湖南省岳阳市2021届高三下学期高考一模数学试题

1、试卷第 页，总5页试卷第 页，总5页湖南省岳阳市2021届高三下学期高考一模数学试题学校:姓名：班级：考号：一.单选题 已知集合A = x卩xv3,3 = y|y7,且4门3 = 0,则实数加应满足（）77? 1E m3D m 3已知 = 1 + / （其中i为虚数单位），则复数崗二（）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题.现有这样一个整除问题：将1到2021这2021个数中,能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列。”,则此数列所有项中，中间项的值为（）A 992E 1022C 1007D 1037“华东五市游”作为中国一条精品旅游路线一直受到广

2、大旅游爱好者的推崇.现有4 名高三学生准备2021年高考后到“华东五市”中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四 个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未 被选中的概率为（ ）A.716166.己知等边三角形ABC的边长为4,AOB的面积是（）A M B.攀27C.64D.81256。为三角形内一点，ROA + OB + 2OC = 0则4/3T7抛物线y2 = 4x的焦点为厂点P（x.y）为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最人值是A. 2D.对于函数y = /（%）,若存在心，使fM = -f（-xQ）9则点（x0J（x0）与点 TOC

3、 o 1-5 h z （兀,一/（兀）均称为函数/的“先享点”已知函数/（x）=r6_,x且函数 6x-x0/（X）存在5个“先享点”，则实数a的取值范围为（）A. （6,+oo）E（Y6）C（0,6）D. （3，+oo）二多选题2020年4月，在疫情防控阻击战之外，另一条战线也口渐清晰-复工复产、恢复经 济正常运行.某企业对本企业1644名职工关于复工的态度进行调查，调查结果如图所 示，则下列说法错误的是（）疫情防控期间某企业复工职I调査申请休假A. x = 0.384从该企业中任取一名职工，该职工倾向于在家办公的概率为0.178不到80名职工倾向于继续申请休假倾向于复工后在家办公或在公司办

4、公的职工超过986名（多选）若函数/（X）= COS（X + y）,则下列结论正确的是（）A. /（X）的一个周期为2龙B. /（X）的图象关于直线对称/（兀+刃的一个零点为x = 2D. /（X）在区间单调递减6 2以下说法，正确的是（）3x0 e R ,使 ex0 eR,函数/（x） = sin（2x+8）都不是偶函数c.。，处R, ab是o问 恥|的充要条件C中，“sinA+sinB = cosA+cosB”是“C =兰”的充要条件2将边长为2的正方形ABCD沿对角线折成直二面角A-BD-C，点P为线段AD上的一动点，下列结论正确的是（）异面直线AC与BD所成的角为60。是等边三角形c.

5、 aBCP面积的最小值为还3D.四面体ABCD的外接球的表面积为8兀三、填空题 TOC o 1-5 h z 在（x+W）的展开式中，的系数是已知点C（x,y）在线段4B:x+4），= l（x,），wR+）上运动，则小的最人值是设椭圆二+ = l（ab0）的焦点为P是椭圆上一点，且分P0 = Z cr b3若人戶耳的外接圆和内切圆的半径分别为Rj,当/? = 4r时，椭圆的离心率为已知函数f （x）对xWR均有/ （%） +2f （ - x） =inx6,若f（X）恒成立，则实数川的取值范围是四、解答題A5C 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 2sm A+smC = 2si

6、iiBcosC .（1）求B的大小；（2）若a = 3,且AC边上的中线长为遁，求A3C的面积.2已知数列%满足 = 1,且点（,%+】 2”）在函数f（x） = 3x的图彖上.（1）求证：雳+是等比数列，并求的通项公式：a2（2）若9严宁,数列血的前项和为S”，求证：Sfl3n + .如图所示的几何体中，BE丄BC,EA丄4C、BC = 2,4C = 2JNZACB = 45。, AD!/BC, BC = 2AD .（1）求证：A丄平面ABCD；若ZABE = 60，点F在EC上，且满足EF=2FC,求二面角FADC的余弦值.某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产

