高中数学选修第一册：课时跟踪检测（二十） 直线与椭圆的位置关系

1、课时跟踪检测（二十） 直线与椭圆的位置关系A级基础巩固1已知直线l过点(3，1)，且椭圆C：eq f(x2,25)eq f(y2,36)1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为()A1B1或2C2D0解析：选C因为直线过定点(3，1)且eq f(32,25)eq f(12,36)1，所以点(3，1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点2若直线ykx2与椭圆eq f(x2,3)eq f(y2,2)1相切，则斜率k的值是()A.eq f(r(6),3)Beq f(r(6),3)Ceq f(r(6),3)Deq f(r(3),3)解析：选C把ykx2代入eq f(x2,3)eq f(y2,2)1，得

2、(23k2)x212kx60，由题意知0，k2eq f(2,3)，keq f(r(6),3).3过椭圆x22y24的左焦点作倾斜角为eq f(,3)的弦AB，则弦AB的长为()A.eq f(6,7)B.eq f(16,7)C.eq f(7,16)D.eq f(7,6)解析：选B易求直线AB的方程为yeq r(3)(xeq r(2)由eq blcrc (avs4alco1(yr(3)xr(2)，,x22y24)消去y并整理，得7x212eq r(2)x80.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2eq f(12r(2),7)，x1x2eq f(8,7).由弦长公式，得|AB|eq r(1

3、k2)|x1x2|eq r(1r(3)2) eq avs4al(r(blc(rc)(avs4alco1(f(12r(2),7)24f(8,7)eq f(16,7).4已知F是椭圆eq f(x2,25)eq f(y2,9)1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则ABF的面积最大值为()A6B15C20D12解析：选D由题意知，SABFeq f(1,2)|OF|y1y2|eq f(1,2)|OF|2b12.5已知椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的一条弦所在的直线方程是xy50，弦的中点是M(4,1)，则椭圆的离心率是()A.eq f(1,2)B.eq f(r(2),2

4、)C.eq f(r(3),2)D.eq f(r(5),5)解析：选C设直线xy50与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x28，y1y22，直线AB的斜率keq f(y1y2,x1x2)1.由eq blcrc (avs4alco1(f(xoal(2,1),a2)f(yoal(2,1),b2)1，,f(xoal(2,2),a2)f(yoal(2,2),b2)1)得eq f(x1x2x1x2,a2)eq f(y1y2y1y2,b2)0，eq f(y1y2,x1x2)eq f(b2,a2)eq f(x1x2,y1y2)1，eq f(b2,a2)eq f(1,4)，故椭圆的离心率eeq

5、 f(c,a)eq r(1f(b2,a2)eq f(r(3),2).故选C.6已知椭圆eq f(x2,25)eq f(y2,16)1，过椭圆的右焦点F且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，则|AB|_.解析：易求得a5，b4，所以|AB|eq f(2b2,a)eq f(242,5)eq f(32,5).答案：eq f(32,5)7某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆(地球看作是球体)，测得近地点A距离地面m km，远地点B距离地面n km，地球半径为R km，关于这个椭圆有下列说法：焦距为nm；短轴长为eq r(mRnR)；离心率eeq f(nm,mn2R).其中正确说法的序号为_

6、解析：由题意，得nRac，mRac，可解得2cnm，aeq f(mn2R,2)，2b2eq r(a2c2)2eq r(mRnR)，eeq f(nm,mn2R)，故正确，不正确答案：8过椭圆eq f(x2,5)eq f(y2,4)1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_解析：由题意知，右焦点的坐标为(1,0)，直线的方程为y2(x1)，将其与eq f(x2,5)eq f(y2,4)1联立，消去y，得3x25x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2eq f(5,3)，x1x20，所以|AB|eq r(1k2)|x1x2|eq r(122)e

7、q r(blc(rc)(avs4alco1(f(5,3)240)eq f(5r(5),3).设原点到直线的距离为d，则deq f(|2|,r(1222)eq f(2,r(5).所以SOABeq f(1,2)|AB|deq f(1,2)eq f(5r(5),3)eq f(2,r(5)eq f(5,3).答案：eq f(5,3)9已知椭圆4x2y21及直线yxm，若直线被椭圆截得的弦长为eq f(2r(10),5)，求直线的方程解：把直线方程yxm代入椭圆方程4x2y21，得4x2(xm)21，即5x22mxm210.(*)则(2m)245(m21)16m2200，解得eq f(r(5),2)me

8、q f(r(5),2).设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2，则x1x2eq f(2m,5)，x1x2eq f(m21,5).根据弦长公式，得eq r(112)eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(2m,5)24f(m21,5)eq f(2r(10),5)，解得m0.因此，所求直线的方程为yx.10.如图，已知椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且eq o(AF2,sup7()2eq o(F2B,sup7()，

