高中数学必须第二册（苏教版）课后习题第九章平面向量：9.3.2　第2课时　向量数量积的坐标表示

1、高中数学同步资源QQ群483122854 专注收集成套同步资源,成套的教案，成套的课件，成套的试题，成套的微专题 期待你的加入与分享高中数学同步资源QQ群483122854 专注收集成套同步资源,成套的教案，成套的课件，成套的试题，成套的微专题 期待你的加入与分享第2课时向量数量积的坐标表示必备知识基础练1.已知向量a=(x,1),b=(1,-2),且ab,则|a+b|等于()A.5B.10C.25D.10答案B解析由题意可得ab=x1+1(-2)=x-2=0,解得x=2.所以a+b=(x+1,-1)=(3,-1),即|a+b|=10.2.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则三

2、角形ABC的形状是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形答案A解析由题设知AB=(8,-4),AC=(2,4),BC=(-6,8),所以ABAC=28+(-4)4=0,即ABAC.所以BAC=90,故三角形ABC是直角三角形.3.平面向量a与b的夹角为60,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|等于()A.3B.23C.4D.12答案B解析a=(2,0),|b|=1,|a|=2,ab=21cos 60=1.|a+2b|=a2+4ab+4b2=23.4.设点A(4,2),B(a,8),C(2,a),O为坐标原点,若四边形OABC是平行四边形,则向量OA与OC的夹角为()

3、A.3B.4C.6D.2答案B解析四边形OABC是平行四边形,OA=CB,即(4,2)=(a-2,8-a),a=6.设向量OA与OC的夹角为,OA=(4,2),OC=(2,6),cos =OAOC|OA|OC|=42+2642+2222+62=22,又(0,),OA与OC的夹角为4.5.已知a=(-1,1),b=(1,2),则a(a+2b)=.答案4解析a+2b=(1,5),a(a+2b)=4.6.设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a(ma-b),则实数m=.答案-1解析由题意得ma-b=(m+1,-m),因为a(ma-b),所以1(m+1)+0(-m)=0,所以m=-1.7.设向量a

4、=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则实数m=,|a+b|=.答案-210解析由|a+b|2=|a|2+|b|2,得ab=0,即m+2=0,解得m=-2.所以a+b=(-1,3),所以|a+b|=10.8.已知向量a=(1,2),b=(2,-2).(1)设c=4a+b,求(bc)a;(2)若a+b与a垂直,求实数的值.解(1)c=4(1,2)+(2,-2)=(6,6),bc=26-26=0,(bc)a=0a=0.(2)a+b=(1,2)+(2,-2)=(1+2,2-2),(a+b)a,(1+2)+2(2-2)=0,解得=52.9.已知三个点A(2,1),B(3,2

5、),D(-1,4),(1)求证:ABAD;(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所成锐角的余弦值.(1)证明A(2,1),B(3,2),D(-1,4),AB=(1,1),AD=(-3,3),ABAD=1(-3)+13=0,ABAD,即ABAD.(2)解四边形ABCD为矩形,AB=DC.设点C的坐标为(x,y),则AB=(1,1),DC=(x+1,y-4),x+1=1,y-4=1,解得x=0,y=5,点C坐标为(0,5).则AC=(-2,4),BD=(-4,2),ACBD=8+8=16,|AC|=25,|BD|=25.设AC与BD的夹角为,则cos =ACBD|AC|

6、BD|=162525=45,矩形的两条对角线所成锐角的余弦值为45.关键能力提升练10.已知向量a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b夹角的余弦值为()A.865B.-865C.1665D.-1665答案C解析a=(4,3),2a=(8,6).又2a+b=(3,18),b=2a+b-2a=(-5,12).ab=-20+36=16.又|a|=5,|b|=13,设a与b的夹角为,则cos =ab|a|b|=16513=1665.11.若向量AB=(3,-1),n=(2,1),且nAC=7,则nBC等于()A.-2B.2C.-2或2D.0答案B解析AB+BC=AC,BC=AC-AB.nBC

7、=nAC-nAB=7-5=2.12.在矩形ABCD中,AB=23,AD=2,点E为线段BC的中点,点F为线段CD上的动点,则AEAF的取值范围是()A.2,14B.0,12C.0,6D.2,8答案A解析如图,A(0,0),E(23,1),设F(x,2)(0 x23),所以AE=(23,1),AF=(x,2),因此AEAF=23x+2,设f(x)=23x+2(0 x23),f(x)为增函数,则f(0)=2,f(23)=14,故2f(x)14,AEAF的取值范围是2,14.13.若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角为()A.-4B.6C.4D.34答案C解析a=(1,2

8、),b=(1,-1),2a+b=(3,3),a-b=(0,3),设2a+b与a-b的夹角为,则cos =30+9323=22,又0,=4.14.已知a,b,c均为单位向量,且|a+b|=1,则(a-b)c的取值范围是()A.0,1B.-1,1C.-3,3D.0,3答案C解析由a,b为单位向量和|a+b|=1的几何意义,可知|a-b|=3,设a-b与c的夹角为,则(a-b)c=|a-b|c|cos =3cos ,cos -1,1,(a-b)c的取值范围为-3,3.15.已知O为坐标原点,向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x轴上有一点P使得APBP有最小值,则点P的坐标是()A.(-3,1

9、)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)答案C解析设点P的坐标为(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1).APBP=(x-2)(x-4)+(-2)(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1,所以当x=3时,APBP有最小值1.此时点P的坐标为(3,0).16.已知A,B,C是锐角三角形ABC的三个内角,向量p=(sin A,1),q=(1,-cos B)不共线,则p与q的夹角是()A.锐角B.钝角C.直角D.不确定答案A解析因为ABC是锐角三角形,所以A+B2,即A2-B.又因为函数y=sin x在-2,2上是增函数,所以sin Asin2-B=cos B,所以pq=

