控制工程基础2

1、第二章 控制系统的数学描述8/6/20221电子信息工程学院1、为什么要建立系统的数学模型？ 数学模型是进行控制系统分析和综合设计的基础？系统状态（物理量）随着时间的推移而变化。8/6/20222电子信息工程学院LRCUi(t)Uo(t)i(t) mKX(t)F(t)系统运动特征相同两个运动机理完全不同的系统可以具有相同的数学模型，因此也具有相同的运动特征。8/6/20223电子信息工程学院2、什么是系统（元件）的数学模型？数学模型：描述系统（或元件）的动态特性的数学表达式。状态随时间变化微分dx/dt因此，最基本的数学模型就是微分方程。例:RL串联电路RLi(t)U(t)描述电流随时间变化的

2、微分方程为RL串联电路的数学模型 控制理论的研究对象：动态系统8/6/20224电子信息工程学院4、控制系统数学模型的具体形式频域 时域频域 时域8/6/20225电子信息工程学院3、建立控制系统数学模型的方法分析法通过对系统各部分的运动机理进行分析，建立系统的数学模型。 实验法（系统辨识）人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出关系拟合系统的数学模型。黑匣子输入（已知）输出（已知）系统8/6/20226电子信息工程学院2.2 控制系统的时域数学模型例2-1 下图为一RLC串连电路。试列写以Ui(t)为输入量，Uo(t)为输出量的网络微分方程。LRCUi(t)Uo(t)i(t)一、

3、系统运动的微分方程描述由基尔霍夫定律可写出回路方程为Ui(t)为输入量， i(t)和Uo(t)为被控量，其中选择Uo(t)为输出，则i(t)成为中间变量。RLC串联电路的数学模型，为一二阶线性微分方程。8/6/20227电子信息工程学院例2-2 下图是弹簧质量阻尼器机械位移系统。列写质量为m的物体在外力F(t)作用下，位移x(t)的运动方程 mkX(t)F(t)由牛顿运动定律有 mF(t)F1(t)F2(t)受力分析：机械位移系统的数学模型，也为一二阶线性微分方程。F(t)为输入量， x(t)和F1(t)、 F2(t)为被控量，其中选择x(t)为输出，则F1(t)、 F2(t)成为中间变量。8

4、/6/20228电子信息工程学院建立微分方程的步骤如下：按照系统构成和要求确定系统的输入量和输出量。将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，前一部分得输出作为后一部分得输入，依据各变量所遵循的物理机制，列出各环节的原始方程。消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式。（引入的被控量的个数应等于原始方程的个数）8/6/20229电子信息工程学院Ua(t)为输入量，电动机转速m(t)为输出量。例2-3电枢回路电压平衡方程：Ea=Cem(t)电磁转距方程：电动机轴上的转距平衡方程：Ml(t)负载转矩（扰动输入）Ce反电势系数(v/rad/s)，Cm电动机转距系数 （Nm/A）+

5、-ifSM+-uaia负载Jm , fmEam电枢控制直流电动机原理图8/6/202210电子信息工程学院Ua(t)为输入量，电动机转速m(t)为输出量。电枢回路电压平衡方程：Ea=Cem(t)电磁转距方程：电动机轴上的转距平衡方程：Ea=Cem(t)例2-3微分算子的引入简化了化简过程，注意为了保证系统不降阶，等式两边的微分算子不能互消8/6/202211电子信息工程学院忽略电感La不计忽略电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm，简化为:模型的精度 考虑的因素越多，模型越能真实表示实际系统的特性，精度越高，但模型的复杂度也越高。 为便于分析设计，在满足精度要求的前提下，模型力求简洁。8/6/20

6、2212电子信息工程学院例2-4 up电位器2电位器1闭环反馈随动系统原理结构图齿轮传动机构发电机原动机If励磁绕组 -+ 负载 放大器 I a电动机发电机wjtkdtd=8/6/202213电子信息工程学院wjtkdtd=消去中间变量ud、If、 ，得随动控制系统的微分方程为：其中：8/6/202214电子信息工程学院二、线性微分方程的解微分方程初始条件微分方程的解分析系统运动特征线性微分方程的求解方法：常规求解方法拉氏变换法1、常规求解方法例2-5LRCUi(t)Uo(t)i(t)RLC串联电路设L=1H,C=1F,R=1,输入ui(t)=1(t)V, 试分析当突然接通电源时电路的输出uo

