中学数学能力培养

1、第五章 中学数学能力与教学 能力通常指完成某种活动的本领、包括完成某项活动的具体方式以及顺利完成某种活动所必需的个性心理特征。能力通常分为一般能力和特殊能力。前者指在各种活动中表现出来的基本能力，如观察能力、注意力和记忆力等。特殊能力是在某种专业活动中表现出来的能力。两者有机联系在一起，一般能力的表现为特殊能力的发展创造条件；而特殊能力的发展又促进一般能力的发展。数学能力是顺利完成数学活动所具备的而且直接影响其特殊活动效率的一种个性心理特征。它是在数学活动中形成和发展起来的，是在这类活动中表现出来的比较稳定的心理特征。数学能力按数学活动水平可分为两类：学习数学（再现性）的数学能力；另一种是研究

2、数学（创造性）的数学能力。中学数学教学中，包括学习数学的能力和这种初步的创造能力，并且这种创造能力的培养，在中学数学教学已越来越来引起人们的重视。如图：再现性数学能力学生学校数学创造性数学能力数学工作者作为学科的数学数学活动再创造数学能力与数学知识、技能的关系数学知识由两种成分组成：客观的数学知识（显性）和主观的数学活动经验（隐性）。客观的数学知识指那些客观的数学事实，如数学命题、数学思想、数学方法、数学问题和数学语言等它们只是数学知识的一小部分。主观的数学活动经验指从事数学活动过程中，内潜于个体的对于数学的体验及认知模式，主要涉及伴随活动过程的体验性、策略性及元认知知识。它包括了对数学的情感

3、、态度、价值观以及对数学美的体验，它渗透于活动行为的数学思考、数学意识、数学观念、数学精神等，还包括了处理数学对象的成功思维方式以及思考抽象概念的成功思维方式。如图： 明言知识 (是什么、为什么) 主要是事实和原理的知识存于书本，可编码（逻辑性）、可传递(共享性)、可反思(批判性) 默会知识 （怎么想、怎么做）本质上是理解力和领悟存于个人经验(个体性)、嵌入实践活动（情境性） 隐性知识常常“只可意会，不可言传” M. Polany ：“缄默的知识”(1956)，实践技能很难诉诸文字，科学 创造根源于默会的力量。OECD(经合组织):“1996年科学、技术与产业 展望”，重点强调默知识在新经济时

4、代的特别重要意义。 知识的冰山模型（J.Brown,2000）数学技能的内涵数学技能是指通过练习而形成的、顺利完成数学活动的一种动作方式，往往表现为完成数学任务所需要的动作协调和自动化。数学技能分为动作技能和心智技能，但主要是指心智技能。心智技能是一种活动方式，属于心理活动经验，解决的是完成活动时会不会及熟练不熟练的问题，它具有动作对象的观念性、动作执行的内潜性、动作结构的简缩性等特点中学阶段的数学基本技能具体表现为能够按照一定程序与步骤进行运算、处理数据（包括使用计算机）、简单的推理、画图、绘制图表、数学交流等技能。数学能力与数学知识、数学技能的关系相互联系又相互区别数学知识是数学经验的概括

5、，是个体心理内容；数学技能是一系列关于数学活动的行为方式的概括，是个体操作技术；数学能力是对数学思想材料进行加工的活动过程的概括，是个体心理特征。数学技能以数学知识的学习为前提，在数学知识的学习和应用过程中，通过实际操作获得动作经验而逐渐形成，并且对知识学习产生反作用。数学技能的形成可以看成是深刻掌握数学知识的一个标志。作为心理特征的能力，是对活动的进行起稳定调节作用的个体经验，是一种内化了的认知经验和动作经验。简言之，数学知识是形成数学技能的基础，数学知识和数学技能又是形成数学能力的基础，且数学技能从数学知识掌握到数学能力形成和发展的中间环节；反过来，数学能力的提高又会加深数学知识的理解和技

6、能的掌握。第二节 数学能力的成分结构三大能力：运算能力，逻辑思维能力，空间想象能力。（19701990年代）逐步形成运用数学知识来分析和解决实际问题的能力，“逻辑思维能力”改成“思维能力”，增加“创新意识”的培养。（19902000年代）抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理、空间想象能力，应用意识和创新意识。（2000年代至今）数学一般能力：数学观察力、注意力、记忆力。数学特殊能力：抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理、空间想象能力。数学实践能力：学生数学的提出问题、分析问题和解决问题的能力，应用意识和创新能力、数学探究能力和数学交流能力。数学发展能力：包括独立获取数学知识的能力和数学创新

7、能力。培养学生的发展能力是数学教育的最高目标。如图：数学发展能力数学实践能力数学一般能力数学特殊能力图5.1(一)数学一般能力1.数学观察能力：指对用数字、字母、符号、文字所表示的数学关系，各种图形、图表的结构特点的感知能力，以及对概括化、形式化、空间结构和逻辑模式的识别判断。表现在：掌握数学概念时，善于舍弃非本质属性，抓住本质特征的能力；学习数学时，善于抓住知识的内在联系，形成知识结构体系的能力；学习数学原理时，能从数学事实或现象展现中，掌握数学法则或规律的能力；解决数学问题时，善于识别问题的特征，发现隐含条件，正确选择解题途径和数学模型的能力，以及解题的辨析能力。3.数学记忆能力数学记忆能

