定积分的应用课件

1、第五节 定积分的应用 第五章 二、体积 一、平面图形的面积 三、思考与练习8/5/20221第1页，共28页。一、 平面图形的面积8/5/20222第2页，共28页。8/5/20223第3页，共28页。8/5/20224第4页，共28页。8/5/20225第5页，共28页。8/5/20226第6页，共28页。故所求的面积为8/5/20227第7页，共28页。8/5/20228第8页，共28页。8/5/20229第9页，共28页。解 如图所示，因为椭圆图形关于两个坐标轴都是对称的，所以整个椭圆面积应为位于第一象限内面积的4倍.即8/5/202210第10页，共28页。二、定积分的元素法1. 什么

2、问题可以用定积分解决 ?表示为1) 所求量 U 是与区间a , b上的某分布 f (x) 有关的2) U 对区间 a , b 具有可加性 ,即可通过“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”定积分定义一个整体量 ;8/5/202211第11页，共28页。第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的微分表达式第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的积分表达式这种分析方法成为元素法 (或微元分析法)元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等近似值精确值2. 如何应用定积分解决问题 ?8/5/202212第12页，共28页。一、平面图形的面积8/5/20

3、2213第13页，共28页。8/5/202214第14页，共28页。8/5/202215第15页，共28页。解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当 a = b 时得圆面积公式例3 求椭圆8/5/202216第16页，共28页。求由曲线及围成的曲边扇形的面积 .在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为8/5/202217第17页，共28页。8/5/202218第18页，共28页。设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,2. 平行截面面积为已知的立体的体积8/5

4、/202219第19页，共28页。轴旋转一周围成的立体体积时,特别 , 当考虑连续曲线段有当考虑连续曲线段绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有8/5/202220第20页，共28页。所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积.（注意：课本例6是“绕 y 轴旋转”）解: 方法1 利用直角坐标方程则(利用对称性)例5 计算由椭圆8/5/202221第21页，共28页。则特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积方法2 利用椭圆参数方程8/5/202222第22页，共28页。并与底面交成 角,解: 如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平

5、面截圆柱体所得立体的体积 .例6 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,8/5/202223第23页，共28页。此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积 ?提示:思考: 可否选择 y 作积分变量 ?这就是课本中给出的解法！8/5/202224第24页，共28页。垂直 x 轴的截面是椭圆所围立体(椭球体)解:它的面积为因此椭球体体积为特别当 a = b = c 时就是球体体积 .的体积.（补充题）例7 计算由曲面8/5/202225第25页，共28页。内容小结1. 掌握定积分的元素法，并会应用 元素法来解决一些几何和物理方面的问题。2. 定积分几何学上的应用（1）平面图形面积（直角坐标系、极坐标和参数方程）（2）平行截面面积为已知的立体的体积（含旋转体） 8/5/202226第26页，共28页。课外练习习题55思考练习1. 用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .提示: 交点为弧线段部分直线段部分以 x 为积分变量 , 则要分两段积分, 故以 y 为积分变量. 8/5/202227第27页，共28