2022年《高中竞赛教程》教案第讲子集

1、第 5 讲 子集本讲内容有子集、子集的个数、集合的划分及子集的应用；设 a 表示任意元素,A,B表示两个集合；如aAaB,就AB,即集合 A是集合 B 的子集；规定空集是任何集合的子集；子集是由原集合中的部分元素构成；对于由 n个元素组成的集合, 它的每一个子集中元素的构 成,都是对这 n个元素进行挑选的结果；由于对每一个元素的挑选都有两种可能（选上或不选）,因此,对这 n个元素共有 2 n 种不同挑选结果,即由 n个元素组成的集合共有 2 n 个不同子集；其中,不同的非空子集有 2n 1 个,不同的真子集有 2 n个；A 类例题c,d例 1 求集合MxR|x2axa30 的子集的个数；分析欲

2、求集合 M 的子集的个数,可先求出集合M 的元素的个数；解由x2axa30,得a24a12x2 x6 ；当a2或a6时,0原方程的解 集为空集；当a2或a6时,0原方程的 解集为单元素集；当2a6时,0原方程有 两个不等的实数解；所以,当a2或a6时,集合 M,有 1 个子集；当a2或a6时,集合Mx 0,有 2 个子集；当2a6时,集合Mx 1x 2,有 4 个子集例 2 求满意a,b Pa,b,c,d,e 的集合 P 的个数；分析此题要求的是集合a,b,c,d,e 中,必定含有元素a,b的子集的个数,只要求出集合,e 的子集数；解由集合c,d,e 的子集数为238,得所求集合 P 的个数为

3、 8；例 3 已知集合A23, ,4 ,5 ,67,对XA,定义S X为 X 中全部元素之和；求全体S X的总和 S ；A 中含有分析要求出全体S X的总和 S ,只要求出每个元素显现的次数；解由集合元素的互异性,得集合A 中某个元素在总合S 中显现的次数,就是集合该元素的子集数；所以,全体S X的总和S2345672 58640；情形再现1设集合Ax,y|y,x24x21,Bx,y|y2x1；求集合AB的子集的个数；a 1,4,a2,就 a 的值是 _ ；（1998 年第九届 “ 希2如数集a,1 1,2望杯” 高一）3设非空集合A,123, ,4 ,5 ,6,7 ,且当aA时,必有8aA,

4、问：这样的 A 共有多少个？B 类例题例 4在某次竞选中, 各个政党共作出p 种不同的诺言 p0,任何两个政党都至少有一种公共诺言,但没有两党作出完全相同的诺言；试证明,政党的数目不多于2p1个；（1972年加拿大数学竞赛）分析这是一道有实际背景的问题；第一应挑选适当的数学模型刻画这一问题；由题意, 将“ 诺言” 作为元素,运用集合进行分析和讨论；证明将 p 种不同的诺言构成集合A ,就每一个政党所作的诺言构成的集合是集合A 的子集；因而政党数应不大于集合A 的子集数；又任何两个政党都至少有一种公共诺言,所以任何两个政党所对应的子集不行能是一对互补的子集；故政党数 2 p 2 p 1；2 例

5、5 证明：任意一个有限集的全部子集可以这样排列次序,使得任何两个相邻的子集仅相差 一个元素；（1972 年波兰数学奥林匹克）分析 此题可采纳构造方法进行证明,即对任意一个有限集的全部子集给出一个排列方法,满足题设的要求；为此,可从特别情形入手进行探究；如有限集元素的个数 n 1 时,子集数为 2,可排列为 , a 1 ；当 n 2 时,子集数为 22,可排列为 , a 1 , a 1 , a 2 , a 2 ；当 n 3 时,子集数为 23,可排列为, a 1 , a 1 , a 2 , a 2 , a 2 , a 3 , a 1 , a 2 , a 3 , a 1 , a 3 , a 3 ;