8、力的特征是从数学科学特定的特征中产生的，是一种对于概括化、形式化结构和逻辑模式的记忆力，记忆里不仅包括对众多抽象的数学符号、定义、公式、定理、数学图形的记忆能力，也包括对典型的推理模式、重要的运算格式和步骤、数学模型的物理背景的记忆能力，以及再现不同数学概念之间逻辑联系的能力。按被回忆的材料将数学记忆力分为：对具体事实、术语和记忆力；对数学概念、算法的记忆力；对数学原理、法则的记忆力；对数学问题类型标识、解题模式的记忆力；对数学解题方法、思想的记忆力。（二）数学特殊能力2.抽象概括能力抽象和概括是在对事物的属性作比较、分析、综合的基础上进行的，并借助判断、推理的形式表达出来。抽象和概括紧密联系

9、，抽象是概括的基础，概括是抽象的目的。数学概括能力是从具体对象中抽取出其中蕴含的数学关系或结构，并将其共同属性和本质特征进行推广的能力。数学中的概念、性质、法则、公式、数量关系等都是抽象概括的结果。3.推理论证能力数学推理：演绎推理和合情推理。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包含定义、定理、公理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，变现形式是逻辑运演。主要运演手段有：分析、综合、抽象、概括、完全归纳等。逻辑运演是科学论证的基本形式，更是数学严谨性的有力保证。合情推理是人们根据已有的知识经验（即原有的认知结构），在某种情境和过程中，运用观察、实验、归纳、类比、联想、直觉等非演绎（或非

10、完全演绎）的思维形式，推出关于客体的合乎情理的认知过程。在解决问题过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养二者的关系：合情推理演绎推理归纳、类比发现结论逻辑推理验证结论4.空间想象能力空间想象能力可分为三个不同层次水平：空间观念，建构表象能力，表象操作能力。空间观念包含三层意思：空间感，实物几何化，空间结构的二维表示和由二维图形表示想象出基本元素间的空间结构关系。建构表象的能力是指在文字、语言刺激指导下构想几何形状的能力。表象操作能力指对大脑中建立的表象进行加工或操作以便建构新表象的能力。空间想象能力在数学学习中的表现。1.问题解决能力弄清问题拟定计划评论

11、与回顾执行计划（三）数学实践能力2.数学交流能力是指运用数学语言进行知识信息、情绪感受、思想观念的交流的能力。数学交流能力既包括对数学语言表达方式的选择，又包括对大脑中的思维成果进一步澄清、组织、巩固等一系。列再加工的过程。数学交流按照交流的内容大致可分为：知识的交流、体验的交流和解决问题的交流。数学交流的能力具体表现为：能够阅读、倾听、讨论、描述和写作数学。具体来说，就是会用口头或书面的、实物或图表的、自然语言或符号的方式来表达、演示或模拟数学问题与情境，通过主题的操作活动和内心体验，能领悟与建构起图表及实物材料与数学概念之间，自然语言及直觉观念与抽象的数学语言之间的联系；从数学交流中能反映

12、和理清自己关于数学概念与问题的思考，获得和提出令人信服的数学观点及论证；能自如地应用数学语言和数学思考进行讨论。二、数学特殊能力的培养（一）数学运算求解能力的培养理解和掌握基本的运算规则和方法重视算法多样化，选择合理算法：心算、笔算和机器算、精算和估算培养学生的运算品质 运算品质指运算的准确性、运算的熟练性、运算的灵活性和运算的简捷性。（二）数学抽象概括能力的培养1.注意数学概念形成的教学教学中要使学生经历如下概念形成的具体过程：辨别一类事物的不同例子，抽象概括出各例子的共同属性；提出它们共同本质属性的假设，并加以检验；把本质属性与原有认知结构中的适当的知识联系起来，使新概念与已知的有关概念区

13、别开来；把新概念的本质属性推广到一切同类事物中去，已明确它的外延。注意实际问题数学化的训练（三）数学推理论证能力的培养1.掌握推理的方法 演绎推理是从一般到特殊的推理，其主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理。演绎推理是一种必然推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系，只要大前提、小前提都是真实的，推理是合符逻辑的，那么结论就一定是真实的。因此演绎推理可以作为数学中严格证明的工具。M P（M是P）S M（S是M）S P（S是P）合情推理的主要方法是归纳和类比，哲理的归纳指不完全归纳。不完全归纳是根据考查的一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该类事物都具有这一属性的一般结论的推理，也称为不完全归纳推理。由于不完全归纳推理是从部分推广到全体，结论判断范围超出了前提判断范围，因此结论不一定可靠，是似真的。类比也称类比推理，是根据两个或两类事物在某些属性上都相同或相似，而推出它们在其他属性上也相同或相似的推理方法。2.掌握证明的规则和方法3.加强数学推理与证明的训练（四）空间想象能力的培养1.重视空间想象能力的逐级形成空间形象能力是随着学生年龄的增长、知识的增多、认知结构的不断完善而逐渐形成的，因此教学中应采取逐级提高的方法来培养空间想象力。空间想象能力的逐级培养还应重视从整体的角度出发来设计数学教学。2.重视识图、画图的学