2022年《数学分析》第三章函数极限

1、第三章函数极限（方案课时： 1 4 时） P4268 1 函数极限概念（ 4 时 ）一、 x 时函数的极限：1. 以 x 时 f x 1和 g x arctgx 为例引入 . x2. 介绍符号 : x , x , x 的意义 , lim f x 的直观意义 . 3. 函数极限的“M ” 定义 x lim f x A , x lim f x A , limx f x A . 4. 几何意义 : 介绍邻域 U x x M , U x x M , U x x M 其中M 为充分大的正数然后用这些邻域语言介绍几何意义5. 函数在 与 , 极限的关系 : Th1 f A f f A .例1 验证 lim

2、 x 1x 0 .证明格式：0（不妨设 0 ）（不妨设 x 或 x , x ）要使 f x A 化简附加条件逐次放大不等式,只须 x （ x）或 x （ x）, x （ x）. 于是 0 , M0 ,当 x M （或 x M , x M ）时,有-. 依据函数极限的“M ” 定义知 xlim = （或 xlim = ,xlim = ） . 例 2 验证： 1）x lim arctgx2； 2）x lim arctgx2 . 2例 3 验证 lim x 2x x22 x 2 .证2x2x2x4x3x24x42x4. x22x22x2x2x26.的正值性 , 任意性与确定性, 以小为贵 . .7.

3、 M 的存在性与非唯独性,对 M 只要求存在 ,在乎其大的一面二xx 0时函数f x 的极限：1. 由fx 2x,1x2 ,考虑x2时的极限引入 . ,0 x2 .2.函数极限的“” 定义 . 3. 几何意义 . 4. 用定义验证函数极限的基本思路. 3 x3 12= . ,xx 0 ,例 4 验证lim x x 0CC.例5验证lim x x 0 xx0.例6验证lim x 3x323x273 x3912.x2x5证由x3 ,x323 x273x912x2x2x352x1 x3 5x23125 x9x35 x9x3.2x1552 x12x1为使5x95 x1565x3611 ,需有x3;1为

4、使2x12 x6552x3,1需有x3.2于是 , 倘限制0 x31, 就有11x311x3x33x23x9125 x9x32x27x352x11xx 0 或x0 x证明格式：0（不妨设0 ）（不妨设就x ）要使 f x A 化简附加条件逐次放大不等式,只须 x x 0 （x x 0）或 0 x x 0 （x x 0 0）,0 x0 x（x x 0 0）. 于 是 0 ,0 , 当 0 x x 0（ 或 0 x x 0,0 x0 x）时,有 : -. 依据函数极限的“” 定义知x lim x 0= （或x lim x 0 0= ,x lim x 0 0= ） .例 7 验证x limx 0 1

5、 x 2 1 x 0 2 , x 0 1 .例 8 验证 limx x 0 sin x sin x 0 . 类似有 x lim x 0 cos x cos x 0 . 5. 的正值性 , 任意性与确定性 , 以小为贵 . 6. 的存在性与非唯独性 ,对 只要求存在 ,在乎其小的一面 . 7. x lim x 0 f x A 存在并不意味着 f x 在 x 有定义 ,即就是有定义也并不意味着A f 0 x 如例 6. x例 9 证明 limx 0 a 1 a 1 .三. 单侧极限 : 1. 定义：单侧极限的定义及记法. 0 x0 xa,0fxa ,a,a2. 几何意义 : 介绍半邻域a ,00

6、x,a.然后介绍lim x x等的几何意义 . a,a,a,a,a例 9 验证lim x 11x20.证 考虑使1x222的.0A .3. 单侧极限与双侧极限的关系: Th2 x lim x0fx Afx00 f例 10 证明 : 极限lim x 0sgnx不存在 . 例11设函数f x 在点x 的某邻域内单调. 如x lim x 0fx存在 , 就有lim x x0fx =fx 0.Ex 1P47 17. 2 函数极限的性质（ 2 时 ）我们引进了六种极限: lim xfx,lim xfx,lim xfx,x lim x0fx , . 2.fx00 ,fx 00 .以下以极限x lim x

7、0fx为例争论性质 . 均给出证明或简证一. 函数极限的性质 : 以下性质均以定理形式给出. 1.唯独性 : 2.局部有界性 : 3.局部保号性 : 4.单调性 不等式性质:Th 4 如lim x x 0fx和lim x x 0gx都存在 , 且存在点x 的空心邻域0 x0, 使0 xx0,都有fxgx,x lim x 0fxx lim x 0gx.证设lim x x 0fx=A ,x lim x0gxB. 现证对0 ,有aB2. 0 ,0,x0 x0,Afxgx B,AB註 : 如在Th 4 的条件中 , 改“fxgx” 为“fx gx ”,未必就有AB以fx1x2,gx ,1x 00举例说