7、品就可 以赠送元旦礼品.而每个甲系列盲盒可以开出玩偶人，九中的一个，每个乙系列 盲盒可以开出玩偶d，场中的一个.（1）记爭件&： 一次性购买个甲系列盲盒后集齐A ,心，九玩偶；事件你：一次性购买个乙系列盲盒后集齐禺玩偶；求概率P（厶）及戶（打）；（2）礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且 购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者 TOC o 1-5 h z 4购买甲系列的概率为一，购买乙系列的概率为而前一次购买甲系列的消费者下一次551 3购买甲系列的概率为一，购买乙系列的概率为一；前一次购买乙系列的消费者下一次44购买甲系

8、列的概率为岂，购买乙系列的概率为;；如此往复，记某人第次购买甲系2列的概率为0;若每天购买盲盒的人数约为100,且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒,试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.已知双曲线C:= 1的离心率为点P（4,J可在C上.（1）求双曲线C的方程；（2）设过点（1,0）的直线/与曲线C交于M, N两点，问在;I轴上是否存在定点0,使得莎0帀为常数？若存在，求出0点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由.22己知函数 f（x） = xes-ahix-cix+a-e （1）若/（X）为单调函数，求d的取值范闱；（2）若函数于（刃仅一个零点，求4的取值范围.本卷

9、山系统Il动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 #页，总21页本卷山系统Il动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 页，总21页本卷由系统门动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 页，总21页参考答案A【分析】根据集合交集定义即可求解.【详解】解：T集合 A = x|lx3, B = yym f A)B = 0 / m 1,故选：A.C【分析】1-Z易得z =然后根据复数模长公式计算即可得解.1+o,排除c项;又因为/(2)0,排除d项，即可得到答案.【详解】由题意知，函数/(x) = x+凶，满足/(_x) = 7+也上 = _(“ _)= _/,X-XX所以函数y

10、 = f(x)为奇函数，图彖关于原点对称，所以b选项错误；又因为/(1) = 10,所以C选项错误；I C又因为/(2) = 2 +弓-0,所以D选项错误， 故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：从函数的定义域，判断图彖的左右位置；从函数的值域，判断图象的上卞位置.从函数的单调性，判断图彖的变化趋势；从函数的奇偶性，判断图彖的对称性；从函数的特征点，排除不合要求的图象.C【分析】由题可得 =15-13,可判断共有135项，且中间项为第68项，即可求出.【详解】解：由题意可知，色-2既是3的倍数，又是5的倍数，所以是15的倍数，即 -2 = 15(/?-1),所以 a” =

11、15” 一 13,当 77 = 135 时，a = 15x135-13 = 2012 2021,故/? = L2,3,.,135,数列a”共有135项，因此数列中间项为第68项，且孤= 15x68 -13 = 1007.故中间项的值为1007.故选：C.B【分析】先求每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游的基本事件总数，再求恰有一个地方未 被选中包含的基本事件个数，最后求后者与前者的比值即可.【详解】解：现有4名高三学生准备2021年高考后到“华东五市”中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 基本事件总数 =4“=256, 本卷山系

12、统Il动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 页，总21页本卷山系统Il动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 页，总21页恰有一个地方未彼选中包含的基本事件个数加= C；A 144 ,m 1449则恰有一个地方未被选中的概率为P = - =7?25616故选：B.D【分析】设AB的中点为D 可得OA + OB = 2OD 进而可得OC = -OD 得出0是AD的中点,即可求解面积.【详解】解:根据题意，设A3的中点为D, A3C是等边三角形，则CD丄AB,的中点为D,则OA + OB = 2OD9 又由OA + OB + 2OC = 0则况二-OD则。是4D的中点， 又由 A

13、BC的边长为4,则AT = 2，CD = 2 则0 D =羽, 则 Saob =-|x4x/3 = 2/3 故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查向量的相关问题，解题的关键是判断出O是中线AD的中点.B【分析】设直线P4的倾斜角为0,设PP垂直于准线于由抛物线的性质可得PP = PF ,则M = M=_L PF PPf cos /2 , |PP| = 1(1) = 2,所以11的最人值为:【点睛】关键点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质.解题的关键是利用了抛物线的定义.一般和 抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的：平时练习时应多注意抛物线的结论的总 结和应用.尤其和焦半径联系的题目，一般

