系统辨识课件：第4章 数学模型的最小二乘法辨识 -2

1、12回顾最小二乘法辨识33则可写为 N维输出向量2n+1维参数向量N维噪声向量最小二乘法：回顾445回顾递推最小二乘法6回顾772022/8/7该递推公式有明显的物理意义：84.7.2 递推最小二乘法程序结构9101112可用下式作为递推最小二乘算法的停机准则134.8 递推最小二乘辨识的在线算法考虑被控对象的在线辨识和控制问题。为不相关的随机其中序列。主要目的是设计状态反馈控制律，使得输出趋向于零。但主要问题是模型参数 、 未知。14整个闭环系统原理如下图所示。15 将被控对象模型变换成状态空间模型，令状态变量为：则有：这是一个一阶线性离散系统。16暂不考虑干扰信号，设状态反馈控制律为：其中

2、 为反馈增益系数。可得闭环系统方程其特征方程为：17解出闭环极点为：假设期望闭环极点为：模小于1则有：18于是在理论上状态反馈控制律为：可见状态反馈控制律不但依赖于系统的状态 ，而且还依赖于模型参数 、 。但是这两个参数却是未知的，在这种情况下，我们通过最小二乘法辨识出这两个参数 和 ，19为了仿真研究的方便，我们在解算模型的输出时，假设这两个参数为 、 。在假设这两个参数已知的理想情形下，我们先对闭环系统进行仿真研究。最后得到实际的控制律20假设状态初值为：随机干扰的范围为：21编写下列M文件x0=-2.3;x(1)=x0;for k=1:1:20 x(k+1)=0.3*x(k) +0.2*

3、rand(1)-0.1;endt=0:1:length(x)-1;stem(t,x);axis(0,21,-3,1);绘制枝干图随机干扰22运行结果如下：23可见在理想情况下，闭环系统是渐近稳定的。 而实际情况下，被控系统的参数是未知的，需要通过最小二乘法进行辨识。下面给出实际闭环系统仿真流程图24开始给定真实参数 、解算模型输出之用设定较大的正常数给定估计参数初值 、不可为零否则控制律发散25估计参数向量的初始化给定系统初始状态，即初始输出相当于26设置设置矩阵P的初始化，相当于27状态反馈控制律系统模型1表示11矩阵，即标量随机数，范围为01282930结束否？是结束否31编制M文件如下：

4、a1=2; % 真实参数b0=1.4; % 真实参数c=10000; % 很大的正常数a1_m=0; % 估计参数初值b0_m=0.5;% 估计参数初值sita_m(:,1)=a1_m,b0_m;% 估计参数向量初值y(1)=-2.3; % 系统初始状态（即初始输出）z=c2; % 很大的正常数之平方P(:,:,1)=diag(z,z,0); % P阵的初始化32for N=1:1:20 u(N)=(sita_m(1,N)+0.3)*y(N)/sita_m(2,N); y(N+1)=-a1*y(N)+b0*u(N)+0.2*rand(1)-0.1; fai(:,N+1)=-y(N),u(N);

5、 W=P(:,:,N)*fai(:,N+1); r=1/(1+W*fai(:,N+1); K(:,N+1)=W*r; P(:,:,N+1)=P(:,:,N)-K(:,N+1)*W; sita_m(:,N+1)=sita_m(:,N)+K(:,N+1)*(y(N+1)-(fai(:,N+1)*sita_m(:,N);end控制律对象模型递推最小二乘算法33u(21)=(sita_m(1,21)+0.3)*y(21)/sita_m(2,21);k=0:1:length(u)-1;subplot(2,1,1);stairs(k,u,r-);xlabel(time k);ylabel(u(k);sub

6、plot(2,1,2);stairs(k,y,b-);xlabel(time k);ylabel(y(k);为了向量u和y的长度一致画阶梯线34该文件的运行结果35 从数字仿真的结果可见：在反馈控制律使用最小二乘估计参数的情况下，闭环系统还是渐近稳定的。36 现在我们再来看一下这两个估计模型参数的收敛情况。继续上述M文件：figure;subplot(2,1,1);stairs(k,sita_m(1,:),k-);legend(a1_m);subplot(2,1,2);stairs(k,sita_m(2,:),m-);legend(b0_m);37运行结果38 从数字仿真的结果可见：最小二乘估

7、计参数收敛相当快，而且估计稳态误差均为零。394.9数据递推的饱和及解决方法4.9.1数据饱和现象 随着数据量的增长，递推的最小二乘法将出现所谓的“数据饱和”现象。这是由于增益矩阵随着数据的增加将逐渐趋于零。以致使递推算法是去修正能力的缘故。 所谓数据饱和现象。就是随着时间的推移，采集的数据越来越多，新数据提供的信息被旧数据所淹没。 如果辨识算法对新、旧数据给予相同的信度，那么随着从新数据中获得的信息量相对下降，算法就会慢慢失去修正能力。 估计值可能还偏离真值较远就无法更新了；对时变系统来说，将导致参数估计值不能跟踪时变参数的变化；另外，由于递推在数字计算机上进行，每步都存在舍入误差。数据饱和

8、后，不仅对参数估计不起改进作用，反而可能使偏差越来越大。4040数据饱和现象 4141数据饱和现象 为了克服数据饱和现象，可以用降低旧数据影响的办法来修改算法。 可见，随着递推次数的增加，P(N)将越来越小,最后可能趋于零。 因此根据上式，新的采样值对参数估计的改进，已不再起作用了。4242如果再获得一对新的观测值 ，则有 由n+N个观测数据获得 的最小二乘估计为4.9.2渐消记忆法 渐消记忆法又称为遗忘因子法，这种方法的思想是对旧数据加上遗忘因子，按指数加权来使得旧数据的作用衰减。 43令： 称为遗忘因子，0 1。渐消记忆的递推算法的结构和计算流程与递推最小二乘算法基本一致。初始状态的选取也一致。遗忘因子必须选择接近1的正数，通常不小于0.9。如果系统是线性的，应选择0.951。整理得：444.9.3限定记忆法 限定记忆法每次估值只依据最新的N个数据，在此以前的数据则全部剔除。如果考虑一个固定长度的矩形窗，每一时刻有一个新数据点增加进来，一个旧数据点剔除出去，这样保持了每次都只取最新的N个数据进行计算。 递推算法分为两个过程。（1）先进一个观测数据yi+N，即在i+N时刻，进一个数据