控制工程-08-根轨迹法

1、第八章 根轨迹法 8.4 根轨迹法设计与校正控制系统 8.1 根轨迹法基本概念 8.2 绘制根轨迹图的基本规则 8.3 控制系统的根轨迹分析 8.1根轨迹法基本概念 根轨迹法基本概念 例1 闭环零、极点与开环零、极点之间的关系幅角条件和幅值条件例2 根轨迹法基本概念 !系统特征根的图解方法根轨迹：当系统某一参数在规定范围内变化时，相应的系统闭环特征方程根在s平面上的位置也随之变化移动，一个根形成一条轨迹。广义根轨迹:系统的任意一变化参数形成根轨迹。狭义根轨迹（通常情况）： 变化参数为开环增益K，且其变化取值范围为0到。?希望按性能要求置于合适的位置。闭环极点（即闭环特征方程根）闭环控制系统稳定

2、性、瞬态响应特性?系统的某些参数（如开环增益）变化时，反复求解， 不方便。K0时两个负实根K值增加相对靠近移动离开负实轴，分别s=-1/2 直线向上和向下移动。一对共轭复根? 根轨迹图系统的相关动静态性能信息过阻尼系统，阶跃响应为非周期过程；临界阻尼系统，阶跃响应为非周期过程；欠阻尼系统，阶跃响应为阻尼振荡过程。1）当K值确定之后，根据闭环极点的位 置，该系统的阶跃响应指标便可求出。2）闭环极点不可能出现在S平面右半 部，系统始终稳定。!系统开环增益确定闭环极点在S平面上的位置也确定。 闭环零、极点与开环零、极点间的关系前向通道根轨迹增益反馈通道根轨迹增益前向通道增益开环系统根轨迹增益前向通道

3、零点反馈通道零点前向通道极点反馈通道极点m个零点(m=f + l )n个极点(n= q + h)m个零点(m=f + l )n个极点(n= q + h)3）闭环系统根轨迹增益=开环系统前向通道的根轨迹增益。1）闭环系统的零点=前向通道的零点+反馈通道的极点；2）闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及根轨迹 增益均有关； ！根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环特征方程找出闭环极点。单位反馈系统（1）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益；（2）闭环系统的零点就是开环系统的零点。幅角条件和幅值条件根轨迹方程m个零点n个极点（nm）幅值条件1）幅值条件不但与开环零、极点有关，还与

4、开环根轨迹增益有关；2）必要条件： 幅角条件（k=0,1,2, ） 1）幅角条件只与开环零、极点有关2）充要条件： ！用幅角条件来绘制根轨迹，用幅值条件来确定已知根轨迹上某一点K的值。单位反馈系统的开环传递函数 一个开环极点 P1=0 负实轴上点 s1s2=-1-j负实轴上都是根轨迹上的点！ 负实轴外的点都不是根轨迹上的点！ ！试探法 幅值条件K2幅值条件成立！不是根轨迹上的一点根轨迹上的一点 必要条件： S平面上的某一点s是根轨迹上的点，则幅值条 件成立； S平面上的任一点s满足幅值条件，该点却不一 定是根轨迹上的点。开环极点（“”）p1=0开环零点（“”）!幅角均以反时针方向进行。如果幅角

5、条件成立，则s1即根轨迹上的一个点。 1开环零至s1的幅角1、2、3、4：开环极点至s1的幅角。由幅值条件8.2绘制根轨迹图的基本规则根轨迹的起点和终点根轨迹分支数根轨迹的连续性和对称性实轴上的根轨迹根轨迹的渐近线根轨迹的分离点 根轨迹的起始角和终止角根轨迹与虚轴的交点闭环特征方程根之和与根之积2）“”、 “”3）加粗线及箭头1）实轴、虚轴相同的刻度4）关键点的标注！绘制注意点课堂练习正反馈系统的根轨迹rlocus(num,den);k,p=rlocfind(num,den);迟滞系统的根轨迹根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点幅值条件s值必须趋近于某个开环极点根轨迹起始于开