14、都和定义有关，实现点点距和点线距的转化.A【分析】首先根据题中所给的条件，判断出“先享点”的特征，之后根据/Xx)存在5个“先享点”，等 价于函数f2=6x 疋(x 0)有 两个交点，构造函数利用导数求得结果.【详解】依题意，/(Q存在5个“先享点”，原点是一个，其余还有两对，即函数厶(x) = 6x-xx 0)有两个交点，而函数厶(x) = 6x-xx0),即16-ax = 6x-x3有两个正根， TOC o 1-5 h z 16 6x + x 16 于a = x 46 ,xx令力(x) = F +6(x 0),xhx) = 2x- =所以当0vxv2时，hx)2时，hx)09 所以力(兀)

15、在(0,2)上单调递减,在(2,+s)上单调递增，且加2) = 4+86 = 6,并且当 XT0 和时，/(x) T+0O ,所以实数a的取值范|韦|为(&+8), 故选：A.【点睛】该题考查的是有关新定义问题，结合题意，分析问题，利用等价结果，利用导数研究函数的 性质，属于较难题目.AC【分析】根据扇形图中各个扇形所占百分比之和为1，即可求出X额值，再由各部分所占比例结合总 人数，即可判断各选项的正误.【详解】对于选项A： x = 10042.3 17.85.1 = 34.8,所以选项A错误，对于选项B：由扇形图可知该职工倾向于在家办公的职工占17.8%,所以从该企业中任取一名职工，该职工倾

16、向于在家办公的概率为0.178,所以选项E正确，对于选项C：由扇形图可知倾向于继续申请休假的职工占5.1%,而5.1%xl644 = 84（人），所以选项C错误，对于选项D：由扇形图可知倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工占42.3%+17.8%=60.1%,而 60. l%x 1644 心 988 （人），所以选项 D 正确，故选：AC.ABC【分析】 由三角函数周期的计算公式，可判定A正确：由三角函数对称轴的性质，可判定E正确; 求得/（x+龙）=一cos（x+兰），令f （x+龙）=0,得到x = + k7T,kEZ ,可判定C正确；36由三角函数单调性的判定方法，可判定D不正确.【详

17、解】由题意，函数/（x） = cos（x+|）,可得/（X）的最小正周期为T =年=2龙，所以A正确； 当x = 时，可得/（）= cos（ +彳）= cos3龙=一1,所以号是函数/（x）的其中 一条对称轴，所以E正确； 由 /（X）= COS（X + y）,可得 /（X+ 龙）=cos（x+ 兀+ 彳）= -COS（X4- y）令/（x+;r） = 0,即cos（x+） = 0 ,解得x = + k7r,keZ ,36当R = o时，可得x=,即x =-是函数于+龙）的一个零点，所以C正确;6 6何、心兀5/r 4龙、由xw 龙），口J得x + 丁丘T236 3当X + -G(时，即XG(

18、-,)时，函数/(X)单调递减；362 3当)时，即xg(年,龙)时，函数/(x)单调递增，所以D不正确. 故选：ABC.11 CD【分析】通过导数求出函数/(x) = er-x-l的最小值为0,可判断A；举出反例x = |可判断B；通 过充分条件和必要条件的概念、不等式的性质以及三角函数式的化简可判断CD.【详解】解：对于 A：设f(x) = ex-x-l,所以/(x)=HT,当x = 0时，函数/(x) = 0,当xvO时，f(x)0时，fx)0,故在x = 0时函数/(x)取得最小值，/(0) = 0,所以/(x) = H-x-in/(x)込=/(0) = 0,即x0 gR , ex x

19、0 +1,故 a错误；对于E：当兀=一时/(x) = sin 2x+- =cos2x,故函数/(x)为偶函数，故E错误；2 )对于 C：当 ab 0 时，等价于 / 一/?=(d+b)(c/b) 0,当 0 ab 时，等价于-cr + It =-(a+b)(a-b) 0,当ciOb时，等价于a2 +b2 0 反之同样成立，故C正确;12丿= cosB + cosA9对于D： 佔5,当彳时，4 + B詣,所以sin A + sinZ? = sm B +sin由于 sm A + smB = cos A + cos B，故 sin4-cos4 = cosB-sinB,两边平方得：sin2 A - 2

20、 sm A cos A + cos2 A = cos2 B-2 sin B cos B + sin2 B，故 l-2sin4cos4 = l-2sinBcosB,即 sin24 = sin23,所以 2A = 2B 或 2A = n-23,当 2A = 2B时，即 A= B 由于sm A+sinB = cos A+cosB，所以 sm A = cos A * BP tail A = 1 A e（0,）,所以A = -,故B = -9 C =- TOC o 1-5 h z 442IT7T当 2A = 7T2B 时，A + B =,故 C =.22故D正确.故选：CD.BCD【分析】取3D的中点0

