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1、10.4 旋转曲面的面积 一 定积分的元素法(或微元法) 通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直线运动的路程）的分析，采用“分割、近似代替、求和、取极限”四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽象出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？ 为了说明微元法，我们先来回顾一下曲边梯形面积转化为定积分的计算过程。(1) 分割：任意划分a,b为n个小区间相应地把曲边梯形分为n个小曲边梯形则曲边梯形的面积为(2)求近似值：则有(3) 取极限：从而即在上述问题中, 所求量(即面积)A满足：1。与区间a,b及a,b上连续函数f(x)有关

2、;2。对a,b具有可加性，3。一般地,如果所求量分布在某区间a,x上,或者说是区间端点x的函数,即= (x),xa,b,而(b)正好为最终所求的值.如果在任意小区间x,x+x上,能把的微小增量近似地表示为x的线性形式f(x) x,其中f(x)为某一连续 函数,且当x0时, -f(x)x=o(x),即df(x)dx,那么只要计算定积分就能求出量.以上方法称为微元法.二 旋转曲面的面积设平面曲线C的方程为y=f(x),xa,b(f(x)0),这一曲线绕x轴旋转一周得到旋转曲面,如图 xyOabxx+xy=f(x)S通过x轴上的点x与x+x分别作垂直于x轴的平面,它们在旋转曲面上截下一条狭带.当x很小时,此狭带的面积近 似于一圆台的侧面积,即其中y=f(x+ x)-f(x).由于旋转曲面的面积为所以故若光滑曲线C由参数方程x= x(t),y=y(t),t,给出,且 y(t)0,则由弧微分知识推知曲线C绕x轴转所得曲面的面积若曲线由极坐标方程r= r (q)定义, 0 q ,则旋转曲曲面的面积例1 求半径为R的球面面积.绕x轴旋转而成,于是解:设球面方程为可看作半圆例2 求由内摆线)0(sincos33=atayta

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