2022年【优化方案】2016年高考数学二轮复习第一部分专题五第3讲圆锥曲线中的热点问题专题强化精练提能理综述

1、第一部分专题五解析几何第 3 讲圆锥曲线中的热点问题专题强化精练提能理2 2 y 的两个焦点,过F i 作垂直于x 轴的直线与双曲线相1. 已知 F1, F2是双曲线 X2 4 = 1 交, 其中一个交点为P,就|PFa| =（B. 4 D. 1 A. 6 解析：选 A.由题意知 | P 冋一 | PF | = 2a, 由双曲线方程可以求出 4 + 2 = 6.应选 A.| PFF = | PF | = 4, a= 1,所以2 X 2 上的一点, Fi, F2 是 C2. （2022 .高考全国卷 I ）已知 Mxo, yo）是双曲线C: 2 y = 1的两个焦点 .如MF . MF v 0,

2、 就 y 的取值范畴是（ ）A. 3,3 B. .36 36,C. 2,2 3 D. 2 3 ,2 .3 勺3 A 卷 解析：选A.由题意知a= 2 , b= 1 , c = -. 3 , 所以 R（ 一3 , 0） , H（3 , 0）, 所以 MF=（ ：二 3 X；, y；） , MF = （ .3 x；, y；）. 由于 MF- MF v 0, 所以（3 X0）（ 3 X；）+ y0 0 , 即 X；一 3+ y； 0.X；由于点 Mx ；, y；）在双曲线上,所以2 2 2 2 y0= 1, 即 X 0= 2 + 2y；, 所以 2+ 2y0 3+ y0 0, 所以一彳 0 , b0

3、）的两个焦点分别为Fi、F2, 以线段 FiH 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为2 2 y x A- 9 16 2 2 y x C. = 16 9= 114 , 3,就此双曲线的方程为2 2 y x BZ = 1 4 3 2 2 y x D.L = 1 3 4 c= . 32+ 42= 5, 解析：选 A.由题意可知 所以 a2+ b2= c2= 25.又点（ 4 , 3）在 y= bx 上, a 3 故 b= 4.由解得 a= 3 , b= 4 , 2 2 所以双曲线的方程为蒼 16= 1,应选 A.2 1（a0, b0）的左焦点,点E2 x y b2=4. （2022 .河南省洛阳市统

4、考）已知点 F 是双曲线孑一是该双曲线的右顶点,过三角 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于eA, B 两点,如 ABE 是锐角1形,就该双曲线的离心率的取值范畴是 （）A. （1 ,+ ）B. （1 , 2）C. 2 , 1+ 2 D. 1 , 1+ 2b2 解析：选 B.如厶 ABE 是锐角三角形,只需 / AEF 45 , 在 Rt AFE 中, | AF = , I FE ab22 2 2 2 2 =a+ c, 贝 U a+ c. b 0. e e- 20. 1e1, 所以 1e0, b0的左、y 曲线左支上存在点P 与点 F2关于直线y = bx 对称,就该双曲线的离心率为 B.D

5、. 5 C. 2 解析：选 D.如下列图,点 P 与点 F2关于直线 y= 对称,所以 |op =|OF| =|OF | = c, a所以 PF 丄 PR, tan / PFF2=, 又| FiR| = 2c, 所以 | PR| = 2b, |PF | = 2a, 又由于点 b P 在双 a线 y2= 4 5x 的焦点,就该双曲线的标准方程为3C. 2 , 1+ 2 D. 1 , 1+ 2解析：由题意可知双曲线的半焦距 c= 5, 2 2 x y 设双曲线 尹 b2 = 1a,b0的一条渐近线方程为i 线的距离为半径 一5, 又 a2+ b2= 52, 就 a2= 4, b2= 1, 所以双曲

