2023届高三数学一轮复习课时过关检测(28)解三角形应用举例

1、课时过关检测(二十八) 解三角形应用举例A级基础达标1某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为3 km和5 km，测得灯塔A在观察站C北偏西50，灯塔B在观察站C北偏东70，则两灯塔A，B间的距离为()A7B8Ceq r(34)15eq r(3)Deq r(34)15eq r(3)解析：A根据题意，画出草图如图所示，结合题干条件易知AC3 km，BC5 km，ACB120，利用余弦定理可得AB23252235cos 12049，AB7 km故选A2(2022咸宁月考)在ABC中，若acos Abcos B，则ABC的形状一定是()A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰或直角三角形解析：D已

2、知acos Abcos B，利用正弦定理eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)2R，解得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A1802B，解得AB或AB90，所以ABC的形状是等腰或直角三角形故选D3(2022武钢期中)在锐角ABC中，若C2B，则eq f(c,b)的范围为()A(eq r(2)，eq r(3)B(eq r(3)，2)C(0,2)D(eq r(2)，2)解析：A由正弦定理得eq f(c,b)eq f(sin C,sin B)eq f(sin 2B,sin B)2cos B，ABC是锐角三角

3、形，三个内角均为锐角，即有0Beq f(,2)，0C2Beq f(,2)，0CB3Beq f(,2)，解得eq f(,6)Beq f(,4)，余弦函数在此范围内是减函数故eq f(r(2),2)cos Beq f(r(3),2)eq f(c,b)(eq r(2)，eq r(3)故选A4某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45，距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救，则舰艇靠近渔轮所需的时间为()Aeq f(1,2)小时Beq f(2,3)小时Ceq

4、f(3,4)小时D1小时解析：B如图，设舰艇在B处靠近渔轮，所需的时间为t小时，则AB21t，CB9t在ABC中，根据余弦定理，则有AB2AC2BC22ACBCcos 120，可得212t210281t22109teq f(1,2)整理得360t290t1000，解得teq f(2,3)或teq f(5,12) (舍去)故舰艇需eq f(2,3)小时靠近渔轮故选B5(2022池州质检)如图所示，在四边形ABCD中，ACADCD7，ABC120，sinBACeq f(5r(3),14)且BD为ABC的平分线，则BD()A6B9C7eq r(2)D8解析：D由正弦定理得eq f(BC,sinBAC

5、)eq f(AC,sinABC)eq f(BC,f(5r(3),14)eq f(7,f(r(3),2)BC5，由ACADCD7，可得ADC60，又ABC120，所以A，B，C，D四点共圆，DBCDAC60，由余弦定理得cosDBCeq f(BD2BC2DC2,2BDBC)BD8故选D6(多选)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75，距离12eq r(6) n mile；在A处看灯塔C在货轮北偏西30，距离8eq r(3) n mile货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60，则下列说法正确的是()AA处与D处之间的距离是24 n mileB灯塔C与D处之间的距离是16 n mileC

6、灯塔C在D处的西偏南60DD在灯塔B的北偏西30解析：AC由题意可知ADB60，BAD75，CAD30，所以B180607545，AB12eq r(6)，AC8eq r(3)，在ABD中，由正弦定理得eq f(AD,sin B)eq f(AB,sinADB)，所以ADeq f(12r(6)f(r(2),2),f(r(3),2)24(n mile)，故A正确；在ACD中，由余弦定理得CDeq r(AC2AD22ACADcosCAD)，即CDeq r(8r(3)224228r(3)24f(r(3),2)8eq r(3)(n mile)，故B错误；因为CDAC，所以CDACAD30，所以灯塔C在D处

7、的西偏南60，故C正确；由ADB60，D在灯塔B的北偏西60处，故D错误故选A、C7台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区的时间为_小时解析：设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米，APx，在ABP中，PB2AP2AB22APABcos A，故302x24022x40cos 45，化简得x240eq r(2)x7000，设方程的两根为x1，x2，则x1x240eq r(2)，x1x2700，所以|x1x2|eq r(x1x224x1x2)20，即图中CD20千米，所以B城市处于危险区的时间为e

