高中数学选修第一册：课时跟踪检测（二十三） 抛物线及其标准方程

1、课时跟踪检测（二十三） 抛物线及其标准方程A级基础巩固1设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A4B6C8D12解析：选B由抛物线的方程得eq f(p,2)eq f(4,2)2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为426.2若抛物线x22py(p0)的焦点与椭圆eq f(y2,9)eq f(x2,5)1的上焦点重合，则该抛物线的准线方程为()Ay1By1Cy2Dy2解析：选C椭圆eq f(x2,5)eq f(y2,9)1的上焦点坐标为(0,2)，抛物线的焦点坐标为(0,2)，抛物线的准线方程为y2，故选C.3已知抛物线的焦点为F(a,0)(a0)，则抛物线的标

2、准方程是()Ay22axBy24axCy22axDy24ax解析：选B因为抛物线的焦点为F(a,0)(a0)，所以抛物线的标准方程为y24ax，故选B.4已知F是抛物线y24x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|NF|8，则MN的中点到准线的距离为()A5B4C3D.eq f(5,2)解析：选BF是抛物线y24x的焦点，F(1,0)，准线方程为x1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，|MF|NF|x11x218，解得x1x26，线段MN中点的横坐标为3，线段MN的中点到准线的距离为314.5若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x50的距离小1，则点M的轨迹方程是()Ax4

3、0Bx40Cy28xDy216x解析：选D依题意可知，点M到点F的距离等于点M到直线x4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，所以其方程为y216x，故选D.6抛物线y12x2上的点到焦点的距离的最小值为_解析：将方程化为标准形式是x2eq f(1,12)y，因为2peq f(1,12)，所以peq f(1,24).故到焦点的距离最小值为eq f(1,48).答案：eq f(1,48)7已知抛物线C：4xay20恰好经过圆M：(x1)2(y2)21的圆心，则抛物线C的焦点坐标为_，准线方程为_解析：圆M的圆心为(1,2)，代入4xay20得a1，将抛物线C的方程化

4、为标准方程得y24x，故焦点坐标为(1,0)，准线方程为x1.答案：(1,0)x18已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2eq f(y2,a)1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a_.解析：根据抛物线的定义得1eq f(p,2)5，p8.不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，由已知得eq r(a)21，故aeq f(1,4).答案：eq f(1,4)9根据下列条件写出抛物线的标准方程(1)焦点到准线的距离是5；(2)焦点F在y轴上，点A(m，2)在抛物线上，且|AF|3.解：(1)由题意知p5，则2p10.因为没有说明焦点所在坐标轴和

5、开口方向，所以四种类型的抛物线都有可能，故标准方程可为y210 x，y210 x，x210y，x210y.(2)由题意可设抛物线的标准方程为x22py(p0)由|AF|3，得eq f(p,2)23，所以p2.所以抛物线的标准方程为x24y.10已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x22py(p0)，则焦点Feq blc(rc)(avs4alco1(0，f(p,2)，准线l：yeq f(p,2)，作MNl，垂足为N，则|MN|MF|5，又|MN|3eq f(p,2)，所以3eq f(p,

6、2)5，即p4.所以抛物线方程为x28y，准线方程为y2.由m28(3)24，得m2eq r(6).法二：设所求抛物线方程为x22py(p0)，则焦点为Feq blc(rc)(avs4alco1(0，f(p,2).M(m，3)在抛物线上，且|MF|5，故eq blcrc (avs4alco1(m26p，, r(m2blc(rc)(avs4alco1(3f(p,2)2)5，)解得eq blcrc (avs4alco1(p4，,m2r(6).)抛物线方程为x28y，m2eq r(6)，准线方程为y2.B级综合运用11若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y22x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF

7、|MA|取得最小值的M的坐标为()A(0,0)B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1)C(1，eq r(2)D(2,2)解析：选D点A的坐标为(3,2)，所以点A在抛物线内过点M作准线的垂线，垂足为N，则|MF|MA|MN|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|MA|取得最小值，此时M(2,2)12(多选)已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，若PFx60，则()APQF为等边三角形B|PQ|4CSPQF4eq r(3)DxP4解析：选ABC如图，因PQx轴，QPFPFx60，由抛物线定义知|PQ|PF|，PQF为等边三角

8、形因F(1,0)，过F作FMPQ，垂足为M.xM1，|MQ|2.|PQ|4，SPQFeq f(1,2)2eq r(3)44eq r(3)，xP3.故选A、B、C.13对标准形式的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)其中满足抛物线方程为y210 x的是_(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线y210 x的焦点在x轴上，满足，不满足；设M(1，y0)是y210 x上一点，则|MF|1eq f(p,2)1eq f(5,2)eq f(7,2)6，所以不满足；由于抛物线y210 x的焦点为eq bl

9、c(rc)(avs4alco1(f(5,2)，0)，过该焦点的直线方程为ykeq blc(rc)(avs4alco1(xf(5,2)，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k2，此时存在，所以满足答案：14动圆P与定圆A：(x2)2y21外切，且与直线l：x1相切，求动圆圆心P的轨迹方程解：如图，设动圆圆心P(x，y)，过点P作PDl于点D，作直线l：x2，过点P作PDl于点D，连接PA.设圆A的半径为r，动圆P的半径为R，可知r1.圆P与圆A外切，|PA|RrR1.又圆P与直线l：x1相切，|PD|PD|DD|R1.|PA|PD|，即动点P到定点A与到定直线l的距离相等，点P的轨迹是

10、以A为焦点，以l为准线的抛物线设抛物线的方程为y22px(p0)，可知p4，所求动圆圆心P的轨迹方程为y28x.C级拓展探究15如图所示，A地在B地东偏北45方向，相距2eq r(2) km处，B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电(1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程；(2)问变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离)，才能使架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度解：(1)如图所示，以过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立直角坐标系xOy，则B(0,2)，A(2,4)因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B(0,2)为焦点，l为准线的抛物线设抛物线方程为x22py(p0)，则p4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x28y.(2)要使架设电路所用电线长度最短，即|MA|MB|的值最小如图