2021年秋八年级数学上册第13章全等三角形13.5逆命题与逆定理2线段的垂直平分线授课课件新版华东师大版

1、第13章 全等三角形13.5 逆命题与逆定理第2课时 线段的垂直 平分线1课堂讲解线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的判定2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1知识点线段垂直平分线的性质 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分 线是线段的对称轴. 如图13. 5. 1，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB. 将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合. 由此即有：知1导知1讲1.线段垂直平分线的性质定理：线段垂 直平分线上的点到线段两端的距离相等；条件：点在线段的垂直平分线上；结论：这个点到线段两端的距离相等表达方式：如图13.5-2，l AB，AO

2、 BO，点P在l上，则APBP.2作用：可用来证明两线段相等图13.5-2知1讲线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上 的点到线段两端的距离相等.已知：如图13. 5. 1，MN丄AB，垂足为点C，AC =BC，点P是直线MN上的任意一点.求证：PA=PB.分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要 证明这两个三角形全等，便可证得PA=PB.请写出完整的证明过程.知1讲 例1 如图 13.5-3，在ABC 中，AB=5 cm，BC 的垂直平分线 分别交AB，BC于点D，E， ACD的周长为8 cm，求线段AC的长. 图13.5-3知1讲导引：利用线段垂直平分线的性质将要求的线 段向已知的

3、条件转化. 知1讲解：DE为BC的垂直平分线， CD=BD. ACD的周长=AC+AD+CD =AC+AD+BD =AC+AB =8 cm. AB=5 cm，AC=3 cm.知1讲总 结利用线段垂直平分 线的性质转化线段的位 置，是一种常用的解题 方法.本题中解题的关 键是利用线段垂直平分 线的性质将CD 的长转 化为BD的长，从而将 ACD 的周长转化为线 段AB+AC的长，进行求解.知1讲 例2 如图13.5-4，在ABC中，A40，B90，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则BCD的度数是_图13.5-410知1讲导引：在ABC中，B90，A40，ACB50.MN是

4、线段AC的垂直平分线，DCDA，AECE.又DEDE，ADECDE，DCEA40.BCDACBDCA504010.知1讲总 结 利用线段垂直平分线的性质得出边相等，从而得出三角形全等，再利用全等三角形中对应角相等确定DCA的度数，根据角度差解决问题(中考义乌)如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA5，则线段PB的长度为()A6 B5 C4 D3知1练2 如图，已知线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点M，则线段AM，CM的大小关系是()AAMCM BAMCMCAMCM D无法确定知1练3 (中考荆州)如图，在ABC中，ABAC，AB的垂直平分线交边AB于D

5、点，交边AC于E点，若ABC与EBC的周长分别是40 cm，24 cm，则AB_知1练2知识点线段垂直平分线的判定知2导这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过 来会有什么结果呢？探索条件结论性质定理逆命题写出该定 理与它的逆命 题的条件和结 论，想想看，其 逆命题是否是 一个真命题？ 你一定发现到线段两端距离相等的点的确在该线 段的垂直平分线上.我们可以通过“证明”说明这一结论正确.知2讲线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上(1)条件：点到线段两端距离相等；结论：点在线段垂直平分线上(2)表达方式：如图13.5-5，PAPB，点P在线段AB的垂直平分线上(

6、3)作用：作线段的垂直平分线的依据；可用来证线段垂直、相等 拓展：三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三角形的三个顶点的距离相等，这个点叫这个三角形的外心图13.5-5知2讲已知：如图13.5.2, QA=QB. 求证：点Q在线段AB的垂直平分线上.分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上， 可以先经过点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平 分线段AB;也可以先平分线段AB ，设线段AB的中点为 点C，然后证明QC垂直于线段AB.知2讲证明：过点Q作MN丄AB ，垂足为点C， 故QCA = QCB = 90. 在 Rt QCA 和 Rt QCB 中， QA = QB, QC = QC, R

7、t QCA Rt QCB (H.L ). AC =BC(全等三角形的对应边相等）. 点Q在线段AB的垂直平分线上.你能根据分析中后一种添加辅助 线的方法，写出它的证明过程吗？知2讲于是就有定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分 线上.上述两条定理互为逆定理，根据上述两条定理，我们就能证明：三角形三边的垂直平分线交于一点.知2讲 例2 如图 ，AD 为BAC 的平分线，交BC 于点D， AE=AF，请判断线段AD所在的直线是否为线段EF的垂直平分线， 若是，请给予证明；若不是，请说明理由. 知2讲解：线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线. 证明如下： 如图 ，连结DE，DF. AD是B

8、AC的平分线，EAD=FAD.在AED和AFD中，AE=AF， EAD=FAD， AD=AD， AEDAFD（S.A.S.）.DE=DF. 点D在线段EF的垂直平分线上. AE=AF， 点A在线段EF的垂直平分线上. 线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.总 结知2讲判断线段垂直平分线的两种方法： 一是定义法，二是判定定理 . 一般习惯用定义法 进行判断，而利用判定定理 判断更简单 . 用判定定理判 定一条直线是线段的垂直平分线时，一定要证明直线上 有两点到线段两个端点的距离相等 .知2讲从图13. 5. 3中可以看出，要证明三角形三条边的垂 直平分线交于一点，只需证明其中两条边的垂直平分

9、线 的交点一定在第三条边的垂直平分线上就可以了.其思 路可表示如下：试试看，现在你会证明了吗？试一试知2讲 例3 如图13.5-7，已知ABAD，BCDC，E是AC上一点，求证：(1)BEDE；(2)ABEADE.导引：(1)连结BD，要证BEDE，只要证明E点 是线段BD的垂直平分线上的点即可由 ABAD，说明A点是线段BD的垂直平分 线上的点，由BCDC，说明C点也是线 段BD的垂直平分线上的点，所以AC是线 段BD的垂直平分线，而已知E是AC上一 点，问题得以解决(2)要证明角相等，只需证明ABEADE即可图13.5-7知2讲证明：(1)连结BD，如图13.57， ABAD，BCCD，

10、A，C两点均在线段BD的垂直平分线上 AC是线段BD的垂直平分线 又E是AC上一点， BEDE.(2)在ABE和ADE中， ABAD，BEDE，AEAE， ABEADE， ABEADE.总 结知2讲证明两条线段或两个角相等 常用方法： 1. 通过证明两条线段所在的 三角形全等； 2. 用线段垂直平分线的性质 证明两条线段相等； 3. 用轴对称图形的对应元素 证明 .知2讲 例4 如图13.5-8，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？图13.5-8知2讲导引：本题转化为数学问题就是要找一个点

11、，使它到三角形的三个顶点的距离相等首先考虑到A，B两点距离相等的点应该在线段AB的垂直平分线上，到B，C两点距离相等的点应该在线段BC的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点即为所求的点图13.5-9知2讲解：连结AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线DE，GF，两直线交于点M，则点M就是所要确定的购物中心的位置如图13.5-9.图13.5-9总 结知2讲解决作图选点性问题：若要找到某两个点的距离相等的点，一般在这两点所连线段的垂直平分线上去找总 结知2讲线段垂直平分线的判定有两种方法：(1)定义法；(2)判定定理我们一般习惯用定义法进行证明，但利用判定定理则更为简单，用判定定理判定一条直线是线段的垂直平分线时，需证直线上有两点到线段两端点的距离相等锐角三角形ABC内有一点P，满足PAPBPC，则点P是ABC()A三条角平分线的交点 B三条中线的交点C三条高的交点 D三边垂直平分线的交点知2练2 如图，点D在ABC的BC边上，且BCBDA