8、q f(20,20)1小时答案：18海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD80，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则图中海洋蓝洞的口径为_解析：由已知得，在ACD中，ACD15，ADCADBBDC150，所以DAC15，由正弦定理得ACeq f(80sin 150,sin 15)eq f(40,f(r(6)r(2),4)40(eq r(6)eq r(2)在BCD中，BDC15，BCDBCAACD135，所以DBC30，由正弦定理e

9、q f(CD,sinCBD)eq f(BC,sinBDC)，得BCeq f(CDsinBDC,sinCBD)eq f(80sin 15,f(1,2)160sin 1540(eq r(6)eq r(2)在ABC中，由余弦定理，得AB21 600(84eq r(3)1 600(84eq r(3)21 600(eq r(6)eq r(2)(eq r(6)eq r(2)eq f(1,2)1 600161 60041 6002032 000，解得AB80eq r(5)故图中海洋蓝洞的口径为80eq r(5)答案：80eq r(5)9(2022太原模拟)如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备

10、在河岸一侧建造一个观景台P，已知射线AB，AC为两边夹角为120的公路(长度均超过3千米)，在两条公路AB，AC上分别设立游客上下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AMeq r(3)千米，ANeq r(3)千米(1)求线段MN的长度；(2)若MPN60，求两条观光线路PM与PN之和的最大值解：(1)在AMN中，由余弦定理得，MN2AM2AN22AMANcos 120332eq r(3)eq r(3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)9，MN3，所以线段MN的长度为3千米(2)设PMN，因为MPN60，所以PNM120，在PMN中，由正弦定理得，eq

11、 f(MN,sinMPN)eq f(PM,sin120)eq f(PN,sin )eq f(3,sin 60)2eq r(3)所以PM2eq r(3)sin(120)，PN2eq r(3)sin ，因此PMPN2eq r(3)sin(120)2eq r(3)sin 2eq r(3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)cos f(1,2)sin )2eq r(3)sin 3eq r(3)sin 3cos 6sin(30)，因为0120，所以3030150所以当3090，即60时，PMPN取到最大值6所以两条观光线路PM与PN之和的最大值为6千米B级综合应用10(2022苏

12、州质检)如图，某侦察飞机沿水平直线AC匀速飞行，在A处观测地面目标P，测得俯角BAP30，飞行3分钟后到达B处，此时观测地面目标P，测得俯角ABP60，又飞行一段时间后到达C处，此时观测地面目标P，测得俯角BCP的余弦值为eq f(4r(19),19)，则该侦察飞机由B至C的飞行时间为()A2分钟B225分钟C25分钟D275分钟解析：B设飞机的飞行速度为v，由题知BAP30，ABP60，所以ABP为直角三角形，如图，过点P作PDAC于点D，则AB3v，APeq f(3r(3),2)v，BPeq f(3,2)v，可得DPeq f(3r(3),4)v，所以DBeq f(3,4)v，设CBxv，由

13、cosBCPeq f(4r(19),19)，可得sinBCPeq f(r(3)r(19),19)，则tanBCPeq f(r(3),4)，又由tanBCPeq f(f(3r(3),4)v,f(3,4)vxv)eq f(r(3),4)，解得x225故选B11(多选)如图，设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin Bcos Ccsin Bcos Aeq f(r(3),2)b，且CABeq f(,3)点D是ABC外一点，DC1，DA3，下列说法中，正确的命题是()AABC的内角Beq f(,3)BABC的内角Ceq f(,3)C四边形ABCD的面积最大值为eq f(5r(3),2

14、)3D四边形ABCD的面积无最大值解析：ABC因为asin Bcos Ccsin Bcos Aeq f(r(3),2)b，由正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin Bcos Aeq f(r(3),2)sin B，B为三角形内角，sin B0，所以sin Acos Ccos Asin Ceq f(r(3),2)，sin(AC)eq f(r(3),2)，所以sin Bsin(AC)eq f(r(3),2)，Beq f(,3)或Beq f(2,3)，又CABeq f(,3)，所以Beq f(2,3)不合题意，所以Beq f(,3)，从而ACBeq f(,3)，A、B正确；在ACD中