6、线的标准方程为2 x 一 y2= 1.4 2 kx y= 0, 依据圆心 1 , 0到该直答案： X y2= ii &已知动点 Px, y在椭圆 42 2 x +鲁=1 上, 如 A 点坐标为 3 , 0 , |AM = 1, 且 PM-AM= 25 16 o, 就| PM 的最小值是 _ . 解析：由于 PM- AM= 0, 所以 XM L PM 所以 |PM2= |AP2 |AM2= I AP21. 由于椭圆右顶点到右焦点 A 的距离最小,所以 | A” min = 2, 所以 | PMmin=寸一 3. 答案： 39. _ 在直线 y= 2 上任取一点 Q 过 Q 作抛物线 x2= 4y

7、 的切线,切点分别为 A、B,就 直线 AB 恒过定点为 . 1 2 1 解析： 设 Qt, 2 , AX1, y , Bx2, y2 ,抛物线方程变为 y= 4X , 就 y = 尹,就1 1 在点 A 处的切线方程为 y y1 =尹 x xj,化简得, y = .X 1X y1, 同理,在点 B 处的切线1 一 1 方程为 y =尹次 y2.又点 Qt , 2的坐标满意这两个方程,代入得：一 2 = yd y1, 21 1 =qX 2t y2, 就说明 AX1, y , BX2, 帕 都满意方程一 2= 2xty, 即直线 AB 的方程为： y1 2 = tx,因此直线 AB 恒过定点 0

8、, 2. 答案： 0 , 2 2 2 2 2 寸,离心率为2 2 10. 如双曲线X2右 =1 a0, b0的一条渐近线的倾斜角为 a b e, 就旦护的最小值为 _ .2 , 小解析：由题意, a=；3,所以 b=#3a, 所以 c=2a, e= 2, a + e a + 4 a 2 2b 2 3a 2 飞3a 穿 当且仅当 a= 2 时取等号 ,就旦薛的最小值为辛. 答案：穿4. . 2 2 11. 2022 .山西省四校第三次联考 已知点 A1 , 0,点 P 是圆 C X + 1 + y = 8 上 的任意一 点,线段 PA 的垂直平分线与直线 CP 交于点 E.1 求点 E 的轨迹方

9、程；2 如直线 y = kx + m 与点 E 的轨迹有两个不同的交点 径的圆的内部,求实数 m 的取值范畴 . F 和 G 且原点 O 总在以 FG 为直解：由题意知|EP =|EA , |CE + |EP = 2 羽,所以|CE + |EA = 2 贾2= | CA , x 2 -+ y2= 1.y = kx + m 2x + 2y = 2, 所以 E 的轨迹是以 C, A 为焦点的椭圆,其轨迹方程为2设 FX1, y1, GX2, y2,就将直线与椭圆方程联立得消去 y, 得2 k2+ 1x2+ 4kmx + 2ni- 2 = 0, 2 2由 0, 得 m2k +1* , 4km 2 2

10、m- 2X1+ X2=_-, X1X2= 2_-, 2k + 1 2k + 1 由于 O 总在以 FG 为直径的圆的内部,所以OF- OG0 , 即 X1X2 + y1y20 , m 2k 而 = kx1+m kx2 + m = 2k2+1, 亠 2m- 2 m- 2k2.2 得 m 2k + 2 , 所以 m3 , 且满意 *式, 2 2 3 由X1X2+y1y2=打+汞 R 0于 A, B 两点,直线 l 2： x =- 2 交 x 轴于点 Q1 设直线 QA QB 的斜率分别为 k1 , k2 , 求刚 + k2的值；52 点 P 为抛物线 C 上异于 A, B 的任意一点,直线PA,

11、PB 交直线 丨2于 M N 两点, OMON=2,求抛物线 C 的方程 . 解： 设直线 l i的方程为 x = my+ 2, 点 Axi, yi , Bx2, y2 . 7x= my + 2 得 y 2pmy- 4p= 0, yi + y2= 2pm , 2 yi . y2= 4p.y2= 2px ,ki + k2 yi y2 yi y2 2myy2 + 4 yi+ y2 Xi+ 2 X2+ 2 my + 4 my + 4 my + 4 my 2 + 4 8m 叶 8mp =0. my + 4 my + 4 2设点 Pxo, yo,直线 PA yi 一 yo yyi=x； xxi,当 x=