6、环极点s值必须趋近于某个开环零点根轨迹终止于开环零点根轨迹分支数n阶系统，根轨迹有n个起始点，系统根轨迹有n个分支2）实际物理系统，开环极点一般多于开环零点， 即 n m。m条终止于开环零点（有限值零点)；（nm）条根轨迹分支终止于（nm）个无限 远零点。1）系统特征方程的阶次为n次特征方程有n个根 K变化(0到 ),n个根随着变化n条根轨迹。根轨迹的连续性和对称性 根轨迹是连续曲线，且对称于实轴。闭环特征方程的根在开环零极点已定的情况下， 各根分别是K的连续函数； 特征方程的根为实根或共轭复数根。！仅需先购画出S平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部由镜象求得。如果实轴上某一区段的右边的实数开环

7、零点、极点个数之和为奇数，则该区段实轴必是根轨迹。实轴上的根轨迹开环零点：z1开环极点：p1、p2、p3、p4、p5在实轴区段p2，p3上取试验点s1每对共轭复数极点所提供的幅角之和为360；s1左边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为0。s1右边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为180； ？已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。-1，-2 右侧实零、极点数=3。-4，-6 右侧实零、极点数=7。根轨迹的渐近线当系统nm时，有（nm）条根轨迹分支终止于无限远零点。沿着渐近线趋于无限远处，渐近线也对称于实轴（包括与实轴重合）。渐近线与实轴的倾角（k=0，1，2，）

8、：渐近线与实轴交点的坐标值：证明1）当k值取不同值时，a 有（nm）个值，而a不变；2）根轨迹在s时的渐近线为（nm）条与实轴交点为a 、倾角a为的一组射线。例1例2已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。渐近线与实轴正方向的夹角：三个开环极点：0、-1、-5一个开环零点：-4n-m=3-1=2渐近线与实轴交点：已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。四个开环极点：0、-1+j、-1-j、-4一个开环零点：-1n-m=4-1=3渐近线与实轴交点：渐近线与实轴正方向的夹角：证明长除法K时，s，取前两项改写为模和相角的形式两边开（nm）次方牛顿二项式定理展开，由于s，忽略分母为s的二次

9、幂和二次幂以上各项根轨迹的分离点分离点（或会合点）：根轨迹在S平面某一点相遇后又立即分开。分离点必然是为D(s)某一数值时的重根点。1、b坐标值由分式方程解出解析法试凑法证明例2、由 极值点求解b 坐标值由 解出b 证明例必要条件：!当解得多个s值时，其中k值为正实数时才有效。3、重根法求解b证明由 解出b 分离点（或会合点）处的根轨迹的会合角（或分离角）会合（或分离）的根轨迹的条数分离点上的根轨迹的切线方向与实轴正方向的夹角例r重根 r1含两边求导b必要条件：!当解得多个s值时，其中k值为正实数时才有效。-1，-2区间无根轨迹舍去由 极值点求解b坐标值由分式方程解出根轨迹在S平面上相遇并有重

10、根，设重根为s1，根据代数中的重根条件，有 或两式相除或即得解出s1，即为分离点b已知某一系统的开环零极点分布，试概略画出其根轨迹。规则1、2、3根轨迹有三条分支，分别起始于开环极点0、2、3，终止于一个开环有限零点1和二个无限零点。根轨迹对称于实轴。规则4实轴上0到1和2到3两个区域段为根轨迹规则5根轨迹有两条渐近线（nm2), 令k=0 规则6在实轴上有根轨迹分离点，且在区段2到3之间 由 极值点求解b 假定s点沿实轴自p2点移向p1点,k增益：从零开始逐渐增大， 到达b点时为最大， 逐渐减小， 到p1点时k为零。根轨迹分离点处所对应的k增益具有极值 ？！取在根轨迹上的解。规则1、2、3、

11、4 根轨迹对称于实轴， 有四条根轨迹分支，分别起始于极点0，4和2j4，终止于无限远零点。 实轴上04区段为根轨迹。 辐角条件 p3、p4的连接线为根轨迹根据规则5 根轨迹有四条渐近线根据规则6求根轨迹的分离点p3、p4的连接线上根轨迹的起始角和终止角起始角p :从开环复数极点出发的一支根轨迹，在该极点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角。根轨迹起始角的一般计算式(0360 )k0，1， 证明 终止角z:进入开环复数零点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角。根轨迹终止角一般计算式(0360 ) 例根轨迹上，靠近起点p1处取一点s1相角方程s1p1起始角p四条分支起始点p10、p2、30.5+j1.5 、

