耦合模理论的推导公式

1、耦合模理论耦合模理论(Coupled-Mode Theory, CMT)是研究两个或多个电磁波模式间耦合的一 般规律的理论。CMT可用于非接触电能传输(Contactless Power Transfer, CPT)系统的计 算，以降低多线圈耦合电路计算的复杂性。为了用CMT来估算线圈间的能量传输效率，首 先用电路原理(Circuit Theory，CT)的思想解决两个线圈的能量传输效率问题，然后通过 CMT得出两个线圈感应连接的能量传输效率方程，将两个方程对比后发现可以变换为一套 相同的公式。随后分析3个线圈、4个线圈、一直到n-1个线圈都可以变换为同一套公式， 最后将此方法推广到在同一平面

2、的n个负载线圈的效率求解。1单负载的电路分析1.1电路分析图1甲负载线圈的CPT拓扑结构在图1中磁共振系统的逆变和整流部分可以得到高频的交流电，u是逆变后的交流电源，R为原副边的内阻，RL是负载，耦合系数K = M I、!LL，其中M为L1和L2的互感。系 统最佳的工作频率就是谐振点，由集总参数的能量守恒原理可以得到(1 3R+j -LIV1 -C )1/11 j-MI 21R + R + JI- l2-c )2I2 j-MI 1j-MU(Rl + X 2)X + -2 M 2(2)P I 2 R-2M 2Rtn = = L =LC UI1UI1( Rl + X 2) X1 + -2 M 2)

3、(Rl + X2) TOC o 1-5 h z 在谐振状态下，0L1 =，厂00L2 = L, X = R, X 2 = R，从而得到 01022 M 2 R(5) HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 门 =-cr (R + R)R + 2M 2)(R + R)LL1.2 CMT分析CPT系统中，常常只涉及稳态分析，在此也仅分析稳态特性。主线圈的幅值在正弦时为一个常数；同理，次线圈的幅值也是一个常数，两个时间域线幽i(t), a2(t)的原始储能可分别表示为|a1(t)|2, |a2(t)|2。由CMT可得a(t) = -(j +a 1(t) +

4、 jK12a2(t) + F (t)(6)a 2(t) = -(j +r 2 + r1) a 2(t) + jK 12 a1(t)(7)在上述公式中，r1,2,l分别为原线圈的损耗、负载线圈的损耗和负载的吸收功率，k 12 为两个线圈的耦合率，物为励磁损耗(忽略不计)。CMT中，a(t)=而-加,a 2(t) = * -加都是正弦信号；P1 = 2rJ|2 ,P 2 = 22|A2|2和PL = 2l|用2分别为原线圈、副线圈和负载 的功率。由能量守恒定律可得n =- =.呼F.(8)CMr p1+p2+Pl 2rJa, + 2r2 |aJ2 + 2rL|A2|2由方程(6)和(7)可得 =

5、2 =2.；l，Q =,Q =,Q =#2。将两A . jK. L R 1 R 2 R者之间关系r =&,r =戛,r =我以及k = K代入式(8)，解得L2Q1 2Q.2 2Q 122s _rK2_ 2 K 2 L L 2 R(9)ncm (r +r )(r +r )r + k 2 (r + r)r+2k2ll )(r + r)L 2L 2112L12 L2 M 2 R=L(R + R) R + 2 M 2)( R + R)LL与式(5)对比可知，两种方法求出的传输效率的表达式相同。2两个负载电路的传输效率分析2.1电路分析图2两个负载线圈的CPT拓扑结构对于图2电路，M2和M3为L1分别

6、与L2和的互感，J为线圈3所带的负载，K2和K 3分别为两个负载线圈的耦合系数.同理可得11 - jM I - jM I(10)(11)(12)在谐振状态下的传输效率为P I 2R +1 2R2M 2R (R + R )2 +32M 2R (R + R )2F = = 2 L3 L3 2 LL3 LLCT UI1UI1G1(R + Rl 2)( R + Rl 3)(13)式中：G = (R + R )(R + R ) + 32M 2(R + R ) + 32M 2(R + R ).1L 2L 32L 33L 22.2 CMT分析3个线圈的CMT分析和两个线圈的CMT分析方法类似，如下所示:a1

7、(t) = -(j3 1 +1)气(t) + jK 12a2(t) + jK a3(t) + F (t)( 14)a (t) = -(j3 + r +)a (t) + jK a (t)(15)222 L 22121a (t) = -(j3 + r +)a (t) + jK a (t)333L 3 313 1(16)同理可得 斗=4乌，Q =彩，Q =半，Ql=牛，QA3jK 131 R2rL 2 孔3L 八3 L3 HP M 3 =亍同时有关，r =, r =1 2Q解得门 =CMTPl2 + Pl3=2乙,|句2+ 2乙IA I2P1+ P 2+ P 3 + Pl 2 + PL 3 2r I

8、 Aj2 + 2r 21 用2 + 2r 31 A2 + 2rL 21 用2 + 2rLMF(17)2M 2 R (R + R )2 +2M 2 R (R + R )2 2 L2L3 LL G2( R + Rl 2)( R + Rl 3)式中：G2 = R(R + Rl2)(R + Rl3) + 2M22(R + Rl3) + 2M32(R + Rl2).解出的结果与式(13)相同.用CT方法和CMT方法能够得到相同的效率公式.33个负载电路的传输效率分析图3 3个负载线圈的CPT拓升结构对于图3中3个负载电路的拓扑结构，用同样的方法能够证明用集总参数分析方法和CMT求传输效率是相同的.(18

9、)(19)门=P =史 Rl ,+13 * M Rl 4CT UI1UI1门=Pl+Pl+ PL 4CMT P + P 2 + P 3 + P 4 + PL2 + PL 3 + PL 4令234234A = (R(R + Rl2)(R + Rl3)(R + Rl4) + 2M :(R + Rl3)(R + RL) + 2M32(R + Rl )(R + Rl ) + 2 M 42 (R + Rl 2)( R + Rl 3)( R + Rl 2)( R + Rl 3)(R + Rl 4)A =W2M 2R (R + R )2(R + R )2 +2M 2 R (R + R )2(R + R )2

10、 TOC o 1-5 h z 12L 2L 3L 43 L 3L 2L 4+2M 2R (R + R )2(R + R )2，3L 3L 2L3求得传输效率公式为(20)门 =iCMT A4n-1个负载电路的传输效率分析图4 n-1个负载线圈的CPT拓扑结构用集总参数分析图4拓扑结构，图4有n-1个负载线圈，有n个方程，分别为I - jM I -.- jMI122n n(R + RL + jI - jMIii 1(i = 2,., n)(21)(22)解上述n个方程，并将I, 12,., I代入门CT式中:I 2 R +1 2R + .+I 2Rn 2叫2&日n(R + Rl)2 L3Ln Ln = i=2!j一2, j二iUI1A 2A =nn (R + R )Onn (R + R +s 2 nM 2 n n2j=2Lj=2Li=2 j=2, j*（23）(R + RLj)用CMT方法分析图4的拓扑结构图，同样忽略励磁效应，由前面的方法可得q(t)=-(加 1 +气(t) + jK 12a2(t) +. jK 1 a (t) + F,(t)(24)a (t) = -( js +r +rL)a (t) + jK a (t)(i = 2,., n)2i i L i1i 1（25）将以上各变量代换，得到 n