7、(t)。8/6/202215电子信息工程学院特征方程特征根齐次通解非齐次特解全解（其中，C1和C2由初始条件确定）方程的解齐次通解非齐次特解特征方程的特征根决定系统输入决定8/6/202216电子信息工程学院2、Laplace变换求解方法（仍以上述RLC串连电路为例）暂态分量（齐次通解）稳态分量（非齐次特解）零初始条件响应零输入响应8/6/202217电子信息工程学院系统的运动构成齐次解的运动形式取决于特征根，由于微分方程的结构参数只取决于系统本身的结构和参数，所以齐次解的运动形式只与系统本身有关，这些运动形式是系统的固有运动，当初始状态非零或者有输入信号时，这些运动形式就会被激发出来。特解的

8、运动形式与输入量的形式一致，它是外界输入作用于系统引起的受迫运动。 解（系统的运动）其次解（自由/固有运动）特解（受迫运动）8/6/202218电子信息工程学院四、控制系统的运动模态考虑如下所示的常系数线性微分方程 此微分方程的特征根是1,2,n 齐次微分方程的通解 （1） 1,2,n无重根情况 系统的运动模态（或振型），每一种模态代表一种类型的运动形态。 （2） 1,2,n有重根情况（设i为q重根）,其运动模态中会具有形如形式的模态 （3）特征根中有共轭复根时土j，其共轭复模态 8/6/202219电子信息工程学院三、非线性微分方程的线性化小偏差线性化方法 小偏差线性化示意图xyy=f(x)

9、x0基于如下假设：（1）系统中的变量在某一额定工作点附近做微小变化。（2）非线性特性在此工作点可导，也就是曲线光滑。将连续变化的非线性函数y=f(x)在平衡工作点（x0 y0）展开为泰勒级数：增量较小时略去其高次幂项，则有Kf(x) 在点（x0 y0）的切线斜率 （x0 y0）作为参考零点，去掉增量符号，得 8/6/202220电子信息工程学院例2-5单摆运动 lMgsinMg单摆运动示意图根据牛顿运动定律可以直接导出此系统的动态方程为非线性项这是一输入为零，输出量为摆幅的二阶非线性微分方程。当控制系统处在自动调节状态的小摆幅下运行时，可应用小偏差线性化方法将非线性系统线性化。平衡状态为 线性

10、二阶微分方程8/6/202221电子信息工程学院2.3 控制系统的复数域数学模型 传递函数时域数学模型微分方程 不能直接反映出系统结构和参数对系统运动特征的影响，特别是当系统的结构和参数变化时系统分析较麻烦。复数域数学模型传递函数 方法直观，特别是借助计算机可以迅速、准确的获得结果 8/6/202222电子信息工程学院一、传递函数的定义设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述： c(t)系统输出量r(t)系统输入量零初值条件Laplace变换传递函数：零初始条件下，线性定常系统的系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。8/6/202223电子信息工程学院例2-7求RLC无源网络的传递函数

11、 LRCUi(t)Uo(t)i(t)零初始条件Laplace变换RLC无源网络的传递函数8/6/202224电子信息工程学院（1）在复数域内系统的输出代数关系（2）对于集总参数的控制系统，传递函数都是s的有理函数，即分子和分母都是s的多项式。 一个实际的即物理上可实现的线性系统，其传递函数必然是严格真有理函数（在应用控制理论研究诸如社会问题等“广义”系统时，则不受此条件的限制）有理分式真有理分式严格真有理分式二、传递函数的性质8/6/202225电子信息工程学院（3）传递函数是在零初始条件下定义的。 输入量是在 时才作用于系统。因此，在 时，输入量及其各阶导数为零； 输入量加于系统之前，系统处