12、- 2 时, , yM= 4p+ yiyo yi + yo同理 yN= 土空 . ,y2+ yo 由于 6M ON= 2, 所以 4+ yNyM= 2, 4p + y2yo 4p+ yiyoy2 + yo yi + yo =2, 2 2 i6p 4pyo y2+ yi+ yoyiy2 2 = Fi , 0, A B 分y2yi + yo y2+ yi+ yo i6p2 8p2my 4py2 ,2 4p+ 2pmy + y2=i i4. 20i5 .江西省九江市第一次统考y = x. 已知椭圆 C 的中心为坐标原点,右焦点为别是椭圆 C 的左、右顶点, D 是椭圆 C 上异于 A B 的动点,且

13、 ADE 面积的最大值为2.1 求椭圆 C 的方程；2 是否存在肯定点 Exo, 00 xob0 , 由已知可得 SMDI max= 1. 2a . b= ab = 2, 由于 F1 , 0为椭圆右焦点,所以 2 x 2 所以椭圆 C 的方程为 -+ y2= 1.a2= b2+ 1, 由可得 a=曲 2, b= 1, 过点 E 取两条分别垂直于 nt 1 1 1 1 x 轴和 y 轴的弦 MN、M2, + 一,就 + = | EM |2| EN|2 | EM|2 | EN|22 1 1 即 2= - 2 + - - 2, 里 Xo + 2 xo 2 | 2 解得 Xonf,所以如 E 存在,必

14、为 if, 0,定值为 3, 下证 , 0 满意题意 . 8设过点 E 电6, 0 的直线方程为 4 =0 3 0,设 Mx , y 、NX2, y ,就yi* y2= 予= X= ty +W6,代入椭圆 C 的方程中得 t2+ 2y2+ i i i i 2= 2 . 2 - 2 =i +1 yi + y2 2 2yiy2 - * |EM2 |EN 2= i+12 y2+ i+12 22 yiy2 _2+ 28* 3 t + 2 = 3.4 y2 i +1 yi y2 3 i +12-F 2, 0,定值为 综上得定点为 3. B 卷 1. 2022 .烟台模拟 已知椭圆 C: X 的焦点恰好是

15、椭圆 C 的一个焦点 . 孑+ p= i ab0 的离心率为 -2 ,且抛物线 y2= 4 32过点 Q0 , 3作直线 求四边形l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,点 并N 满意 ON= OA OB o 为原点 ,OAN 面积的最大值,求此时直线l 的方程 . 解： i设椭圆的焦距为2c, 由于离心率为 -2,所以3 2 2 4,所以3a = 4c , 又点 .3, 0是抛物线的焦点,所以 2 X 2 所以椭圆 C 的方程为 -+ y = i.c2= 3. 由于 6N= OA * 6B 所以四边形OAN 为平行四边形,当直线 i 的斜率不存在时,明显不符合题意；当直线 I 的斜率存在时,设

16、直线l 的方程为 y= kx + 3, I 与椭圆交于 Axi, yi , BX2, y2两点,y = kx + 3, 2 2 2 由 x 2. i + 4kx * 24kx + 32= 0. 4 * y=i由 = 24 k2 i28i + 4k20 . k22. 24 k 32 S . OANB= 2S OAB= 3| Xi 一 X2| =9Xi* X2=2, XiX2= 2.i + 4k i * 4k 3 S OABi OD Xi X2| = 2 | Xi X2| , 所以3 V Xi + X2 4xiX232 3 I 2 2 24 k128 i + 4k2 2 2 i + 4 k2i +

