高中数学选修第一册：2.3.1两条直线的交点坐标 2.3.2　两点间的距离公式

1、2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.1两条直线的交点坐标2.3.2两点间的距离公式基础过关练题组一两条直线的交点坐标1.直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点坐标是() A.(2,2)B.(2,-2)C.(-2,2)D.(-2,-2)2.直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2,-1),则m+n的值为()A.12B.10C.-8D.-63.两直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,那么k的值为.4.三条直线mx+2y+7=0,y=14-4x和2x-3y=14相交于一点,则m的值为.5.若直线l:y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限

2、,则k的取值范围是.6.已知直线l1:x-y+4=0与l2:2x+y-1=0相交于点P,求满足下列条件的直线方程:(1)过点P且过原点;(2)过点P且平行于直线l3:x-2y-1=0.题组二两点间的距离7.直线y=x上的两点P,Q的横坐标分别是1,5,则|PQ|等于()A.4B.42C.2D.228.点P(-2,5)为平面直角坐标系内一点,线段PM的中点是(1,0),那么点M到原点O的距离为()A.41B.41C.39D.399.到A(1,3),B(-5,1)的距离相等的动点P满足的方程是()A.3x-y-8=0B.3x+y+4=0C.3x-y+6=0D.3x+y+2=010.在直线x-y+4

3、=0上有一点P,它到点M(-2,-4),N(4,6)的距离相等,则点P的坐标为.11.已知点A(-2,-1),B(-4,-3),C(0,-5),求证:ABC是等腰三角形.题组三两直线交点、两点间距离公式的综合应用12.若点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点M的坐标为(3,4),则AB的长度为()A.10B.5C.8D.613.已知点A(-1,2),B(2,7),线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P,则|PA|的值为()A.1B.2C.2D.2214.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是()A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-3=0D.x+2y-3=015.

4、直线l1:3x-y+12=0和l2:3x+2y-6=0及y轴所围成的三角形的面积为.16.如图,ABC中,BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,BAC的平分线所在直线的方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标.能力提升练题组一两条直线的交点坐标1.(2020河北唐山一中高二上期中,)过直线x+y-3=0和2x-y=0的交点,且与2x+y-5=0垂直的直线方程是() A.4x+2y-3=0B.4x-2y+3=0C.x+2y-3=0D.x-2y+3=02.(2019四川雅安中学高二上期中,)已知直线l1:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0.(1)求证:无论m为何实

5、数,直线l1恒过一定点M;(2)若直线l2过点M,且与x轴负半轴、y轴负半轴围成的三角形面积最小,求直线l2的方程.题组二两点间的距离3.()已知直线l:kx-y+2-k=0过定点M,点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,则|MP|的最小值是()A.10B.355C.6D.354.()点P1(a,b)关于直线x+y=0的对称点是P2,P2关于原点O的对称点是P3,则|P1P3|=.5.()(1)已知点P是平面上一动点,点A(1,1),B(2,-2)是平面上两个定点,求|PA|2+|PB|2的最小值,并求此时P的坐标;(2)求函数f(x)=x2-4x+13+x2-12x+37的最小值.题组三交

6、点、两点间距离公式的综合应用6.()若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点()A.(4,-2)B.(0,4)C.(-2,4)D.(0,2)7.(2020安徽六安一中高二上期中,)入射光线在直线l1:2x-y-3=0上,先经过x轴反射到直线l2上,再经过y轴反射到直线l3上,则直线l3的方程为()A.x-2y+3=0B.2x-y+3=0C.2x+y-3=0D.2x-y+6=08.(2020山西大同一中高二上期中,)已知直线y=2x是ABC中ACB的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为()A.(-2,4)B.(-2

7、,-4)C.(2,4)D.(2,-4)9.()已知A(2,4),B(1,0),动点P在直线x=-1上,当|PA|+|PB|取最小值时,点P的坐标为()A.-1,85B.-1,215C.(-1,2)D.(-1,1)10.(2019北京密云高一期末,)对于平面直角坐标系内任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),定义它们之间的一种“新距离”:|AB|=|x2-x1|+|y2-y1|.给出下列三个命题:若点C在线段AB上,则|AC|+|CB|=|AB|;在ABC中,若C=90,则|AC|2+|CB|2=|AB|2;在ABC上,|AC|+|CB|AB|.其中的真命题为()A.B.C.D.11.()已