12、p42.5终止点z11.5、z2，3 2j、实轴上01.5和2.5两区段是根轨迹取k0p3和p2为共轭复数，根轨迹起始角对称。或取k1z2和z3为共轭复数，根轨迹终止角对称。根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴相交闭环特征方程有纯虚根、系统处于稳定边界。1）应用劳斯判据求出系统处于稳定边界的临界值K， 由K值求出相应的值例2）代数法代入特征方程联立求解，根轨迹与虚轴的交点值和相应的临界K值。例系统的开环传递函数 求根轨迹与虚轴的交点 。闭环特征方程系统稳定的临界K值：K=6阵列中s2行元素构成辅助方程根轨迹与虚轴的交点 系统的开环传递函数 求根轨迹与虚轴的交点。代入系统闭环特征方程闭环特征方程根之和

13、与根之积系统闭环特征多项式zi 开环零点si闭环极点pi开环极点闭环特征方程的根（即闭环极点）与特征方程的系数关系：1）(n-m)2时，根之和与根轨迹增益K无关，是个常数， 且有2）根之和不变K增大，一些根轨迹分支向左移动，则 一定会相应有另外一些根轨迹分支向右移动。例根轨迹增益K=3K。根轨迹对称于实轴，有四条根轨迹分支分别起始于开环极点0，3，1j，终止于零点2和另外三个无限远零点。实轴上区段02和3为根轨迹。根轨迹有三条渐近线（nm3），与实轴的倾角为取k0、160、60、180渐近线与实轴交点坐标为系统特征方程根轨迹与虚轴的交点两条根轨迹分支起始于共轭 复数极点1j各闭环极点之和为5

14、当实轴上根轨迹分支向左趋 向于无限零点时，两个从复数极 点出发的根轨迹分支趋向于右边 无限零点。K2.34时根轨迹与虚轴两个交点闭环极点之和为5闭环交点之积为2K=-14.04分别绘B=4、9、12、时闭环系统的根轨迹的大致形状。分别绘如下闭环系统的根轨迹的大致形状。已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制根轨迹的大 致形状。P263 P279 8.1 B=n-m=1实轴-1,-)为根轨迹分离点（或会合点）：K:0故根轨迹与虚轴不相交与虚轴交点：渐近线出射角B=n-m=1实轴-1,-)为根轨迹K:0故根轨迹与虚轴不相交与虚轴交点：渐近线出射角分离点（或会合点）：B=4n-m=2实轴-1,-4为根

15、轨迹K:0故根轨迹与虚轴不相交分离点（或会合点）：与虚轴交点：渐近线出射角！舍去B=4n-m=2实轴-1,-4为根轨迹K:0 故根轨迹与虚轴不相交分离点（或会合点）：与虚轴交点：渐近线出射角！舍去B=9n-m=2实轴-1,-9为根轨迹K:0故根轨迹与虚轴不相交分离点（或会合点）：与虚轴交点：渐近线出射角！三条轨迹重合B=9n-m=2实轴-1,-9为根轨迹K:0故根轨迹与虚轴不相交分离点（或会合点）：与虚轴交点：渐近线出射角！三条轨迹重合B=12n-m=2实轴-1,-12为根轨迹K:0故根轨迹与虚轴不相交分离点（或会合点）：与虚轴交点：渐近线出射角B=12n-m=2实轴-1,-12为根轨迹K:0

16、故根轨迹与虚轴不相交分离点（或会合点）：与虚轴交点：渐近线出射角n-m=3负实轴为根轨迹渐近线与虚轴交于4.61出射角与虚轴交点：临界K=136将K=136、s=j代入D(s)=0=4.123分离点（或会合点）：n-m=3负实轴为根轨迹分离点（或会合点）：与虚轴交点：渐近线出射角与虚轴交于4.61临界K=256将K=256、s=j代入D(s)=0=5.66s=-2.67j1.89！舍去n-m=3负实轴为根轨迹分离点（或会合点）：与虚轴交点：渐近线出射角与虚轴交于3.46临界K=72将K=72、s=j代入D(s)=0=3.46！三条轨迹重合已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制根轨迹的大致形状。