9、求椭圆的方程解：(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形所以有|OA|OF2|，即bc.所以aeq r(2)c，eeq f(c,a)eq f(r(2),2).(2)由题知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，由eq o(AF2,sup7()2eq o(F2B,sup7()，解得xeq f(3,2)，yeq f(b,2).代入eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1，得eq f(f(9,4),a2)eq f(f(b2,4),b2)1，即eq f(9,4a2)eq f(1,4)1，解得a23，b22，所以椭圆方程为eq f(x2,3)eq f(y2,2)1.B级综合运用11直

10、线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq f(1,4)，则该椭圆的离心率为()A.eq f(1,3)B.eq f(1,2)C.eq f(2,3)D.eq f(3,4)解析：选B设椭圆的方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，不妨设直线方程为eq f(x,c)eq f(y,b)1.椭圆的中心到l的距离为其短轴长的eq f(1,4)，eq f(1,r(f(1,c2)f(1,b2)eq f(b,2)，即4b2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,c2)f(1,b2)，eq f(b2,c2)3，eq

11、f(a2c2,c2)3，eeq f(c,a)eq f(1,2).故选B.12若点(x，y)在椭圆4x2y24上，则eq f(y,x2)的最小值为()A1B1Ceq f(2r(3),3)D以上都不对解析：选C设eq f(y,x2)k，则yk(x2)由eq blcrc (avs4alco1(4x2y24，,ykx2)消去y，整理得(k24)x24k2x4(k21)0，16k444(k21)(k24)0，解得keq f(2r(3),3)，kmineq f(2r(3),3).选C.13已知动点P(x，y)在椭圆eq f(x2,25)eq f(y2,16)1上，若A点坐标为(3,0)，|eq o(AM,

12、sup7()|1，且eq o(PM,sup7()eq o(AM,sup7()0，则|eq o(PM,sup7()|的最小值是_解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点eq o(PM,sup7()eq o(AM,sup7()0，eq o(AM,sup7()eq o(PM,sup7().|eq o(PM,sup7()|2|eq o(AP,sup7()|2|eq o(AM,sup7()|2|eq o(AP,sup7()|21，椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故|eq o(AP,sup7()|min2，|eq o(PM,sup7()|mineq r(3).答案：eq r(3)14在平面直角坐标系xOy中

13、，点P到两点(0，eq r(3)，(0，eq r(3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设直线ykx1与C交于A，B两点，k为何值时eq o(OA,sup7()eq o(OB,sup7()？此时|AB|的值是多少解：(1)设P(x，y)，由椭圆的定义知，点P的轨迹C是以(0，eq r(3)，(0，eq r(3)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴长beq r(22r(3)2)1.故曲线C的方程为eq f(y2,4)x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq blcrc (avs4alco1(ykx1，,y24x24.)消去y，并整理，得(k24)x

14、22kx30.由根与系数的关系得x1x2eq f(2k,k24)，x1x2eq f(3,k24).若eq o(OA,sup7()eq o(OB,sup7()，则x1x2y1y20.因为y1y2(kx11)(kx21)k2x1x2k(x1x2)1，所以x1x2y1y2eq f(3,k24)eq f(3k2,k24)eq f(2k2,k24)1eq f(4k21,k24)0，所以keq f(1,2).当keq f(1,2)时，x1x2eq f(4,17)，x1x2eq f(12,17).所以|AB|eq r(1k2)eq r(x1x224x1x2) eq r(f(5,4)blcrc(avs4alc

15、o1(blc(rc)(avs4alco1(f(4,17)24f(12,17)eq f(4r(65),17).C级拓展探究15有一椭圆形溜冰场，长轴长是100 m，短轴长是60 m现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形，且使这个矩形的面积最大，试确定这个矩形的顶点的位置这时矩形的周长是多少？解：分别以椭圆的长轴、短轴所在的直线为x轴、y轴，以长轴的中点为坐标原点O，建立如图的平面直角坐标系xOy.设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上易知矩形ABCD关于原点O及x轴，y轴对称已知椭圆的长轴长2a100 m，矩轴长2b60 m，则a50 m，b30 m，所以椭圆的方程为eq f(x2,502)eq f(y2,302)1.设点A的坐标为(x0，y0)，x00，y00，则eq f(xoal(2,0),502)eq f(yoal(2,0),302)1，即yeq oal(2,0)eq f(302,502)(502xeq oal(2,0)根据矩形ABCD的对称性，可知它的面积S4x0y0.xeq oal(2,0)yeq oal(2,0)xeq oal(2,0)eq f(302,502)(502xeq oal(2,0)eq blc(rc)(avs4alco1(f(30,50)2eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(xoal(