8、明 . 5.迫敛性 双逼原理: 例 1 求lim x 0 x1. x6.四就运算性质 : 只证“+” 和“” Ex 1 P51 5 7.二利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：x lim x 0CC,x lim x0 xx0,x lim x 0sinxsinx0,x lim x 0cosxcosx0;, lim x10,x limarctgx2.（ 留意前四个极限中极限就是函数值）x这些极限可作为公式用.通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值即运算得所求极限. 例 1limxtgx1 . 利用极限limsinxsin42和limcosx2. 22x4x4x4例 2lim

9、x1x11x331.1例 3lim x5x33x7.3x32x25註: 关于 x 的有理分式当x时的极限 . 例 47 lim x 1 x x 101. 利用公式an1a1 an1an2a1 . 1例 5 lim x 1x222x21 .xx2例 6 x lim2x23 x3x21.5例 7 lim x5x4sin2x2xx10 .32例 8 lim x 13x1 .1x例 9 lim x 031x1 .11x例10已知lim x 3x2x16AB .求A 和B .3Ex 1P51 1 4. . 补充题 : 已知lim x 2x2x2Ax4BB7.求 A 和B.A16,B20. 33 3 函数

10、极限存在的条件（ 2 时 ）本节介绍函数极限存在的两个充要条件. 仍以极限lim x x 0fx为例 . 一、 Heine 归并原就 函数极限与数列极限的关系：Th 1 设函数f 在点x 的某空心邻域0 x0内有定义 .就极限x lim x 0fx存在对任何x n0 x 0且xnx0,lim nfxn都存在且相等 . 证 Heine 归并原就反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具对单侧极限 ,仍可加强为xn单调趋于x . 参阅 1 P70. 例 1 证明函数极限的双逼原理. 例 2 证明lim x 0sin10.x例 3 证明lim x 0sin1不存在 . xTh 2

11、 设函数f x在点0 x 的某空心右邻域Ux 0有定义 .就lim x x 0fxA对任何以0 x 为极限的递减数列xnUx0,有lim nfxnA. Th 3 设函数f x 为定义在Ux0上的单调有界函数.就lim x x 0fx存在 . 二、Cauchy 准就: Th3 Cauchy 准就 设函数fx在点0 x 的某空心邻域0 x0,内有定义 .就lim x x0fx存在fxfx.0,00,x ,xx0,证 利用 Heine 归并原就 Cauchy 准就的否定 : x lim x 0fx不存在的充要条件. fx存在fx在 a,上有例 4 用 Cauchy 准就证明极限lim x 0sin1

12、不存在 . x证取x1,xn1.n2例5设在a,上函数f x . 就极限lim x界. 简证 , 留为作业. Ex 1P55 1 4. 4 两个重要极限 （ 2 时 ）一lim x 0sinx1.（证）（同理有lim x 0 xx1,1lim nnsin11.）xsinn例 1lim xsinx.x例 2lim x 01cosx. x2例 3lim x 0sin5x.sin3xsinx不存在 . 11 n,例 4lim x 0arcsinx.x例 5 证明极限lim x 0 x1二.lim x11xe .lim x 01xxe .x,1有1n111证对nxnx1n11n11x11n1,xn例

13、6lim x1kx,特殊当k1 k1等. x21例 7 lim x 012xx.例 8 lim x 013sinxcscx例 9lim n111nnn2Ex 1P58 1 4. 5 无穷小量与无穷大量 一、无穷小量 : 1. 定义 . 记法 . 2. 无穷小的性质 :性质 1 无穷小的和差积 性质 2 无穷小与有界量的积例 1lim n3n2sinn23 n5 .n13.无穷小与极限的关系: 阶的比较（2 时 ）Th 1 x lim x 0fxAfx A1,xx 0. 证 x x , 二、 无穷小的阶 : 设x0 x时fx1,gx1.1高阶（或低阶）无穷小：以 x 作为基本无穷小, 有等价关系

14、 :2同阶无穷小：3等价 :Th 2 等价关系的传递性. 等价无穷小在极限运算中的应用: Th 3 等价无穷小替换法就 . 几组常用等价无穷小: 设x0.当x0时,sinx x , tgx x , x x , arcsinax1 x , ln1arctgx x , 1cosxx2, n1x1x, 1xn nx . 的等价无2n再加上 n时 或 x时 n的 或 x 的有理分式 分子次数小于分母次数穷小 .其中有些等价关系的证明以后间续进行. 例 3 求lim x 0arctgx. sin4x例 4lim x 0tgxsinx.sinx3三.无穷大量 :1.定义 : 例 5 验证lim x 01. x2例 6 验证lim x 3 xx3. 2.性质 : 性质 1 同号无穷大的和是无穷大. 性质 2 无穷大与无穷大的积是无穷大. 性质 3 与无界量的关系. 无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小争论, 有平行的结果 . 3.无穷小与无穷大的关系: