由递推公式求通项公式初探

1、递推公式求函数的通项公式哈十四中数学组 王丽娜 教学目标 知道递推公式是给出数列的一种方法；了解数列递推公式的意义，会根据给出的递推公式求出通项公式。 重点难点 熟练掌握已知递推公式求函数通项公式的几种基本形式，并能熟练的应用到解题过程中。教学过程情境引入 国王和农夫打赌，农夫赢了，按照事先的规定国王要按指数幂的情况送给农夫麦粒，那么农夫会得到多少麦粒呢？ 归结成数学模型，这是一个数列数列an的通项公式是，依次用n=1,2,3,64代替公式中的n，就可以求出这个数列的各项。数列an还可以用如下方法给出：第1个格子里的麦粒数是1，从第2个格子起，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍，

2、也就是说，a1=1， an=2an-1(2n64)（参照教科书）由上面数列的第1项，根据项an与an-1间的关系式，可以得出这个数列的各项。如果已知数列an的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 例题1. 已知数列an的第1项是1，以后的各项由公式给出，写出这个数列的前5项。（参考教科书）解： 2 已知， 求（叠加法） 解一：可以写出：， 观察可得： 解二：由题设： 小结：递推模型为an+1=an+f(n)可以用叠加法，如上述两种解法。第一种解法只适合小题。如果是大题，第一种解法的基础上应该用数学归

3、纳法证明。练一练：（2008全国）在数列an中，a1=1, ，设bn=.求证：bn是等差数列。求an证明：=1. bn是以1为首项，1为公差的等差数列。 从而 例3. 已知， 求（叠乘法） 解一： 观察可得： 解二：由 即 小结：递推模型为an+1=an.f(n)可以用采用叠加法，例4.已知数列an中， .(nN)解： 是以1为首项，为公差的等差数列。 小结：递推模型为，可以取倒数化为等差数列。练一练：例：（2004年普通高等学校招生全国统一考试全国卷理）已知数列an的前n项和Sn满足Sn=2an+(-1)n,写出数列的前3项a1,a2,a3;求数列的通项公式证明：对任意的整数，有 这个题由S

4、n=2an+(-1)n与Sn-1=2an-1+(-1)n-1相减得：求出a2,a3，从表面看是由a1,a2,a3猜出通项an，再用数学归纳法证明.但是从a1,a2,a3或再求出a4,a5也很难猜想出其通项公式，所以要让学生单独解决这个问题就很困难了。如果在解决这类问题之前，能够有一些训练，可能就容易一些。例5.（2007年山东省模拟题）数列an的前n项和为Sn. Sn.=2an-3n. (nN)求an的通项公式。解：当时， ，与已知条件二式作差，得 即 。是以6为首项，2为公比的等比数列。小结：递推模型可以通过待定系数法化为 （an+1+）=c(an+),化为等比数列练一练：已知：a1=1,a

5、n=2an-1+1求证：an+1是等比数列;求数列an的通项公式.解：（1）an=2an-1+1,an+1=2(an-1+1)an+1是以a1+1=2为首项，以2位公比的等比数列.由已知得：an=2n-1例6已知数列an满足， ，(nN)求a2010解： 所以数列an以3为周期。a2010=0小结：an为周期数列，则周期为T(T为正整数)时，,可将an转化为a1,a2,aT处理。练习：例7.（08年浙江模拟）在数列an中，已知a1=1,且当时，则a3+a3等于( )A. B. C D 小结：an与前n-1项均有关。在例1中如果只给第2个问题，而没有第1个问题，怎么办？你能不能想到把例1的递推关

6、系化成an+a=2(an-1+a)(1)的形式.例如：要把an=2an-1+5化为an-a=2(an-1-a),还原回去，an=2an-1-a,对照得:a=-5, a+5=2(an-1+5) 数列an+5是以a1+5=6为首项，以2为公比的等比数列. 从而，已知型的递推公式，求通项公式就可以解决了。解决的基本思想方法是，采用待定系数法。设an-a=p(an-1-a)，还原回去后求a，从而得数列an-a是以a1-a为首项,以p为公比的等比数列. 逆向考虑这个问题。若an-2n是以3为公比，以1为首项的等比数列，把它还原成递推公式的形式是怎样的? an-2n=3(an-1-2n-1).a1-21=

7、1， 也就是说已知a1=3, an=3an-1-2n-1,其中an=3an-1-2n-1可化为an-2n=3(an-1-2n-1),a1-21=1,数列an-2n是以a1-21=1为首项，以3为公比的等比数列. an-2n=3n-1 an=3n-1+2n 能不能用类比的方法，解决下面的问题：已知a1=1, an=2an-1+3n.求an解：设 即： 即是以为首项以2为公比的等比数列。再比如由还原成，再已知我们就可以得到递推公式：若直接已知递推公式求此数列的通项公式呢？解：设可化成即： 解得可化为即数列是以2为公比，以为首项的等比数列。 以上通过逆向思维，给出了以下两种类型的递推公式且数列为等比数列或等差数列还可以作一些变式训练：已知 提示：(1)取倒数化为型。(2)平方