新人教版高中数学必修第二册第八章立体几何初步：8.6.2 直线与平面垂直

1、8.6.2直线与平面垂直 1.领会直线与平面垂直的定义,了解直线与平面所成角的概念. 2.掌握直线与平面垂直的判定定理与性质定理. 3.会用相关定义、定理解决直线与平面垂直问题. 直线与平面垂直的定义定义一般地,如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面互相垂直记法l有关概念直线l叫做平面的垂线,平面叫做直线l的垂面,它们唯一的公共点P叫做垂足图示画法画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直符号语言la,lb,ab=P,b,al图形语言 直线与平面所成

2、的角 定义对应图形斜线与一个平面相交,但不与这个平面垂直的直线,如图中直线l斜足斜线和平面的交点A射影过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影直线与平面所成的角定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,如图中PAO;规定:一条直线垂直于平面,它们所成的角是90;一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是0取值范围设直线与平面所成的角为,则090 直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行图形语言符号语言a,bab作用线面垂直线线平行;作平行线 直线到平面的距离一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平

3、面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的 任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离.1.若ab,a,l,则lb.()2.若直线l垂直于平面,则l与平面内的直线可能相交,可能异面,也可能平行.()提示：l与平面内的所有直线都垂直,所以l与平面内的直线不可能平行.3.若ab,b,则a.()提示：a也可以在平面内.判断正误，正确的画“” ，错误的画“ ” .4.直线l垂直于平面内的两条直线,则直线l垂直于平面.()提示：直线l必须垂直于平面内的两条相交直线,才有l垂直于平面.5.直线l垂直于平面内的无数条直线,则直线l垂直于平面.()

4、提示：直线l垂直于平面内的无数条直线不能说明直线l垂直于平面.6.在棱柱的体积公式中,高就是它的上、下底面间的距离.() 如何判定直线与平面垂直 在化石燃料日趋减少的情况下,太阳能已成为人类使用能源的重要组成部分,并不断得到发展. 太阳能路灯是一种将太阳能作为能源的路灯,因其具有不受供电影响,不用开沟埋线,不消耗常规电能,只要阳光充足就可以就地安装等特点而受到人们的广泛关注,又因其不污染环境,被称为绿色环保产品.如何检测图中太阳能路灯的电线杆与地面是否垂直?提示:结合直线与平面垂直的判定定理,只需在地面找出两条相交直线,检测它们与电线杆所在的直线是否垂直即可. 1.判定直线与平面垂直的常用方法

5、 (1)利用直线与平面垂直的定义,即证明直线a垂直于平面内的任意一条直线,从而得到直线a平面(一般不易验证任意性); (2)利用直线与平面垂直的判定定理,即如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直,简记为“线线垂直线面垂直”(ab,ac,b,c,bc=Ma); (3)利用平行线垂直平面的传递性质,即如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面(ab,ba); (4)利用平面与平面平行的性质,即如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面(a,a). 2.利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤 (1)在这个平面内找两条

6、直线,使该直线和这两条直线垂直; (2)确定这个平面内的两条直线是相交直线; (3)根据判定定理得出结论. 3.解决线面垂直问题,常转化为证明线线垂直,而证明线线垂直常见的方法如下: (1)利用勾股定理的逆定理,即在ABC中,若AB2+BC2=AC2,则ABBC; (2)利用等腰三角形底边的中线就是底边的高,即在ABC中,AB=AC,E为BC边的中点,则AEBC; (3)利用菱形的对角线互相垂直; (4)利用线面垂直的定义,即a,b,则ab; (5)利用平行转化,即ab,bc,则ac.如图,已知PA平面ABCD,且四边形ABCD为矩形,M,N分别是AB,PC的中点.(1)求证:MNCD;(2)

7、若PDA=45,求证:MN平面PCD.思路点拨(1)由线面垂直得线线垂直.(2)利用等腰三角形的性质证明线线垂直,进而得到线面垂直.证明(1)如图所示,取PD的中点E,连接AE,NE,N为PC的中点,E为PD的中点,NECD,且NE=CD,而AMCD,且AM= AB= CD,NEAM,且NE=AM,四边形AMNE是平行四边形,MNAE.PA平面ABCD,PACD.四边形ABCD是矩形,ADCD,又ADPA=A,CD平面PAD,又AE平面PAD,CDAE,AEMN,MNCD.(2)由(1)可知CDAE,MNAE.PDA=45,PAD是等腰直角三角形,又E为PD的中点,AEPD,CDPD=D,AE

8、平面PCD,又AEMN,MN平面PCD. 探究直线与平面所成的角 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求A1B与平面AA1D1D所成的角. 1.如何得到直线A1B在平面AA1D1D上的射影?提示:由AB平面AA1D1D知,A为垂足,A1为斜足,因此直线AA1是直线A1B在平面AA1D1D上的射影.2.如何得到直线A1B与平面AA1D1D所成的角?提示:斜线A1B与其射影AA1所成的角(BA1A)就是直线A1B与平面AA1D1D所成的角.3.如何求直线A1B与平面AA1D1D所成角的大小?提示:求直线A1B与平面AA1D1D所成的角的大小,就是求BA1A的大小,通过解三角形可得出结论,即

9、在RtAA1B中,BAA1=90,AB=AA1,BA1A=45,A1B与平面AA1D1D所成角的大小是45. 求斜线与平面所成角的大小的步骤 1.作角: (1)作垂线:过斜线上一点(不是斜足)作平面的垂线; (2)作射影:连接垂足和斜足(有时可以是两垂足); (3)作平面角:斜线与它在平面上的射影所成的角即为所求,即将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的角). 2.证明:证明某平面角就是斜线与平面所成的角,关键是证垂直. 3.计算:通常在垂线段、斜线和射影所构成的直角三角形中计算.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,且ACB=90,CC1=2,D,E分别是棱CC1,AA1的中点.(1)求证:直线DB1平面BDE;(2)求直线A1B1与平面BDE所成角的正弦值.思路点拨(1)利用勾股定理的逆定理证明DB1DE,DB1DB,从而证明直线DB1平面BDE.(2)构造与直线A1B1平行的直线,找到要求的线面角,再利用直角三角形来求解.解析(1)证明:连接EB1,在RtB1A1E中,EB1=,又A1B1=AB=,EB1=,在RtDC1B1中,DB1=,又DE=AC=1,DE2+D=E,DEDB1.在RtBCD中,BD=,BD2+B1D2=B=4,BDDB1,又BDDE=D,BD平面BDE,DE平面BDE,DB1平面BD