2021年秋八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理3直角三角形的判定授课课件新版华东师大版

1、第14章 勾股定理14.1 勾股定理第3课时 直角三角形 的判定1课堂讲解由边的数量关系判定直角三角形勾股数2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升 古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打 上等距离的13个结，然后如图14. 1. 8那样用桩钉钉成 一个三角形，他们认为其中一个角便是直角. 你知道这是什么道理吗？知1导1知识点由边的数量关系判定直角三角形试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它 们是一些什么样的三角形：(1) a=3, b =4,c=5；(2) a = 4, b = 6, c = 8；(3) a = 6, b = 8,c = 10试一试知1讲勾股定理的逆定理：如果三角形的

2、三边长a、b、c有关系a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角要点精析：(1)勾股定理的逆定理是 判定直角三角形的一 个依据，在判定时不能 说“在直角三角形中” “直角边”“斜边”，因为 还没有确定是直角三 角形；(2) a2+b2=c2 只是一种表现 形式，满足a2=b2+c2 或 b2=a2+c2 的也是直角三 角形，只是这时a或b 为斜边知1讲已知:如图 14. 1.9(1)，在ABC 中，AB= c, BC = a, AC = b, a2 + b2 = c2.求证：C90.例1 知1讲如图 14.1.9(2),作 ABC ， C 90, AC = b, BC =

3、a,则 AB 2 = a2 +b2 = c2,即AB = c.在ABC和 ABC 中， BC = a = BC ， AC = b = AC ， AB = c =AB ， ABC ABC . C= C =90.证明：知1讲判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：(1)在ABC中，A25，C65；(2)在ABC中，AC12，AB20，BC16；(3)一个三角形的三边长a、b、c满足b2a2c2.例2 判断一个三角形是否是直角三角形，如果条件与角相关，则考虑用定义判断；如果条件与边相关，则考虑用勾股定理的逆定理判断第(1)题可以直接根据直角三角形的定义判断；第(2)(3)题可以依据勾股定理的逆定理

4、来判断导引： 知1讲(1)在ABC中，ABC180， B180256590， ABC是直角三角形(2)在ABC中，AC2BC2122162202 AB2， ABC是直角三角形，且C为直角(3)三角形的三边长满足b2a2c2， 即b2a2c2， 此三角形是直角三角形，且b是斜边长解：警示：判断一个三角形的形状时，除考虑是直角三角形外，还要考虑是否为等腰三角形拓展：若最长边的平方比较短两边的平方和大，则三角形为钝角三角形；若最长边的平方比较短两边的平方和小，则三角形为锐角三角形知1讲判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法：(1)利用定义，即如果已知条件与角度有关，可借助三角形的内角和定理判断；(

5、2)利用勾股定理的逆定理，即若已知条件与边有关，一般通过计算得出三边的数量关系来判断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方知1讲知1讲下面给出几组数：7，8，9；12，9，15；m2n2，m2n2，2mn(m，n均为正整数，mn)；a2，a21，a22(a1)以它们为边长的三角形一定是直角三角形的是()A BC D例3 B知1讲看最长线段的平方是否等于其他两条线段的平方和显然728292，中92122152，中(m2n2)2(m2n2)2(2mn)2，当a23时，三数为3，4，5，满足(a2)2(a21)2(a22)2，但取其他值时不能满足，所以选B.导引： 判断三条线段能否组成直角三角

6、形的方法：解此类题时，先确定每组中最大的数，再看最大数的平方是否等于较小的两个数的平方和；若相等，则以这三个数为边长的三角形是直角三角形；否则，不是直角三角形知1讲易错题已知a、b、c为ABC的三边长，且满足a2c2b2c2a4b4，试判断ABC的形状知1讲例4 先将等式两边同时分解因式，然后通过对分解后的式子的讨论，得出ABC的形状导引： 知1讲a2c2b2c2a4b4，c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)即(a2b2)(a2b2c2)0.(1)当a2b20时，则有c2a2b2. ABC是直角三角形(2)当a2b20，即ab时， 若a2b2c20，则ABC是等腰三角形 若a2b2c20，

7、则ABC是等腰直角三角形 综上所述，ABC是直角三角形或等腰三角形或 等腰直角三角形解： 两个因式的积为0，有只有一个因式为0和两个因式都为0两种情况；判断三角形形状时，不仅要考虑直角三角形，还要考虑等腰三角形本题易丢掉情况(2)，在化简过程中没有考虑到a2b20的情况就直接在等式两边除以一个可能为0的式子，从而导致了错误知1讲知1讲如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB4，CE BC，F为CD的中点，连结AF，AE，EF，问：AEF是什么三角形？请说明理由例5 知1讲直接判断EF2AF2与AE2的关系不太容易，但由于“AB4，CE BC，F为CD的中点”，因此可以很容易

