2010年全国卷Ⅱ第17题的教学实录与反思

1、PAGE PAGE 72010年全国卷第17题的教学实录与反思甘肃省景泰县第二中学 柏红香 邮编；730400高考成绩揭晓后，我们学校考生普遍数学成绩不如往年理想。笔者高一正复习正余弦定理的应用，为了让高一学生零距离地体验高考，我给学生留了今年全国卷（文理科相同）的第17题：在ABC中，D为边BC上的一点， BD=33，sinB=，cosADC=，求AD。原计划下次上课稍加点拨之后再复习其它内容，但下次课一开始，我便毫不犹豫地放弃了原来的教学计划。我在教室里随机抽查了几位同学的解法，让我大开眼界，解法丰富多彩，以致这节课成为同学们展示成果的最佳时机。一、教学过程：师：课前我们留给大家今年全国卷

2、的一道高考解答题，这是一道起点低，入口宽、思路广，容易得分的题目。解决这个问题，同学们有哪几种解法，在求解过程中有哪些感悟。生1：（程度中上，爱好数学）我有两种解法，解法1：先画图形，如图1，由cosADC=0知角B为锐角，由已知得cosB=，sinADB=sinADC=，cosADB=-,从而sinBAD=sin（B+ADB）=sinBcosADB+cosBsinADB=（-）+=，再由正弦定理得=，代入解得AD=25。BCDA 图(1)A解法2：可借助直角三角形中边角关系进行求解，如图2，过A作AEBD于点E，在RtADE中，由于cosADE=,所以可设DE=3K，则AE=4K，AD=5K

3、，（K0），由cosADC=0，知B为锐角，又sinB=，所以tanB=,于是有=，解得k=5，所以AD=25。EBCD图(2)师：非常好！解法1用正弦定理、诱导公式、两角和公式，推理严谨，步步有据，解法自然大方。解法2抓住直角三角形中边与角的特点，作辅助线，引进字母k表示各边，列出k的方程，构思绝妙，运算优美。请给同学们谈谈当初你怎么想到这种解法?生1：由于cosADC=，sinB=，联想到两组勾股数3，4，5和5，12，13，试着作辅助线，构造直角三角形，用字母k表示相关的边又易求tanB=，也可表示为,即可列出方程。师：冰冻三尺，非一日之寒！好的方法来自平时的总结和积累，哪位同学有不同的

4、解法？请补充。生2：我也有两种解法，但第一种解法和生1的解法思路大体相同，只是求sinBAD，我是这样做：即sinBAD=sin(ADC-B)展开代值。我还有一种解法：DAE解法3：如图3,建立如图所示的坐标系，过A作AEBC，垂足为E，由于cosADC=0，知B为锐角，由sinB=，可设A（12k,5k）,(k0)，由已知D（33，0），在RtADE中，由cosADE=，得tanADE=，从而DE=12k-33，所以=，解得k=4，因此AD=25。BC 图(3)师：解法干脆利落，与生1的解法2有异曲同工之妙，将坐标、方程有机结合在一起，让人回味无穷，等高二大家学习了直线方程后，也可设A（），

5、写出直线AB、AD的方程联立求解，同学们还有不同的解法吗？生3：利用向量的投影解解法4：在图2中，设DA=，BA=，向量在在上的投影为 cosADC，向量在上的投影为cosB，由图可知，cosB=BD+ cosADC， 即=33+。 又因为，在上的投影相同，得 cosBAE= cosDAE，即= 解得=25（顿时，教室里爆发出热烈的掌声，大家为生3的解法惊讶，令人叫绝！）师：生3能联想到用向量的投影求解，解法耳目一新。向量是高中数学里非常重要的一个内容，它几乎与所有的高中数学内容都能交汇，应引起大家的重视，还有别的解法吗？生4：我想用向量的夹角公式求，如图4：A解法5：以D为原点，BC边所在直

6、线为轴，建立如图所示的坐标系，由已知cosADC=，可设A（3k,4k）（k0），又由BD=33，得B（-33，0），=（3k+33，4k），=（33，0），由已知可得B为锐角，cosB=，由向量的夹角公式得，cos，=，即=解得k=5，所以AD=25 BDC 图(4)师：解法漂亮！，能将解析几何、向量、方程的思想有机渗透在一起，真正体现了向量的工具性作用，哪位同学还想说说你的想法？生5：老师，我有一种想法，不知对不？师：（鼓励学生发言）试试看，错了也没关系。解法6：在图（1）中，设AD=，AB=，已知BD=33，cosADC=，sinB=，在RtABD中，由余弦定理得，2=2+332-233

7、（-） ，再由正弦定理得= 即= 将式代入，求 ，但是，我就解不出来等于25。师：想法不错，自然流畅。哪位同学帮忙完成生5的解法。 生6：将式代入式，即（）2=+332-66（-），移项化简-332=0观察发现，同时除以333，即-11=0师：难点突破，继续求解。这是一元二次方程，求一元二次方程的解有哪些方法？众生：公式法，分解因式法。师：（补充道），还有配方法，直接开平方法，大家说哪种方法求比较好？众生：公式法。师：好，先求判别式，再代求根公式；生7：一个根是25，另一个根是-。（至此，生5的脸上露出了笑容，老师相信肯定找到了错误的地方）生8：我还想用面积公式求。这时，下课铃响了。我打断生8

8、的话，简单总结一下，这道高考题同学们分析得很精彩，从不同的角度，充分挖掘已知条件和所求结论的联系，得到了许多解法，每一种解法都蕴含着深刻的数学思想。如方程思想，建系的思想，向量的思想，作辅助线的思想，这些思想始终贯穿于高中数学教学之中。解法1、解法2、简洁通俗，容易想到，其它解法思维的视觉独特新颖，对开拓同学们的思维能力大有好处。在平时的解题训练中，我们要掌握和总结最优解法，好，下去大家把今天讲过的和还没来得及展示的不同解法，整理在活页纸上交给课代表。2、教学反思（1）课堂教学是一项非常复杂而艰巨的“工程”，课堂上什么最重要？是教师的教，还是学生的学？是按照教师的预设思路完成，还是顺应学生的课堂动态生成思路发展？真是仁者见仁，智者见智，我们认为，后者无疑是最重要的，课堂上让学生自己活动，自己调整认知心向，发掘和利用智慧潜能，大胆地作出猜想，比如生5的解法尽管运算较繁，但是他自己想出来 的，应及时给予鼓励，让他体会到解题的成就感，满足感。（2）通过这次教学实践笔者深刻认识到，一堂课