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文档简介

1、第一节 外测度 I.知识衔接（先整体把握）第三章 测度论I. 知识衔接（先整体把握）II.引言其中积分与分割、介点集的取法无关几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。xi-1 xi1.(1) Riemann积分回顾（分割定义域）(2.)新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）yiyi-1用 mEi 表示 Ei 的“长度”问题：如何把长度,面积,体积概念推广? 2.”内填外包”法（1.）圆的面积内接正n边形的面积（内填）内接外切外切正n边形的面积（外包）（2.）达布上和与下和 Riemann积分xi-1 xi达布下和的极限下积分（内填）xi-1 xi达布上和的极限上积分（外包）II

2、I. Lebesgue外测度(外包)为E的Lebesgue外测度。定义： ，称非负广义实数与Jordan外测度比较： 下确界：即：用一开区间列 “近似”替换集合EIII. 2.例与思考：例1. 设E是0,1中的全体有理数，试证明E的外测度为0 证明：由于E为可数集，再由的任意性知( ) 2.平面上的x轴的外测度为0思考： . 设E是平面上的有理点全体，则E的外测度为0思考：3.我们知道有理数与无理数在0,1上都稠密，问证明中的开区间列是否覆盖了区间0,1由无理数集在0,1上稠密可知上面叙述的错误出在取，因为i的取定依赖于( ) IV. Lebesgue外测度的性质(b)的证明:能覆盖B的开区间

3、列也一定能覆盖A，从而能覆盖B的开区间列比能覆盖A的开区间列要少，相应的下确界反而大。（b）单调性：（a）非负性： ， 当E为空集时，（C）次可数可加性证明：对任意的0,由外测度的定义知，对每个An都有一列开区间（即用一开区间I nm列近似替换An）注：一般证明都是从大的一边开始，因为外测度的定义用的是下确界由的任意性，即得注1：外测度的次可数可加性的等号即使A，B不交也可能不成立（反例要用不可测集），但有:当区间Ii的直径很小时候，区间Ii不可能同时含有A，B中的点从而把区间列Ii分成两部分，一部分含有A中的点，一部分含有B中的点。若d(A,B) 0,则例3.证明参见教材p-56思考：书本中的证明用有限开覆盖定理的目的何在？此例说明Lebesgue外测度某种程度是区间长度概念的推广对任意区间 ，有例4.：Cantor集的外测度为

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