10、sin A-cos B0.设p与q的夹角为,所以cos =pq|p|q|0,又因为p与q不共线,所以p与q的夹角是锐角.17.(多选)设向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论中正确的是()A.|a|=b2B.ab=0C.|a+b|=(3,1)D.(a-b)b答案AD解析|a|=b2=2,故A正确,B,C显然错误.a-b=(1,-1),所以(a-b)b=1-1=0,所以(a-b)b.故D正确.18.(多选)已知a=(1,1),b=(0,-2),且ka-b与a+b的夹角为120,则实数k等于()A.-1+3B.-2C.-1-3D.1答案AC解析ka-b=(k,k+2),|ka-b|=k2+

11、(k+2)2.a+b=(1,-1),|a+b|=12+(-1)2=2,(ka-b)(a+b)=k-k-2=-2.又ka-b与a+b的夹角为120,cos 120=(ka-b)(a+b)|ka-b|a+b|,即-12=-22k2+(k+2)2,化简并整理,得k2+2k-2=0,解得k=-13.故选AC.19.已知平面向量a=(2,4),b=(-1,2).若c=a-(ab)b,则|c|=.答案82解析因为ab=2(-1)+42=6,所以c=(2,4)-6(-1,2)=(8,-8),所以|c|=82+(-8)2=82.20.已知在直角梯形ABCD中,ADBC,ABC=90,AB=BC=2,AD=1,

12、梯形所在平面内一点P满足BA+BC=2BP,则PCPD=.答案-1解析建立如图所示的平面直角坐标系,因为ADBC,ABC=90,AB=BC=2,AD=1,所以B(0,0),A(0,2),C(2,0),D(1,2),所以BA=(0,2),BC=(2,0),因为BA+BC=2BP,所以2BP=(0,2)+(2,0)=(2,2),故BP=(1,1),故P(1,1),PD=(0,1),PC=(1,-1),所以PCPD=01+1(-1)=-1.21.设m=(a,b),n=(c,d),规定两向量m,n之间的一个运算“”为mn=(ac-bd,ad+bc),若已知p=(1,2),pq=(-4,-3),则q的坐

13、标为.答案(-2,1)解析设q=(x,y),则pq=(x-2y,y+2x)=(-4,-3).x-2y=-4,y+2x=-3,x=-2,y=1.q=(-2,1).22.已知向量OA=(1,7),OB=(5,1)(O为坐标原点),设M为直线y=12x上的一点,那么MAMB的最小值是.答案-8解析设Mx,12x,则MA=1-x,7-12x,MB=5-x,1-12x,MAMB=(1-x)(5-x)+7-12x1-12x=54(x-4)2-8.所以当x=4时,MAMB取得最小值-8.23.(2020安徽合肥检测)已知在直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则

14、|PA+3PB|的最小值为.答案5解析如图,以D为原点,DA,DC所在的直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,设DC=a,则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),设P(0,x)(0 xa),则PA+3PB=(2,-x)+3(1,a-x)=(5,3a-4x),所以|PA+3PB|=25+(3a-4x)25,当且仅当x=34a时,等号成立.故|PA+3PB|的最小值为5.24.如图,在ABC中,ABAC=0,|AB|=8,|AC|=6,l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点.(1)求ADCB的值;(2)判断AECB的值是否为一个常数,并说明理由.解(

15、1)以点D为坐标原点,BC所在直线为x轴,直线l为y轴建立平面直角坐标系(图略),由题意易知|BC|=10,则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A75,245,此时AD=-75,-245,CB=(-10,0),所以ADCB=-75(-10)+-2450=14.(2)是一个常数.理由如下:设点E的坐标为(0,y)(y0),此时AE=-75,y-245,所以AECB=-75(-10)+y-2450=14,为常数,故AECB的值是一个常数.25.已知向量a,b满足|a|=5,b=(1,-3),且(2a+b)b.(1)求向量a的坐标;(2)求向量a与b的夹角.解(1)设a=(x,y),因为|

16、a|=5,则x2+y2=5,又因为b=(1,-3),且(2a+b)b,2a+b=2(x,y)+(1,-3)=(2x+1,2y-3),所以2x+1+(2y-3)(-3)=0,即x-3y+5=0,由解得x=1,y=2或x=-2,y=1,所以a=(1,2)或a=(-2,1).(2)设向量a与b的夹角为,所以cos =ab|a|b|=11+2(-3)1+221+(-3)2=-22或cos =ab|a|b|=-21+1(-3)1+221+(-3)2=-22,因为0,所以向量a与b的夹角=34.学科素养创新练26.已知向量a=(1,2),b=(cos ,sin ),设m=a+tb(tR).(1)若=4,求

17、当|m|取最小值时实数t的值.(2)若ab,问:是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为4?若存在,求出实数t;若不存在,请说明理由.解(1)当=4时,b=22,22,ab=322,|m|=(a+tb)2=5+t2+2tab=t2+32t+5=t+3222+12,当t=-322时,|m|取得最小值.(2)存在.假设存在满足条件的实数t.由条件得cos4=(a-b)(a+tb)|a-b|a+tb|,ab,ab=0,|a-b|=(a-b)2=6,|a+tb|=(a+tb)2=5+t2,(a-b)(a+tb)=5-t,5-t65+t2=22.t2+5t-5=0,且t5,得t=-5352.存在t=-5352满足条件.27.已知OA=(4,0),OB=(2,23),OC=(1-)OA+OB(2,R).(1)求OAOB及OA在OB上的投影向量;(2)证明A,B,C三点共线,且当AB=BC时,求的值;(3)求|OC|的最小值.(