17、 4k i求椭圆 C 的方程；一. / k2 2324k 2一 4 乂i + 4 k224 2 2,y k2= t + 2由上式知t0,丫 i + 4k 令 k2 2= t,贝10当且仅当 t =专,即 k2= 时取等 17 弓时,平行四边形口 号 OANB 勺面积的最大值为2. 此时直线11 的方程为 y = 27x + 3.F1 , 0,且离心率为壬2 .已知椭圆 C：y b2= 1ab0 的一个焦点是1 求椭圆 C 的方程；所以 S.O 2 设经过点 F 的直线交椭圆C 于 M N 两点,线段MN 的垂直平分线交y 轴于点 R0 , yo,求 yo 的取值范畴 . 解： 1设椭圆 C 的

18、半焦距是 c. 依题意,得 c= 1. 24 2, 1 由于椭圆 C 的离心率为 , 所以 a= 2c = 2, b2= a2 c2= 3.2 2 故椭圆 C 的方程为 +y=1. 4 3 当 MNL x 轴时,明显 y0= 0.当 Mh 与 x 轴不垂直时,可设直线 MN 的方程为 y= kx 1 k 丰 0. y=k x 1, 22k 1 2 由 x2 y2消去 y 并整理得 , 4 + 3 =1 2 2 2 2 设 Mx 1, yd , NX 2, y2 ,线段 MN 的中点为 8 k2 X1+ X2 = 3 + 4k2. QX3, ys. 所以X3 =X1+ X2 4k23 + 3 +

19、 4k x 8k x + 4k 3 = 0. 4k2,y3= kX3 1 = R. 3k 线段 MN 的垂直平分线的方程为 2 3k 1 4k y+ 3*.= k X 3P . 在上述方程中,令x = 0, 得 y0= 3 + 4k 3 + 4k 当 k0 时,j+ 4k4 k3. 11所以一 yoo 或 0y0b0 的离心率是 -2 ,点 F0 , 1在短轴 CD , 且 PC- PD= - 1. 1 求椭圆 E 的方程；2 设 O 为坐标原点,过点P 的动直线与椭圆交于A,B 两点 . 是否存在常数入,使得 OA-OB +入PA- 砌定值？如存在,求入的值；如不存在,请说明理由. D 的坐

20、标分别为 0,- b , 0 , b. 解：由已知,点 C,又点 P 的坐标为 0 , 11- b2=- 1, , 且 PC- PD=- 1, c=, a= 2,2 . 2 2 解得a= 2, b=-j2.a - b = c . 2 . 一 .、一 .x2 所以椭圆 E 的方程为 4 + 1 = 1.y2 . 2当直线 AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为 y= kx + 1, A, B 的坐标分别为 X1, yj , X2, 0 , 所以 X1 + X2=- 4k X1X2=- 2- , 2k + 1 .2k +1从而, OA- OB 入 PA- PB =X 1X2 + y1y2 + 入

21、X 1X2+ y1 1 y2 1 2 =1 + 入1 + k x1x2+ kx1+ X 2 +1 2 - 2 入一 4 k+ 2 入一 1 2k2+ 1 入一 1 C 2 入 2 2k2+1 人 入一 1 所以,当入 =1 时,一 2kT1-入-2=- 3.此时, OA- OB 入 PA- PB= - 3 为定值 .当直线 AB 斜率不存在时,直线AB 即为直线CD此时, OA- 為入 PA- PB= C- &配. PD 12=- 2- 1 = - 3.故存在常数入 =1, 使得 OA 3 內入 PA- PB 为定值 3.4. 2022 .泉州市监测考试 已知椭圆 C 的两个焦点是 0,3和0, .3 ,并且经过点 -2. , 1 , 抛物线 E 的顶点在坐标原点,焦点恰好是椭圆C 的右顶点 F.1 求椭圆 C 和抛物线 E 的标准方程；2 过点 F 作两条斜率都存在且