8、知点M(3,5),在直线l:x-2y+2=0和y轴上各找一点P和Q,使MPQ的周长最小.答案全解全析基础过关练1.C由3x+4y-2=0,2x+y+2=0,解得x=-2,y=2.故所求交点坐标是(-2,2).2.B将(2,-1)代入3x+my-1=0可得m=5,将(2,-1)代入4x+3y-n=0可得n=5,所以m+n=10.3.答案6解析在2x+3y-k=0中,令x=0,得y=k3,将0,k3代入x-ky+12=0,解得k=6.4.答案-34解析解方程组y=14-4x,2x-3y=14得x=4,y=-2,所以这两条直线的交点坐标为(4,-2).由题意知点(4,-2)在直线mx+2y+7=0上

9、,将(4,-2)代入,得4m+2(-2)+7=0,解得m=-34.5.答案33,+解析解法一:由题意知直线l过定点P(0,-3),直线2x+3y-6=0与x轴,y轴的交点分别为A(3,0),B(0,2),如图所示,要使两直线的交点在第一象限,则直线l的斜率kkAP,而kAP=-3-00-3=33,k33.解法二:解方程组y=kx-3,2x+3y-6=0,得x=33+63k+2,y=6k-233k+2.由题意知x=33+63k+20且y=6k-233k+20.3k+20,且6k-230,解得k33.6.解析(1)x-y+4=0,2x+y-1=0 x=-1,y=3P(-1,3),所以过点P与原点的

10、直线方程为y=-3x.(2)根据题意设所求直线方程为x-2y+c=0(c-1),由(1)知点P(-1,3),又点P在该直线上,所以c=7,则所求的直线方程为x-2y+7=0.7.B由题意得P(1,1),Q(5,5),|PQ|=42+42=42.8.B设M(x,y),由中点坐标公式得x-22=1,y+52=0,解得x=4,y=-5.所以点M(4,-5).则|OM|=42+(-5)2=41.9.B设P(x,y),则(x-1)2+(y-3)2=(x+5)2+(y-1)2,即3x+y+4=0.10.答案-32,52解析设点P的坐标是(a,a+4),由题意可知|PM|=|PN|,即(a+2)2+(a+4

11、+4)2=(a-4)2+(a+4-6)2,解得a=-32.故P点的坐标是-32,52.11.证明|AB|=(-4+2)2+(-3+1)2=22,|AC|=(0+2)2+(-5+1)2=25,|BC|=(0+4)2+(-5+3)2=25,|AC|=|BC|.又A,B,C三点不共线,ABC是等腰三角形.12.A由题意可得点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8),所以由两点间的距离公式得|AB|=10.13.D线段AB的中点坐标为12,2+72,线段AB所在直线的斜率kAB=7-22-(-1)=7-23.线段AB的垂直平分线方程为y-2+72=-37-2x-12.令y=0,得-2+72=-37

12、-2x-12.解得x=1,因此,P(1,0).|PA|=(1+1)2+22=22,故选D.14.D设所求直线上任一点(x,y),它关于x=1的对称点为(x0,y0),则x0=2-x,y0=y,(x0,y0)在直线x-2y+1=0上,2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0,故选D.15.答案9解析易知直线l1、l2与y轴的交点坐标分别为(0,12),(0,3).由3x-y+12=0,3x+2y-6=0,解得x=-2,y=6.故所求三角形的面积S=12(12-3)|-2|=9.16.解析由方程组x-2y+1=0,y=0得顶点A(-1,0),则边AB所在直线的斜率kAB=2-01-(-1)=1

13、.BAC的平分线所在直线的方程为y=0,直线AC的斜率为-1,AC所在直线的方程为y=-(x+1).BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,kBC=-2.又点B的坐标为(1,2),BC所在直线的方程为y=-2(x-1)+2.由y=-2(x-1)+2,y=-(x+1)得C(5,-6).综上,A(-1,0),C(5,-6).能力提升练1.D解法一:由x+y-3=0,2x-y=0,得x=1,y=2.因此两直线的交点为(1,2).又直线2x+y-5=0的斜率为-2,要求直线的斜率为12,直线方程为y-2=12(x-1),即x-2y+3=0,故选D.解法二:设要求的直线方程为(x+y-3)+(2x