21、,连接AO,CO,利用等腰三角形三线合一，可得AO丄BZXCO丄从而可得4C丄可判断A：通过计算AC = AO2 + CO2 = 2可得亠为正三 角形；由BC长为2,所以只需求出BC边上高的最小值就是面积的最小值；由于 AO = CO = BO = DO = 4i，所以四面体ABCD的外接球的半径为JI，从而可求出其表 面枳.【详解】解：对于A,因为BD丄Q4, BD丄OC, OAHOC = O所以BD丄平面4OC，ACd平面4OC,所以丄AC,异面直线AC与BD所成的角为90。，不是60。，所以A错；对于 E,因为OA = OC = AC = /2 ,所以 AC = J（厨 +（厨=2,同理

22、DC = 2,所的心仞是等边三角形，所以E对；对于C,因为BC = 2,所以要求aBCP面积的最小值，只须求BC边上高的最小值，此最小值恰为异面直线AD与BC的距离，设为k因为 AD / BC, 3Cu 平面 BCC, 4D（z 平面 BCC,所以 AD/ 平面 BCC,又因为BCu平面BCC,所以直线AD到平面BCC距离即为，即点D到平面BCC距离为儿因为 d-bcc = Vcbcd，所以 2 sill60 h = 2 y/2 ,解得 h =,3 Z3 Z3所以加面积的最小值扫4斗2半=攀所以C对;对于D,由于AO = CO = BO = DO =忑,所以四面体ABCD的外接球的球心为0半径

23、所以表面积为4叔=8兀,所以D对.故选：BCD.【点睛】方法点睛：求外接球半径的常用方法：（1）补形法：侧面为直角三角形或正四面体或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方 体或长方体中去求解；（2）利用球的性质：几何体在不同面均对直角的棱必然是球的直径；（3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.10【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令兀的指数为2,即可求出.【详解】因为的展开式的通项公式为本卷山系统门动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。x答案第 页，总21页本卷山系统门动生成

24、，请仔细校对后使用，答案仅供参考。x答案第 #页，总21页本卷III系统门动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 页，总21页r 7 VTtu = C；x5r 4 =C；Y严0 = 0,12345)，令5-3r = 2,解得r = l. I x丿所以，的系数为C；x2 = 10.故答案为：10.【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题.16【分析】直接利用基本不等式计算可得；【详解】解：由题设x+4y = l(x,yeR+)可得：x+4y = l2y/4xy ,即阿亍5*,4可V丄，即，wInx恒成立，可得加5-x07恒成立，构造函数g(x) = -,求出g(A)的最

25、小值，可进一步求出加的范围.【详解】T 函数 f (x)对 xUR 均有/(%)+/(=mx - 6,将-x 换为 x,得 f ( - x) +2f (x) = - mx - 6(2),:由，解得f (x) = - mx - 2.-3c2-ac = 0 即3于 + 2 = 0,2了(x)刃宓恒成立,2 + Inx 一亠亠/. m 怛成 M,解得 =)或 = 1 (舍去)本卷山系统Il动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 页，总21页本卷山系统Il动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 页，总21页令 0（X）=0,则 x=eg （x）在（0,-）上单调递减，在（丄，+oc）上

26、单调递增,ee=-e , .m3)一2 1=3 +3 +(3-1-13,由不等式的性质和等比数列的求和公式、数列的单调性，即可求证.【详解】(1)由点(匕4+1-2)在函数/(x) = 3x的图象上,所以绍+1,即勞=也即 纠+1=2 負+i,2”+12(2丿由q=l,所以牛+ 1 =丄，21 2所以M+ij是首项和公比均为扌的等比数列,则斛吨)所以 an=3n-2n；所以,+ n = 3/? +2丿3 + 2一2出(1)由题意得如=2”+ 3%推得齐+ 1 =专-7+1，即可证明 然后结合等比数列的定义和通项公式即可求得结果;【点睛】方法点睛：证明数列为等比数列的常用方法：（1）定义法；（2