15、，AC2AD2CD22ADCDcos D91231cos D106cos D，所以S四边形ABCDeq f(1,2)ADCDsin Deq f(r(3),4)AC2eq f(3,2)sin Deq f(3r(3),2)cos Deq f(5r(3),2)3sineq blc(rc)(avs4alco1(Df(,3)eq f(5r(3),2)，D(0，)，Deq f(,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，f(2,3)，所以Deq f(,3)eq f(,2)，即Deq f(5,6)时，S四边形ABCD3eq f(5r(3),2)为最大值，无最小值C正确，D错故选A、B、C12

16、在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a，b，c直接求出三角形的面积据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了海伦公式，即Seq r(ppapbpc)，其中peq f(1,2)(abc)我国南宋著名数学家秦九韶(约12021261)在数书九章里面给出了一个等价解法，这个解法写成公式就是Seq r(f(1,4)c2a22)，这个公式中的_解析：由余弦定理知eq f(c2a2b2,2)accos B，所以Seq f(1,2)acsin Beq r(f(1,4)a2c2sin2B)eq r(f(1,4)c2a2c2a2cos2B)eq r(f(1,4)c2a22

17、)，所以eq f(c2a2b2,2)答案：eq f(c2a2b2,2)13(2022上海模拟)第十届中国花卉博览会于2021年5月21日至7月2日在上海崇明区举办，以“蝶恋花”为设计理念的世纪馆，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度280米，屋面板厚度只有250毫米图为建成后的世纪馆；图是建设中的世纪馆；图是场馆的简化图如图是由两个相同的半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，AAPPOOBB，其中AA280米，圆心距OO160米，半圆的半径R75米，椭圆中心P与圆心O的距离PO40米，C，C为直线PP与半圆的交点，COB60(1)设AAB，计算sin 的值；(2)计算COP的大小

18、(精确到1)附：sin 368706，sin 4744eq f(12r(3)9,16)解：(1)易知OO为等腰梯形ABBA的中位线，所以cos eq f(f(280160,2),75)eq f(4,5)，因为为锐角，所以sin eq f(3,5)(2)因为AAOO，所以OOBAAB，则PCOCOO60，所以在CPO中，eq f(OC,sinCPO)eq f(OP,sin60)，即sinCPOeq f(OCsin60,OP)eq f(75sin 60cos cos 60sin ,40)，则sinCPOeq f(12r(3)9,16)，又CPO为钝角，所以CPO13256由(1)知，sin eq

19、f(3,5)，所以3687，所以COO6036872313，所以OCPCOO2313，所以COP180CPOOCP18013256231324C级迁移创新14(2022合肥月考)益古演段是我国古代数学家李冶(11921279)的一部数学著作内容主要是已知平面图形的信息，求圆的半径、正方形的边长和周长等其中有这样一个问题：如图，已知A60，点B，C分别在A的两个边上移动，且保持B，C两点间的距离为2eq r(3)，则点B，C在移动过程中，线段BC的中点D到点A的最大距离为_解析：如图，延长AD到点P，使ADDP，连接PB，PC，D是线段BC的中点，四边形ABPC是平行四边形，ACP120，在AB

20、C中，BC212AB2AC22ABACcos 60，BC212AB2AC2ABACABAC，当且仅当ABAC2eq r(3)时等号成立，故ABAC12在ACP中，AP2AC2CP22ACCPcos 120AC2CP2ACCP，ABCP，AP2122ACAB36，2AD6，AD3故线段BC的中点D到点A的最大距离为3答案：315如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos Aeq f(12,13)，cos Ceq f(3,5)(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1)在ABC中，因为cos Aeq f(12,13)，cos Ceq f(3,5)，所以sin Aeq f(5,13)，sin Ceq f(4,5)，从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin Ceq