高中数学选修第一册：1.1.2 空间向量的数量积运算-2020-2021学年高二数学新教材配套学案（人教A版选择性必修第一册）

1、1.1.2 空间向量的数量积运算【学习目标】课程标准学科素养1.了解空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质与运算律.（重点）3.可以用数量积证明垂直，求解角度和长度（重点、难点）1、逻辑推理2、数学运算3、数学抽象【自主学习】空间向量的夹角(1)已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，则AOB叫做向量a，b的 ，记作 (2)a，b为非零向量，a，bb，a，a与b的夹角的范围是 ，其中当a，b0时，a与b ；当a，b时，a与b ；当a，beq f(,2)时，a与b 反之，若ab，则a，b ；若ab，则

2、a，b 。2. 空间向量数量积（1）概念：已知两个非零向量a，b，则 叫做a，b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cosa，b（2）投影向量：向量a向向量b投影，得到c=|a|b|cosa，b= ,向量c称为向量a在向量b上的投影向量。（3）性质ab ， |a|2 ， |a| ，cosa，b （4）运算律(ab) ，ab (交换律) a(bc) (分配律)特别提醒：不满足结合律(ab)ca(bc)【小试牛刀】判断正错(1)若非零向量a，b为共线且同向的向量，则ab|a|b|.( )(2)对于向量a，b，c，有(ab)ca(bc)( )(3)对任意向量a，b，满足|ab|a|b|.( )(4)

3、对于非零向量b，由abbc，可得ac.( )2对于向量a、b、c和实数，下列命题中的真命题是 ()A若ab0，则a0或b0B若a0，则0或a0C若a2b2，则ab或abD若abac，则bc【经典例题】题型一数量积的计算注意：(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算(2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用aa|a|2及数量积公式进行计算例1如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：(1)eq o(EF,sup6()eq o(BA,sup6()； (2)eq o(EF,sup6()eq o(B

4、D,sup6()； (3)eq o(EF,sup6()eq o(DC,sup6()； (4)eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6().跟踪训练 1 已知正四面体OABC的棱长为1.求：(1)eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()； (2)(eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(eq o(CA,sup6()eq o(CB,sup6()；(3)|eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()|.题型二用数量积证明垂直问题注意：（1）证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量

5、积是否为0来判断两直线是否垂直(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.例2 如图所示，已知ADB和ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且ADBDCD，BAC60.求证：BD平面ADC.跟踪训练 2已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，那么AD与BC的位置关系为_(填“平行”或“垂直”)题型三 用数量积求角度注意：求两个空间向量a，b夹角的方法类同平面内两向量夹角的求法，利用公式cosa，beq f(ab,|a|b|)，在具体的几何体中求两向量的夹角时，可把其中一个向量的起点平移至与另一个向量的起点重合

6、，转化为求平面中的角度大小问题例3如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_跟踪训练 3 已知点O是正ABC平面外的一点，若OAOBOCAB1，E、F分别是AB、OC的中点，试求OE与BF所成角的余弦值题型四 用数量积求长度注意:求解长度问题时，先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|eq r(aa)求解即可例4 如图，已知ABCD中，AD4，CD3，D60，PA平面ABCD，并且PA6，则PC的长为_跟踪训练 4 在平行六面体ABCDA1B

7、1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，求AC1的长【当堂达标】1在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45的是()A与B与C与D与2已知|a|2，|b|3，a，b60，则|2a3b|等于()Aeq r(97) B97Ceq r(61) D613.已知a，b是空间两个向量，若|a|2，|b|2，|ab|eq r(7)，则cosa，b_4.已知空间向量a，b，c满足abc0，|a|3，|b|1，|c|4，则abbcca的值为_5已知|a|3eq r(2)，|b|4，mab，nab，a，b135，mn，则_6如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别

8、是棱CD，CC1的中点，求异面直线A1M与DN所成的角。7.在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求向量eq o(OA,sup6()与eq o(BC,sup6()所成角的余弦值8如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为eq r(2).(1)设侧棱长为1，求证：AB1BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为eq f(,3)，求侧棱的长 【参考答案】【自主学习】1.（1）夹角 a，b（2）0， 方向相同 方向相反 互相垂直 0或 eq f(,2).2. （1）|a|b|cosa，b （2）（3）ab0 aa eq r(aa)eq f(a

9、b,|a|b|)（4）(a)b ba abac【小试牛刀】1. 2B 【解析】对于A，可举反例：当ab时，ab0；对于C，a2b2，只能推得|a|b|，而不能推出ab；对于D，abac可以移项整理推得a(bc)【经典例题】例1 解 (1)eq o(EF,sup6()eq o(BA,sup6()eq f(1,2)eq o(BD,sup6()eq o(BA,sup6()eq f(1,2)|eq o(BD,sup6()|eq o(BA,sup6()|coseq o(BD,sup6()，eq o(BA,sup6()eq f(1,2)cos 60eq f(1,4).(2)eq o(EF,sup6()eq

10、 o(BD,sup6()eq f(1,2)eq o(BD,sup6()eq o(BD,sup6()eq f(1,2)|eq o(BD,sup6()|2eq f(1,2).(3)eq o(EF,sup6()eq o(DC,sup6()eq f(1,2)eq o(BD,sup6()eq o(DC,sup6()eq f(1,2)|eq o(BD,sup6()|eq o(DC,sup6()|coseq o(BD,sup6()，eq o(DC,sup6()eq f(1,2)cos 120eq f(1,4).(4)eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(AB,sup6()(eq

