个自然数位数越少，其值就越小，由于这个偶数的各位数之和为24，242=12，243=8，所以这个自然数位数最少可为3位数由于三个数位数字的平均数为8，则其则这三个数可为8，或7、8、9而要求这个数最小可为几，一个数高位上的数越小，其值就越小，所以其百位可为7，由于是偶数，个数为8，由此可知，这个数为798解：由于这个偶数的各位数之各为24，242=

56、12，243=8，所以这个自然数位数最少可为3位数三个数位数字的平均数为8，则其则这三个数可全为8，或7、8、9要求这个数最小可为几，所以其百位可为7，由于是偶数，个数为8，由此可知，这个数为798故答案为：798点评：了解自然数的组成规律及数位知识是完成本题的关键例2：如果a，b，c是三个任意整数，那么（）A、都不是整数 B、至少有一个整数 C、至少有两个整数 D、都是整数分析：根据偶数与奇数的定义可知，如果它们的和的是偶数则除以2的商为整数，如果它们的和为奇数，则它们数和除以2的商不为整数，因此完成本题要根据a，b，c的奇偶性的不同情况来判断它们数和的奇偶性，从而得出它们的数和除以2时，商

57、是否是整数解：当a，b，c都为偶数时，则a+b，a+c，c+b的和为偶数，那么都为整数；当a，b，c都为奇数时，则a+b，a+c，c+b的和为偶数，那么都为整数；当a，b，c中有一个偶数，两个奇数时，a+b，a+c，c+b的和中有两个为奇数，一个为偶数，那么只有一个为整数；当a，b，c中有一个奇数，两个偶数时，a+b，a+c，c+b的和中有两个为奇数，一个为偶数，那么只有一个为整数；所以，如果a，b，c是三个任意整数，那么中至少有一个为整数故选：B点评：完成本题要在了解数和的奇偶性的基础上完成：偶数+偶数=偶数，奇数+奇数=偶数，偶数+奇数=奇数3质数与合数问题【知识点归纳】1、巧记100以内

58、的质数：2，3，5，7又11；13和17；19，23，29；31 和37；41，43，47；53，59，61；67和71；73，79，83；89和97 2、“2”是最小的质数，也是唯一的偶质数；“3”是最小的奇质数3、“1”这个数既不是质数也不是合数【命题方向】常考题型：例1：已知两个质数的平方差等于21，那么，这两个质数的平方和等于（）A、22 B、24 C、25 D、29分析：除了2以外的所有质数都是奇数，它们的平方也都是奇数，那么平方差是偶数，已知平方差是21，所以其中一个质数必然是2，由此算出另一个质数的平方，再求出这两个质数的平方和即可选择解：已知两个质数的平方差等于21，所以其中一

59、个质数必然是2，21+22=25，所以另一个质数的平方是21+22=25，这两个质数的平方和25+22=29，故答案为：29点评：此题考查2的特殊性和除了2以外的质数都是奇数的平方仍是奇数，它们的平方差是偶数例2：a、b、c是100以内的3个质数，使得a+b=c成立的不同质数算式共有（）个A、6 B、7 C、8 D、9分析：2是质数中唯一的偶数，其它都是奇数；奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；所以其中一个加数必是2；再找出两个质数的差是2的情况即可解：这样的算式有：2+3=5；2+5=7；2+11=13；2+17=19；2+29=31；2+41=43；2+59=61；2+71=73；一共有8

60、组故选：C点评：本题先找出质数中唯一的偶数2，再根据两个奇数和是偶数，而一个偶数与一个奇数的和才是奇数求解【解题方法点拨】1、根据定义如果能够找到一个小于Q的质数p（均为整数），使得p能够整除Q，那么Q就不是质数，所以我们只要拿所有小于Q的质数去除Q就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的Q，我们可以先找一个大于且接近Q的平方数K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除Q，如没有能够除尽的，那么Q就是为质数2、找n个连续合数的方法：（n+1）!+2，（n+2）!+3，（n+1）!+4，（n+1）!+（n+1）这n个数分别能被2、3、4、（n+1）整除，它们是连续的n个合数，其中n!表示从