8、求出AF，EF，AE的长，然后判断EF2AF2与AE2的关系，从而得到三角形的形状导引： 知1讲四边形ABCD是正方形，CDABBC4，BDC90.CE BC，F为CD的中点，CE1，CFDF2，BEBCCE3，EF AF AE 5.又( )2( )252，EF2AF2AE2，AEF是直角三角形解： 当要判断的三角形三边都未知时，首先要借助题目中给出的一些数量关系分别求出三角形三边的长，然后利用勾股定理的逆定理来判断知1讲利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤：(1)比较三边a、b、c的大小，找出最长边；(2)计算两短边的平方和，看它是否与最长边的平方 相等；若相等，则是直角三角形，且最长边

9、所对 的角是直角；若不相等，则此三角形不是直角三 角形知1讲在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且(ab)(ab)c2，则()AA为直角BB为直角CC为直角DABC不是直角三角形知1练 1已知ABC的三边长分别为5，12，13，则ABC的面积为()A30 B60 C78 D无法确定2知1练 如图，每个小正方形的边长均为1，则ABC是()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D等腰三角形3知2讲2知识点勾股数勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；9，40，41；.要点精析：(1)勾股数有无数组；(2)

10、一组勾股数中各数的相同正整数倍数得到一组新 的勾股数如3，4，5是勾股数，则6，8，10和 9，12，15也是勾股数；即如果a，b，c是一组勾股 数，那么na，nb，nc(n为正整数)也是一组勾股数判别一组数是否为勾股数的一般步骤： （1）“看”：看是不是三个正整数. （2）“找”：找最大数. （3）“算”：计算最大数的平方与两个较小数的平方和. （4）“判”：若两者相等，则这三个数是一组勾股数；否则，不是一 组勾股数.知2讲已知 ABC，AB= n2 - 1，BC= 2n，AC = n2+1 (n为大于1的正整数).试问 ABC是直角三角 形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由. 知

11、2讲例6知2讲AB2 + BC2 = (n2 1)2 + (2n)2 =n4 2n2 + 1 + 4n2 =n4 + 2n2 + 1 =(n2 + 1) 2 =AC 2ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角.解： 想一想，为什么选择AB2 + BC2 ？AB、BC、CA的大小关系是怎样的？观察下面的表格所给出的三个数a，b，c，其中abc.知2讲例7 3，4，53242525，1224，25722422529，40，4192402412a，b，ca2b2c2(1)试找出它们的共同点，并说明你的结论；(2)当a21时，求b，c的值(1)各组数的共同点是：各组数均满足a

12、2b2c2；最小数a是奇数，其余的两个数b，c是连续 的正整数；最小数的平方等于另外两个连续正整数的 和知2讲只要能够发现每组三个数之间的规律即可，这就需从不同的角度去观察、分析，运用从特殊到一般的思想来解答导引： 解： 知2讲由以上特点可猜想并说明这样一个结论：设x为大于1的奇数，将x2拆分为两个连续正整数之和，即x2y(y1)，则x，y，y1就能构成一组勾股数证明：x2y(y1)(x为大于1的奇数)，x2y2y(y1)y2y22y1(y1)2.x，y，y1是一组勾股数运用以上结论，当a21时，212441220221.b220，c221.(2) 寻找与大于或等于3的奇数组成勾股数的一种方法

13、：先选一个大于1的奇数，然后把这个数的平方写成两个连续正整数的和，则这个奇数和分成的两个连续正整数就构成了一组勾股数，如4522 0251 0121 013，则45，1 012，1 013就是一组勾股数，运用此法可以得到无数组勾股数知2讲下面四组数中是勾股数的一组是()A6，7，8 B5，8，13C1.5，2，2.5 D21，28，35知2讲例8 根据勾股数的定义：满足a2b2c2的三个正整数a，b，c称为勾股数A.627282，不能构成勾股数，故错误；B.5282132，不能构成勾股数，故错误；C.1.5和2.5不是整数，所以不能构成勾股数，故错误；D.212282352，能构成勾股数，故正

14、确故选D.导引： D 确定勾股数的方法：首先看这三个数是否是正整数；然后看较小两个数的平方和是否等于最大数的平方记住常见的勾股数(3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；)可以提高解题速度知2讲知2练 下列各组数中，不是勾股数的是()A5，12，13 B7，24，25C8，12，15 D3k，4k，5k(k为正整数)1知2练 下面几组数中，为勾股数的一组是()A4，5，6 B12，16，20C10，24，26 D2.4，4.5，5.12知2练 给出下列命题：如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是一组勾 股数；如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么另一边长的 平方必为25；如果一个三角形的三边长分别是12，25，21，