12、于稳定的工作状态，即输出量及其各阶导数在 时的值也为零，现实的工程控制系统多属于此类情况。（4）传递函数与微分方程是同一个系统的两种不同的数学描述方式。令传递函数的分母多项式为零，即 系统的特征方程dtdSdtdS8/6/202226电子信息工程学院（5）传递函数是由系统本身的结构和参数决定的，它反映了系统本身的内在的运动特征。（不提供任何该系统的物理结构）（6）传递函数概念只适用于线性定常系统。（Laplace变换是线性变换）8/6/202227电子信息工程学院三、系统的脉冲响应函数是指在输入量的作用下，系统的输出量的变化函数 。响应零初始条件下，在某种典型的输入量的作用下对象的响应。典型响

13、应单位脉冲函数 Laplace变换Laplace反变换系统的脉冲响应函数即为系统传递函数的拉氏反变换。 在零初始条件下，线性定常系统在单位脉冲输入信号作用下的输出响应，称为该系统的脉冲响应函数。定义系统的脉冲响应函数的拉氏变换像函数即为系统传递函数。 8/6/202228电子信息工程学院 已知系统的脉冲响应函数 ，可以直接求出在给定输入量 时系统的零初始条件响应。 若系统的输入为单位阶跃函数 阶跃响应为脉冲响应函数的积分 8/6/202229电子信息工程学院四、根轨迹增益与系统增益首1型尾1型根轨迹增益K*系统增益K系统输出稳态值的变化量与输入变化量的比值8/6/202230电子信息工程学院五

14、、传递函数的零点和极点 将传递函数中的分子多项式和分母多项式因式分解，传递函数可表示为如下形式： zi分子多项式的零点Pj分母多项式的零点系统的根轨迹增益 传递函数（或系统）的零点传递函数（或系统）的极点实数或共轭复数？例：零点：1极点：3，12j，12jReIm-3-112-1-2-2表示极点表示零点8/6/202231电子信息工程学院六、传递函数的极点和零点对输出的影响把对象本身所“固有”的，而输入量中所不存在的某些运动摸态在输出量中生成出来。 传递函数的极点在输出中的作用：传递函数的零点在输出中的作用为：输入量的运动成分被传递函数的零点所阻断而不能传递到输出端 零点距极点的距离越远，该极

15、点所产生的模态所占比重越大 零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小 如果零极点重合该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。 8/6/202232电子信息工程学院 由于传递函数的极点就是微分方程的特征根。因此系统的极点决定了所描述系统自由运动的运动模态。某系统传递函数为例2-8极点：0-3-2-1ReIm零点：自由运动模态，设系统的输入为Laplace变换可求得系统的零初始条件响应为与输入函数相同的模态 系统本身所“固有”的运动成分由极点-1，-2生成的自由运动摸态8/6/202233电子信息工程学院例2-10某系统传递函数为设系统的输入为 系统的零初始条件响应为 若有输入量

16、的运动成分被传递函数的零点所阻断而不能传递到输出端 如果零极点重合该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大 零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小 输入模态极点生成的运动摸态若有8/6/202234电子信息工程学院基本运动模态相同，由于的零点影响各模态在输出响应中所占的比重，所以响应曲线不同。例2-9 设具有相同极点不同零点的传递函数分别为零初始条件G1零点0-2-1ReImz1z2G2零点1(t)tc(t)c1c28/6/202235电子信息工程学院七、组成控制系统的基本单元及传递函数 任何一个复杂系统都是由有限个典型环

17、节组合而成的。传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后还可表示为如下因子连乘积的形式一次因子对应于实数零极点，二次因子对应于共轭复数零极点。 系统的增益 系统的传递函数可以表示为一些基本环节的乘积。事实上，这些基本环节则可对应着组成系统的不同的元部件。8/6/202236电子信息工程学院典型环节通常分为以下六种：1 、比例环节K增益特点： 输入输出量成比例，无失真和时间延迟。实例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感应式变送器等。2、惯性环节T时间常数特点： 含一个储能元件，对突变的输入，其输出不能立即复现。若实例：RC网络、直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。tc(t)01(t)RC

