2412垂直于弦的直径

1、义务教育课程标准实验教科书九年级 上册人民教育出版社24.1.2 垂直于弦的直径1.通过折叠、作图等方法,探索圆是轴对称图形,且对称轴有无数条. 2.知道垂径定理及其推论,体会利用圆的对称性证明垂径定理;会用垂径定理解决有关的证明和计算问题.3.重点:圆的对称性,垂径定理、推论及其应用. 实践探究用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：1.按照教材“探究”的要求折纸,可以发现折线两侧的半圆重合,所有的折痕都交于一点,这点就是圆心.2.圆是轴对称图形, 任意一条直径所在直线是圆的对称轴.3要证明圆是轴对称图形，只要证明关于对称的点也在圆上.

2、完成下面的证明过程.P81参考书活动一如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？?思考OABCDE活 动 二 （1）圆是轴对称图形直径CD所在的直线是它的对称轴（2） 线段： AE=BE把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，弧AC、弧AD分别与弧BC、弧BD 重合弧：弧AC=弧BC，弧AD=弧BDOABCDE我们还可以得到结论：由此，我们得到下面的定理：即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧

3、（数学语言表示）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（数学语言表示）这个定理也叫垂径定理AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代劳动人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥的半径是多少？ 解得R27.9.ODABCR解决求赵州桥拱半径的问题：在RtOAD中，由勾股定理，得即 R2=18.72+（R7.2）2因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m.OA2=AD2+OD2AB=37.4

4、 m，CD=7.2 m，OD=OCCD=R7.2在图中如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R 经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C.根据前面的结论可知，D是弦AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高（m）, .由例2可以看出,运用垂径定理,常要构造 、 的一半和圆心到弦的距离三条线段组成的直角三角形,再利用 定理等加以解决.公式R2=D2+(AB2)或R2=(R-D)2+(AB2)2半径弦勾股1如图，在O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到弦AB的距离为3 cm，求O的半径OABE练 习解：答：O的半径为5 cm.活 动 三在RtAOE中，互动探

5、究 1如图,已知O的半径为5,点A到圆心O的距离为3,则过点A的所有弦中,最短的弦长为 ( )A.4 B.6C.8 D.10【方法归纳交流】经过圆内一点的最短的弦是经过该点且垂直于经过该点的 的弦.C直径互动探究 2见教材“习题24.1”第9题(不能用三角形全等证明).变式训练1.如图,连接OC,OD,将小圆隐去,得右图,设OC=OD,求证:AC=BD(不能用三角形全等证明).2.如图,连接OA、OB,将大圆隐去,设AO=BO,求证:AC=BD(不能利用三角形全等证明).证明:过点O作OEAB于E,则AE=BE.OC=OD,CE=DE,AE-CE=BE-DE,AC=BD.证明:过点O作OEAB

6、于点E,则AE=BE,又OC=OD,CE=DE,AE-CE=BE-DE,AC=BD.证明:过点O作OEAB于点E,则CE=DE,又OA=OB,AE=BE,AE-CE=BE-DE,AC=BD.互动探究 32.如果是要求作弧AB的圆心呢？互动探究 4 某市某居民区一处圆柱形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图所示,污水水面宽度为60 cm,水面至管道顶部距离为10 cm,问修理人员应准备内径多大的管道?解:如图,连接OA,过O作OEAB,垂足为E,交圆于F,则AE=30 cm.令O的半径为R,则OE=R-10.在RtAEO中,OA2=AE2+OE2,即R2=302+(R-10)2.解得R=50 cm,修理人员应准备内径为100 cm的管道.2如图，在