14、-y)=0,即(1+2)x+(1-)y-3=0.又该直线与直线2x+y-5=0垂直,2(1+2)+1(1-)=0,解得=-1.因此所求直线方程为-x+2y-3=0,即x-2y+3=0.故选D.2.解析(1)证明:l1:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0m(x-2y-3)+(2x+y+4)=0.x-2y-3=0,2x+y+4=0 x=-1,y=-2,则M(-1,-2),无论m为何实数,直线l1恒过一定点M(-1,-2).(2)由题意知直线l2的斜率k0,设直线l2:y+2=k(x+1),令x=0,得y=k-2.令y=0,得x=2k-1.三角形面积S=12|k-2|2k-1=122-4k-

15、k+2=124-4k-k,k0,-k0,-4k-k2-4k(-k)=4,当且仅当-4k=-k,即k=-2时取等号,y+2=-2(x+1),即2x+y+4=0.3.B由题易得直线l:kx-y+2-k=0,即k(x-1)-y+2=0,过定点M(1,2).点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,y=1-2x,|MP|=(x-1)2+(1-2x-2)2=5x2+2x+2=5x+152+95,故当x=-15时,|MP|取得最小值355,故选B.4.答案2|a-b|解析由题意得P2(-b,-a),P3(b,a),|P1P3|=(a-b)2+(b-a)2=2|a-b|.5.解析(1)设P(x,y)(xR,y

16、R),则|PA|=(x-1)2+(y-1)2,|PB|=(x-2)2+(y+2)2,|PA|2+|PB|2=(x-1)2+(y-1)2+(x-2)2+(y+2)2=2x2-6x+2y2+2y+10=2x-322+2y+122+5.当x=32,y=-12时,|PA|2+|PB|2的值最小.故|PA|2+|PB|2的最小值为5,此时P32,-12.(2)f(x)=(x-2)2+9+(x-6)2+1=(x-2)2+(0-3)2+(x-6)2+(0-1)2.设A(2,3),B(6,1),P(x,0),如图,则上述问题转化为求|PA|+|PB|的最小值.点A关于x轴的对称点为A(2,-3),|PA|+|

17、PB|=|PA|+|PB|AB|=42,|PA|+|PB|42.f(x)的最小值为42.6.D由l1:y=k(x-4),得直线l1过定点A(4,0).又l1与l2关于点(2,1)对称,因此,点A(4,0)关于点(2,1)对称的点B(x,y)一定在直线l2上.由4+x2=2,0+y2=1,得x=0,y=2,直线l2恒过定点(0,2),故选D.7.B设直线l1:2x-y-3=0与x轴、y轴交点分别为A32,0,B(0,-3).如图所示,则点A关于y轴的对称点A1-32,0,点B关于x轴的对称点B1(0,3)在反射光线l3上,其方程为x-32+y3=1,即2x-y+3=0,故选B.8.C设点A关于直

18、线y=2x对称的点为A(x1,y1),则y1+22=2x1-42,y1-2x1+4=-12,解得x1=4,y1=-2,A(4,-2).由题意知,A在直线BC上,kBC=1-(-2)3-4=-3.从而直线BC的方程为y=-3x+10.由y=2x,y=-3x+10,得x=2,y=4.点C的坐标为(2,4),故选C.9.A点B关于直线x=-1对称的点为B1(-3,0).由图形知,当A、P、B1三点共线时,|PA|+|PB1|=(|PA|+|PB|)min.此时,直线AB1的方程为y=45(x+3),令x=-1,得y=85.故选A.10.C对于,若点C在线段AB上,设点C的坐标为(x0,y0),则x0在x1、x2之间,y0在y1、y2之间,则|AC|+|CB|=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|=|x2-x1|+|y2-y1|=|AB|成立,故正确;对于,在ABC中,若C=90,则|AC|2+|CB|2=|AB|2是几何距离而非题目定义的“新距离”,所以不正确;对于,在ABC中,|AC|+|CB|=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-