18、Ui(t)i(t)Uo(t)8/6/202237电子信息工程学院3、 微分环节 纯微分环节 一阶微分 二阶微分特点： 输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。实例： 测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。4 、积分环节输出为输入的积分特点： 输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功 能。实例： 电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。8/6/202238电子信息工程学院5、振荡环节式中 阻尼比自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，输出出现振荡。实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函

19、数。6、 纯延时环节Laplace变换延迟时间 特点： 输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。8/6/202239电子信息工程学院2.4 控制系统的结构图(方框图)一、结构图的组成由S域图形表示（1）方框（Block Diagram）和信号线（Single Line）信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。方框：表示输入到输出单向传输间的函数关系。8/6/202240电子信息工程学院（2）比较点（合成点、综合点）Summing Point对指向该点的信号进行加减运算。 “+”表示

20、相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。 R1(s)R2(s)R1(s)+R2(s)R1(s)-R2(s)R1(s)R2(s)-注意：进行相加减的量，必须具有相同的量刚。比较点比较点8/6/202241电子信息工程学院(3)分支点（引出点、测量点）Branch Point分支点：表示信号测量或引出的位置，同一位置引出的信号大小和性质完全一样。 典型反馈控制系统方框图-8/6/202242电子信息工程学院 二、结构图的绘制 例2-10以例2-4所示的随动系统为例，求出系统各元部件的传递函数，并绘制系统结构图。 up电位器2电位器1随动系统原理结构图齿轮传动机构发电机原动机If励磁绕组 -+ 负

21、载 放大器 I a电动机发电机8/6/202243电子信息工程学院（1）电位器组：（2）放大器：I f (s)UP(s)(s)-UP(s)(s)kp8/6/202244电子信息工程学院（3）发电机和电动机组：(s)ML(s)I f (s)8/6/202245电子信息工程学院（4）传动机构： (s)(s)(s)-(s)ML(s)I f (s)(s)UP(s)kpkp随动系统结构框图8/6/202246电子信息工程学院二、结构图的等效变换C（s）U（s）R（s）G1(s)G2(s)C（s）R（s）G1(s) G2(s)1、串联连接的等效传递函数结论：串联连接的等效传递函数，等于各传递函数之乘积 推

22、广到n个方框串联连接 为了由系统的方块图方便地求出输出与输入之间的传递函数，通常需要对方框图进行等效变换。等效变换原则：变换前后各变量之间的传递关系保持不变。三种基本连接形式：串联、并联和反馈(等同于微分方程消中间变量)8/6/202247电子信息工程学院 2、并联连接的等效传递函数C2（s）C1（s）C（s）R（s）G1(s)G2(s)C（s）R（s）G1(s) G2(s)结论：两个方框并联连接的等效传递函数，等于各个方框传递函数的代数和 推广到n个方框串联连接 8/6/202248电子信息工程学院3、反馈连接的等效传递函数 E(s)B(s)C(s)R(s) G (s) H (s) C(s)

23、R(s)负号对应正反馈连接，正号对应负反馈连接 8/6/202249电子信息工程学院4、比较点和引出点的变位H3(s)G3 (s)G4 (s)G2 (s)G1 (s)H2(s)H1(s)C(s)R(s)变位的必要性：在系统结构图简化过程中，有时为了便于进行方框的串联、并联或反馈连接的运算，需要移动比较点或引出点的位置。 例：8/6/202250电子信息工程学院（1）比较点前移R(s)G(s)Y(s)C(s)有关移动中，“前”、“后”的定义：按信号流向定义，也即信号从“前面”流向“后面”，而不是位置上的前后。 R(s)C(s)G(s)Y(s) 结论：比较点前移，除以它所跨过的传递函数8/6/20

24、2251电子信息工程学院Y(s)R(s)C(s)G(s)R(s)G(s)Y(s)C(s)G(s)（2）比较点后移 结论：比较点前移，乘以它所跨过的传递函数（3）引出点前移C(s)R(s)G(s)C(s)C(s)R(s)G(s)C(s)G(s) 结论：引出点前移，乘以它所跨过的传递函数8/6/202252电子信息工程学院（4）引出点后移R(s)R(s)G(s)C(s)R(s)R(s)G(s)C(s) 结论：引出点后移，除以它所跨过的传递函数C(s)R3(s)R2(s)R1(s)（5）交换和合并比较点R1(s)C(s)R3(s)R2(s)交换C(s)R1(s)R3(s)R2(s)合并8/6/202

