拉格朗日方程

1、17.2拉 格 朗 日 方 程 一、拉格朗日方程 设有n个知点组成的知点系，受完整的理想约束，具有k个自由度，其位置可由k个广义坐标 来确定。则有式中为质点系的动能；是广义坐标对时间的变化率，称为广义速度； 是对应广义坐标 的广义力。这就是拉格朗日方程，简称拉氏方程。它是由k个二阶常微分方程组成的方程组。将此微分方程组积分，就可以得出以广义坐标表示的质点的运动方程。17.2拉 格 朗 日 方 程 二、保守系统的拉格朗日方程 在上述条件下，如果质点系所受的主动力都是有势力，就得到保守系统的拉格朗日方程式中 为质点系动能和势能之差，称为拉格朗日函数。这就是保守系统的拉格朗日方程。 三、应用拉格朗日

2、方程解题的步骤 1、确定研究对象，（一般以整个系统）判断系统的自由度数目，选取合适的广义坐标。 2、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的）17.2拉 格 朗 日 方 程 3、计算对应每个广义坐标的广义力 ；当主动力为有势力时，需要写出用广义坐标表示的势能及拉格朗日函数 。 4、计算诸导数：或 5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到k个二阶常微分方程。由2 k个初始条件，解得运动方程。17.2拉 格 朗 日 方 程 例4 在水平面内运动的行星齿轮机构如图。已知动齿轮半径为r，重为P，可视为均质圆盘；曲柄OA重Q，可视为均质杆；定齿轮半径为R。今在曲柄上

3、作用一不变的力偶，其矩为M，使机构运动。求曲柄的运动方程。 解：以整个系统为研究对象，系统具有一个自由度，取曲柄转角 为广义坐标。 由运动学关系知，动齿轮的角速度 与曲柄的角速度 的关系为则系统的动能为17.2拉 格 朗 日 方 程 给曲柄以虚位移 ，则对应的广义力为求诸导数17.2拉 格 朗 日 方 程由，得即积分得曲柄的运动方程为式中， 、 分别为初始转角和初始角速度。17.2拉 格 朗 日 方 程 例5 如图轮A的质量为 ，在水平面上只滚动不滑动，定滑轮B的质量为 ，两轮均为均质圆盘，半径均为R，重物C的质量为 ，弹簧的弹性戏数为 ，试求系统的运动微分方程。 解：以系统为研究对象，系统具

4、有一个自由度。取 x 为广义坐标，x 从重物的平衡位置量起。系统的动能为 设系统平衡时弹簧的静伸长为 ，则有关系式即17.2拉 格 朗 日 方 程 以系统平衡位置为弹力及重物C的零势能位置，则系统的势能为利用前面的关系，整理得 则拉格朗日函数为代入保守系统的拉格朗日方程 得即为系统的运动微分方程。17.2拉 格 朗 日 方 程 例6 如图，均质圆轮的质量为 ，半径为R，在水平面上只滚动不滑动。杆长L质量为 与轮在圆心A铰接，试求系统的运动微分方程。 解：以系统为研究对象，系统具有两个自由度。取 x 和 为广义坐标。 系统的动能为整理后得17.2拉 格 朗 日 方 程 系统的广义力为代入拉格朗日

5、方程得整理得（1）代入拉格朗日方程得17.2拉 格 朗 日 方 程整理后得（2）（1）、（2）即为系统的运动微分方程。 例7 如图轮为均质圆盘，质量为 ，半径为R，轮心O及重物A只能沿铅直方向运动，重物A的质量为 ，弹簧刚性系数为 ，原长为 。试求系统的运动微分方程。 解：以系统为研究对象，系统具两个自由度。取 x 和 为广义坐标。 系统的动能为 系统的广义力为17.2拉 格 朗 日 方 程代入拉格朗日方程得整理得（1）代入拉格朗日方程得（2）（1）、（2）即为系统的运动微分方程。17.2拉 格 朗 日 方 程 例8 如图，物体A的质量为 ，B轮质量为 ，半径为R，在水平面上只滚动不滑动，物体

6、A与水平面无摩擦，弹簧刚性系数为 ，试求系统的运动微分方程。 解：以系统为研究对象，系统具两个自由度。选取 、 为广义坐标。 系统的动能为 系统的广义力为17.2拉 格 朗 日 方 程代入拉格朗日方程得（1）代入拉格朗日方程得（2）（1）、（2）即为系统的运动微分方程。17.2拉 格 朗 日 方 程 例9 实心均质圆柱A和质量分布与边缘的空心圆柱B，质量分别为 、 ，半径均为R，两者用通过定滑轮的绳索相连，如图。设圆柱A沿水平面作纯滚动，滚动摩擦不计，圆柱B铅直下降。试求两圆柱的角加速度和质心的加速度。 解：以系统为研究对象，系统具两个自由度。选取 、 为广义坐标。 系统的动能为 系统所受主动力只有重力，且皆为有势力。取过圆柱的水平面为零势面，则系统的势能为17.2拉 格 朗 日 方 程故拉格朗日函数为求诸导数代入拉格朗日方程得（1）17.2拉 格 朗 日 方 程代入拉格朗日方程得（2）联立求解方程（1）、（2）得于是角加速度为17.2拉 格 朗 日 方 程 例10 质量为 的金属板放置在光滑水平面上，板上有半径为 r 、 质量为 的均质圆柱，圆柱在板上作纯滚动而不滑动，今有一水平常力 拉动金属板，试求圆柱纯滚