17、开环极点：P1=0，P2=-3、P3=-1+j、P4=-1-j无开环零点n-m=4实轴上0，-3为根轨迹渐近线与实轴交点：渐近线与实轴正方向的夹角：根轨迹实轴的分离点（舍去）根轨迹在开环极点p3处的起始角根轨迹与虚轴的交点（劳斯法）解得临界稳定的条件：K=8.16代入s2行无素构成的辅助方程m个零点n个极点（nm）幅值条件“+”“-”“1”幅角条件（k =0, 1, 2, ） “2k”正反馈系统的根轨迹根轨迹的分支数 (相同)根轨迹的起点和终点 (相同)根轨迹的对称性 (相同)实铀上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧(实轴上)开 环实零、极点数目之和相应为偶数(0也视为偶数)。根轨迹的渐近线：根

18、轨迹渐近线与实袖的交点 (相同)根轨迹渐近线与实轴正方向的夹角为根轨迹的会合点和分离点 (相同)根轨迹的出射角和入射角离开开环极点出射角进入开环零点的入射角根轨迹与虚轴的交点 (相同)闭环极点的和与积 (相同)正反馈系统的根轨迹的基本规则例 2条根轨迹：一条终止于开环零点，另一条则沿正实轴趋于无穷远处。已知正反馈系统的开环传递函数，试绘制系统的根轨迹。开环极点p1,2=-1j,开环零点z=-2 实轴上一2，+ 为根轨迹，n-m=1渐近线出射角与虚轴交点：S=j、K=1代入D(s)=0 =0！舍去分离点（或会合点）：m个零点n个极点（nm）幅值条件幅角条件（k =0, 1, 2, ） 很小迟滞系

19、统的根轨迹8.3 控制系统的根轨迹分析 根轨迹图上希望闭环极点的位置参数变化对闭环极点的影响(广义根轨迹、根轨迹簇)比例微分控制作用与微分反馈对系统性能的影响开环零点和极点对根轨迹的影响增加开环极点的影响增加一个惯性环节增加开环零点的影响加入一阶微分环节（szc）加入环节增加一对开环零极点的影响开环偶极子|zc|pc|根轨迹图上希望闭环极点的位置二阶系统的等Mp线（即等线）二阶系统的等ts线开环传递函数上增加极点降低了系统的相对稳定性渐近线与实轴倾角随着n数增大而减小根轨迹向右方向弯曲渐近线与实轴交点随着pc增大（pc点在实轴上向右移）而右移，故更靠近原点 。向右弯曲趋势随着所增加的极点移近原

20、点而加剧增加开环极点的影响右移极点增加一个极点的情况开环传递函数上增加零点提高了系统的相对稳定性渐近线与实轴倾角随着m数增大而增加根轨迹向左方向弯曲渐近线与实轴交点随着Zc增大（Zc点在实轴上向右移）而左移增加一个零点的情况右移零点增加的零点相对靠近虚轴而起主导作用零极点对应的矢量幅角 附加提供一个超前角 “超前校正”相当于附加零点的作用(使根轨迹向左弯曲，改善了系统动态性能。)|zc|pc|开环偶极子开环偶极子距离原点较远极点pc 和零点zc 到较远的s点的矢量基本相等；幅值条件和幅角条件中的作用相互抵消； 对离其较远的近虚轴区域的根轨迹形状和开环增益几乎没有影响，基本上不影响系统静动态性能

21、。开环偶极子位于原点附近零点zc和极点pc到主导极点的矢量也基本相等； 幅角条件和幅值条件中作用也基本抵消。 不影响主导极点附近的根轨迹及根轨迹增益K零极点自身比值zc /pc- 较大影响系统的开环增益、改变稳态误差。提高系统开环增益10倍参数变化对闭环极点的影响 控制系统开环传递函数 ，试绘制以为参变量的根轨迹以及同时变化K时的根轨迹。 以为参变量的根轨迹方程0不同K值，可得到系统不同根轨迹图，即根轨迹簇根轨迹与虚轴交点以为参变量的根轨迹方程（b）为加入比例微分（PD）校正后的系统 比例微分控制作用与微分反馈对系统性能的影响 （a）为无校正的位置伺服系统（c）为加入速度内反馈校正后的系统（a