25、253电子信息工程学院C(s)R(s) G (s) H (s)（6）交换比较点和引出点C(s)C(s)R2(s)R1(s)R1(s)C(s)R2(s)C(s)R2(s) （7）等效的单位反馈H(s)G (s)R(s)C(s) 8/6/202254电子信息工程学院C(s)H3(s)G3 (s)G4 (s)G2 (s)G1 (s)H2(s)H1(s)R(s)例2-11求下图所示系统的传递函数C(s)/R(s)方法1：将A点跨过G4移至B点BA方法2：将C点跨过G2移至D点CDH2(s)/G4(s)8/6/202255电子信息工程学院G2 (s)G1 (s)H2(s)/G4(s)H1(s)R(s)C

26、(s)G1(s)H1(s)R(s)C(s)8/6/202256电子信息工程学院R(s)C(s)-G4(s)G1(s)G2(s)G3(s)R(s)C(s)-G4(s)G1(s)G2(s)G2(s)G3(s)-R(s)-G4(s)G1(s)G2(s)G4(s)G2(s)G3(s)G1(s)G2(s)G4(s)习题2-108/6/202257电子信息工程学院习题2-11R(s)C(s)G4(s)G1(s)G2(s)G3(s)H(s)G5(s)C(s)G1(s)G3(s)G3(s)H(s)G5(s)G2(s)G4(s)G4(s)H(s)R(s)G1(s)G3(s)G3(s)H(s)G5(s)G2(s)

27、G4(s)G4(s)H(s)G1(s)G3(s)G3(s)H(s)G5(s)G2(s)G4(s)G4(s)H(s)8/6/202258电子信息工程学院三、闭环系统的开环传递函数闭环上正、负号及所有框的传递函数乘积再反号 闭环系统的开环传递函数系统的特征方程：E(s)B(s)C(s)R(s)N (s)/D(s)H (s)/M(s)系统开环传递函数系统闭环传递函数分母多项式 + 分子多项式 = 08/6/202259电子信息工程学院2-5信号流图和梅逊公式 对于一确定的控制系统而言，描述系统运动的微分方程组经Laplace变换成为以s为参变量的代数方程组，即各变量之间的关系为代数关系，其表示为信号

28、流图是线性方程组中变量间关系的一种图示方法。 节点节点支路增益方便的写出系统的传递函数信号流图基本术语8/6/202260电子信息工程学院二、由系统的结构图绘制信号流图由结构图绘制信号流图的主要规则：（1）不同节点代表不同的变量（2）每一条支路代表一个框，或者一个直接连接的关系。框的传递函数注在支路旁边（增益），如果是直接连接，标注1。 （3）求和单元中若有反号运算，就把相应的增益反号 。G(s)H(s)R(s)C(s)E(s)-G(s)-H(s)R(s)C(s)E(s)18/6/202261电子信息工程学院注意：G1(s)-H(s)R(s)C(s)E(s)G2(s)G3(s)G4(s)1E1

29、(s)E2(s)1例2-13绘出如下结构图所示的系统的信号流图在比较点之后的引出点只需在比较点后设置一个节点便可。也即可以与它前面的比较点共用一个节点。 在比较点之前的引出点B，需设置两个节点，分别表示引出点和比较点。G1(s)H(s)R(s)C(s)E(s)G2(s)G3(s)G4(s)-E1(s)E2(s)8/6/202262电子信息工程学院三、梅逊增益公式从某个输入量到系统的某个输出量的闭环传递函数。 从该输入量到该输出量的某一个前向通道的传递函数。 为信号流图的特征式。 1所有不同回路的增益之和每两个互不接触的回路的增益的 乘积之和 每三个互不接触的回路的增益的乘积之和 中将与第i条前向通路相接触的回路增益置零之后的乘余部分。 为对所有的前向通路求和。 8/6/202