11、o(AD,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|eq o(AB,sup6()|eq o(AD,sup6()|coseq o(AB,sup6()，eq o(AD,sup6()|eq o(AB,sup6()|eq o(AC,sup6()|coseq o(AB,sup6()，eq o(AC,sup6()cos 60cos 600.跟踪训练 1 (1)eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()|eq o(OA,sup6()|eq o(OB,sup6()|cosAOB11co

12、s60eq f(1,2)；(2)(eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(eq o(CA,sup6()eq o(CB,sup6()(eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()(eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()2eq o(OC,sup6()1211cos60211cos6011cos6012211cos601；(3)|eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6(

13、)eq o(OC,sup6()|eq r(o(sup12(),sdo4(o(OA,sup6()o(OB,sup6()o(OC,sup6()2)eq r(121212211cos603)eq r(6).例2 【证明】不妨设ADBDCD1，则ABACeq r(2).eq o(BD,sup6()eq o(AC,sup6()(eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，由于eq o(AD,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AD,sup

14、6()(eq o(AD,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AD,sup6()1，eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|eq o(AB,sup6()|eq o(AC,sup6()|cos 60eq r(2)eq r(2)eq f(1,2)1.eq o(BD,sup6()eq o(AC,sup6()0，即BDAC，又已知BDAD，ADACA，BD平面ADC.跟踪训练2解析eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()(eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6()(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup

15、6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()2eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(AB,sup6()(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()0，AD与BC垂直例3 90【解析】不妨设棱长为2，则eq o(AB1,sup6()eq o(BB1,sup6()eq o(BA,sup6()，eq o(BM,sup6()eq o(BC,sup6()eq f(1,2)eq o

16、(BB1,sup6()，coseq o(AB1,sup6()，eq o(BM,sup6()eq f(（o(BB1,sup6()o(BA,sup6()）（o(BC,sup6()f(1,2)o(BB1,sup6()）,2r(2)r(5)eq f(0220,2r(2)r(5)0，跟踪训练 3设eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，eq o(OC,sup6()c，则abbccaeq f(1,2)，|a|b|c|1，eq o(OE,sup6()eq f(1,2)(ab)，eq o(BF,sup6()eq f(1,2)cb，eq o(OE,sup6()eq o(BF,sup6()

17、eq f(1,2)(ab)(eq f(1,2)cb)eq f(1,2)(eq f(1,2)aceq f(1,2)bcab|b|2)eq f(1,2)(eq f(1,4)eq f(1,4)eq f(1,2)1)eq f(1,2)，coseq o(OE,sup6()，eq o(BF,sup6()eq f(o(OE,sup6()o(BF,sup6(),|o(OE,sup6()|o(BF,sup6()|)eq f(f(1,2),f(r(3),2)f(r(3),2)eq f(2,3)，异面直线OE与BF所成角的余弦值为eq f(2,3).例4 7 【解析】，|2()2|2|2|22226242322|c

18、os 120611249PC7跟踪训练 4 解因为eq o(AC1,sup6(-)eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AA1,sup6(-)，所以eq o(AC,sup6(-)eq oal(2,1)(eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AA1,sup6(-)2eq o(AB,sup6()2eq o(AD,sup6()2eq o(AA,sup6(-)eq oal(2,1)2(eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AA1,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AA1,su

19、p6()因为BAD90，BAA1DAA160，所以eq o(AC,sup6(-)eq oal(2,1)1492(13cos 6023cos 60)23.因为eq o(AC,sup6()eq oal(2,1)|eq o(AC1,sup6()|2，所以|eq o(AC1,sup6(-)|223，则|eq o(AC1,sup6(-)|eq r(23)，即AC1eq r(23).【当堂达标】1. A【解析】A，B，C，D四个选项中各对向量的夹角依次是45，135，90，1802.C 解析|2a3b|24a212ab9b2 4221223cos 6093261，|2a3b|eq r(61).3eq f(

20、1,8) 【解析】将|ab|eq r(7)化为(ab)27，求得abeq f(1,2)，再由ab|a|b|cosa，b求得cosa，beq f(1,8).413 【解析】abc0，(abc)20，a2b2c22(abbcca)0，abbccaeq f(321242,2)13.5eq f(3,2)【解析】由mn，得(ab)(ab)0，a2(1)abb20，18(1)3eq r(2)4cos 135160，即460，eq f(3,2).6.解 以点D为原点，以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立坐标系Dxyz设正方体的棱长为2，则(2，1,2)， (0,2,1)，0，故异面直线A1M与ND所成

21、角为907.解eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()，eq o(OA,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(AB,sup6()|eq o(OA,sup6()|eq o(AC,sup6()|coseq o(OA,sup6()，eq o(AC,sup6()|eq o(OA,sup6()|eq o(AB,sup6()|coseq o(OA,sup6()，eq o(AB,sup6()84cos 13586cos 1202416eq r(2)，coseq o(OA,sup6()，eq o(BC,sup6()eq f(o(OA,sup6()o(BC,sup6(),|o(OA,sup6()|o(BC,sup6()|)eq f(2416r(2),85)eq f(32r(2),5).(1)证明eq o(AB1,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BB1,sup6()，eq o(BC1,sup6()eq o(BB1,sup6()eq o(BC,