27、）等比中项法；（3）通项法;（4）前n项和法.（1）详见解析（2）匹7【分析】（1）在AABC中，根据已知的边、角条件运用余弦定理可得出丄BC,再由BE 丄 BC,ABcBE = B,得出BC丄平面ABE.,由线面垂直的性质得丄AE,再根据线面垂直的判定定理得证;（2）在以B为原点，建立空间直角坐标系B-xyz ,得出点F,A,D,C的坐标，求出面以 的法向量，由（1）得E4丄平面ABCD,所以鬲为平面ABCD的一个法向量，再根据向量 的夹角公式求得二面角的余弦值.【详解】（1）在AABC中，BC = 2、AC = 2忑,AACB = 4S,由余弦定理可得 AB2 = BC2 + AC2-2x

28、BCxACx cos45J = 4,所以AB = 2,所以AC2 = AB2+ BC2,所以MBC是直角三角形，丄BC.又BE丄BC、ABcBE = B,所以BC丄平面ABE.因为AEu平面ABE,所以BC丄AE .因为以丄AC,ACryBC = C, 所以丄平面ABCD.（2）由（1）知，BC丄平面ABE,所以平面BEC丄平面AEB,在平面ABE中，过点B作及丄3E，则及丄平面BEC,如图，以B为原点，BE.BC所在直线分别为兀轴建立空间直角坐标系B-xyz ,则 B（0,0,0）,C（0,2,0）,E（4,0,0）,A（l,0“）,D（l ,1,间,因为EF = 2FC,所以F易知AD =

29、 （0丄0）,乔=（扌本卷山系统Il动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 页，总21页本卷山系统Il动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 页，总21页设平面ADF的法向量为齐= (x,y,z)，则AFn = O,p = o, 即V 丫 +么y _前7 = 0令乙=岳则A = ，X= 9,所以 =(9,0“)为平面ADF的一个法向量，由(1)知E4丄平面ABCD,所以EA = (-3,0,73)为平面ABCD的一个法向量.设二而角F-AD-C的平面角为a ,由图知a为锐角，贝J cos a他二而角F亠C的余孩值为手.【点睛】本题考查线面垂直关系的证明和二面角的计算，属于中档题

30、.z 20IS1 ( 19(1) P(E6)= , P(F5) = ； (2) Q = +_；应准备甲系列盲v 727716必 5( 4J 5盒40个，乙系列盲盒60个.【分析】(1)根据题意，集齐&,九玩偶的个数可以分三类情况：A，九玩偶中，每个均有出现两次、人，人，人玩偶中，一个出现一次，一个出现两次，一个出现三次、人， 人，人玩偶中，两个出现一次，另一个出现四次讨论计算，并根据古典概率计算即可；对 于P(堪)，先考虑一次性购买个乙系列盲盒没有集齐d，禺玩偶的概率再求解.(2)根据题意，a=|,当n2时，0”=扣一Q_J +扭-】，再根据数列知识计算Qn即可；2由得购买甲系列的概率近似于一

31、，故用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则5歹 3100,|),再根据二项分布的期望计算即可.【详解】解：(1由题意基本事件共有：3种情况， 其中集齐人，血，九玩偶的个数可以分三类情况，人，心，九玩偶中，每个均有出现两次，共C：C；C；种；人，心，九玩偶中，一个出现一次，一个出现两次，一个出现三次，共c；c；c；屈种;人，4，九玩偶中，两个出现一次，另一个出现四次，共C；C；A；种； 故 p(Ej= UC；C； + C：C；C；A； + 3C：A； = 20327根据题意，先考虑一次性购买个乙系列盲盒没有集齐d,场玩偶的概率，即p = 岁, 所以旳)=1一岁专(2)由题意可知:= 当n2时，。=扣一乩)+扣I，所以，是以-丄为首项，-丄为公比的等比数列,54_ 10,解得3 且加工4设M(心yj, N(兀,儿),）1 + 儿=_2mnr -43/n2 -4 A】+ x2 = m （+ 儿）+ 2 =-壬+ 2 +w - 4 nr 一4x2 =（加开+1）（加儿+ 1） = /沪开儿+儿）+ =3rrrm2 - 42/w2m2-4 = -4-4nr - 4nr - 4=xix2 -t（ + x2）+t2 + yy2 =-4-20m2-4 + t8/ 23nr - 4为常数，与川无关，