22、）为无校正的位置伺服系统（c）为加入速度内反馈校正后的系统相同的开环传递函数,相同的零极点分布，根轨迹形状相同。闭环零点使极点上的留数不同，不同瞬态响应具有相同的类型，但具体曲线形状不同。（b）为加入比例微分（PD）校正后的系统 8.4 用根轨迹法设计与校正控制系统超前校正 当未校正系统的主导共轭极点离虚轴很近时，系统的阻尼比较小，稳定程度差。滞后校正 系统的动态性能指标满足要求、而稳态性能达不到预定指标时。 控制系统的稳态性能和动态性能都达不到指标要求时。 滞后超前校正 ! 试探方法 (通过重新配置零、极点，使闭环系 统根轨迹满足性能指标的要求。)超前校正设单位反馈系统的开环传递函数为 试设

23、计串联校正装置，满足下列性能指标：最大超调量Mp=16%，调整时间ts=2s (1）根据性能指标，确定闭环主导极点sdMp=16%（2）绘制未校正系统根轨迹图依靠调整增益是不能使根轨迹通过sd，拟采用超前校正装置。?如果不能，则应该采用何种校正装置。?仅调整增益，能否使根轨迹通过希望主导极点sd。(3) 计算超前校正装置应提供的超前角。 根据幅角条件校正根轨迹通过希望主导极点(4) 超前校正装置的零点zc和极点pc的位置，得到超 前校正装置传递函数。求zc和pc可采用试探法和图解法主导极点位置sd和超前角（5）附加增益Kc 补偿因接入超前校正装置而引起的开环增益下 降，使希望主导极点sd满足幅

24、值条件。根轨迹图上量得各矢量幅值希望主导极点sd的幅值条件求附加增益Kc：很接近（6）校验。？希望主导极点sd处的增益是否满足稳态精度指标；？希望主导极点是否符合系统闭环主导极点条件。？如果已校正系统不能满足性能指标，调整校正装置的零极点位置，重复上述步骤，直到满足指标为止。系统稳态速度误差系数已校正系统根轨迹作图规则9已知闭环极点开环前向通道的零点就是闭环零点故极点p3对系统瞬态响应影响相当小！极点sd的主导性增加的开环零点图解法1）过已知的希望极点sd作水平线sdA；2）作0sdA的角平分线；3）在直线sdB两侧各作夹角为/2的两条直线sd pc和sd zc 交负实轴于zc和pc点分别为校

25、正装置的零点和极点。 滞后校正 校正作用基本上是提高开环增益，而不使动态性能有明 显的变化；对闭环主导极点附近的根轨迹不产生明显影响，但开环 增益要有明显增加；滞后校正装置的零极点是一对靠近原点的开环偶极子， 且极点相对离原点更近。系统的动态性能指标满足要求而稳态性能达不到预定指标时(1)绘制未校正系统的根轨迹。 已知一控制系统如图,该系统动态性能满足要求，需要将稳态速度误差系数增大至5s-1，试设计滞后校正装置。 （2）根据瞬态响应指标，找出根轨迹上的希望闭环主导极点sd。图解法未校正系统主导极点K=1.06时(3)(由幅值条件)确定希望闭环主导极点所对应的开环增益或稳态误差系数，决定采用校

26、正装置的形式。(4)求出所需要增加的误差系数(需要增加的开环增益)。未校正系统给定的稳态误差系数滞后校正装置的参数！滞后校正(5)确定滞后校正装置的零点和极点. 要求：既能提高开环增益，又不使原来的根轨迹发生明 显的变化。！作图法滞后校正装置的传递函数增加附加增益Kc已校正系统开环传递函数(6)校验系统动静态指标绘制已校正系统的根轨迹；确定根轨迹上新的主导极点计算动静态性能指标。?不太满意，稍加调整零极点作=0.5线与根轨迹的交点为闭环主导极点已校正系统:(7)根据已校正系统的主导极点位置，按幅值条件调 整附加增益。 附加增益Kc对于主导极点，由幅值条件已校正系统的开环传递函数已校正系统的稳态速度误差系数系统稳态速度误差系数基