6、每增加 1 个元素, 子集数增加 1 倍；将原先已排列好的全部子集分别增加一个新元素,得到又一列排列好的子集；再将排列好的子集倒序后,接排在原先已排好的子集列后面,得到符合条件的新的子集列；k证明设有限集的元素个数为n；当n1时,子集数为 2,全部子集可排列为:,a 1；当n2时,子集数为22,全部子集可排列为:,a 1 ,a 1,a 2,a 2；当n3时,子集数为 23,全部子集可排列为: ,a 1,a 1,a2,a 2,a 2,a 3,a 1,a 2,a3 ,a 1,a 3,a 3 ;如n时,子集数为 2k,全部子集可排列为:A 1,A 2,A 2k,且任何两个相邻的子集仅相差一个元素；当

7、nk1即增加一个元素a k1时,按下面的方法可得由k1个元素组成的有限集的全部子集的一个排列,A 1,A 2,A 2k,a k1A 2k,a k1A 2k1,ak1A 1；因 为A 1,A 2,A 2k共 2k 个 子 集 中任何 两 个 相 邻 的 子集 仅 相差 一 个 元 素 , 所以 ,a k1A 2k,a k11A 2k1,ak1A 1共 2k个子集中任何两个相邻的子集也仅相差一个元素；又A2k与akA 2k也相差一个元素,因此,上述由k1个元素组成的有限集的全部子集的一个排列是符合条件的排列；由此,我们得到对任意一个有限集的全部子集的符合条件的排列方法,即原命题得证；例 6 设Mn

8、|1n1995,nN,AM,且当xA时,15xA；求| A|的最大值；（1995 年全国高中数学联赛）分析由题意, x 与15x不能同属于集合A ；根据集合 A 的这一本质特点,构造具有最多元素的集合 A ；解由1995133, 又 x与15x不 能同 属于 集 合A, 得15A 1n| 134n1995,nNA；N已不行能与集合A 同为集合 A 1由1338, 得集合A 2n|9n133,n15的子集；故| A|19951251870；A 3是 满 足 条 件 的 集 合 , 且设A 3n|1n8,nN, 经 检 验 ,A 1|A 1A 3|1870；所以,| A 的最大值为 1870 ；情

9、形再现 4在一次 IMO 竞赛中, k 个领队共使用 n 种不同语言；假如任何两个领队至少使用一种共同语 言,但没有任何两个领队使用的语言完全相同；求证：时,k,2n1B,；视为不同的对,就这样5 已知ABa 1,a2,a 3,当ABAB与A 的A,B对的个数有 _个；（1993 年全国高中数学联赛）6设集合 A 是整数集 Z 的子集,其中的元素有正整数,也有负整数, 且如a ,bA（答应ab）,就abA,求证：如a ,bA,就abA；C 类例题例 7 对 ,1 2 , , n 及其每一个非空子集,定义一个唯独确定的“ 交替和”：对每一个子集根据递减的次序重新排列,然后从最大的数开头交替的减或

10、加后继的数（例如, ,1 2 , 4 , 6 , 9 的“ 交替和” 是 9 6 4 2 1 6 ; 5 的“ 交替和” 是 5）；对 n 7,求全部这些“ 交替和” 的总和；（第 1 届美国数学邀请赛）分析 求全部这些“ 交替和” 的总和的关键,在于每一个数字在“ 交替和” 中显现的次数及符号；解 对集合 1 , 2 , , n 的全部子集分为两类：含元素 n的子集共有 2n 1 个,不含元素 n的子集也有 2n 1 个；将含元素 n的子集 n , a 1 , a 2 , , a k 与不含元素 n的子集 a 1 , a 2 , , a k 相对应, 得这两个子集的“ 交替和” 恒为 n；所

11、以,全部这些“ 交替和”的总和为 2 n 1 n；当 n 7 时,“ 交替和” 的总和为 7 2 6 448；例 8 已知集合 S 中有 10 个元素,每个元素都是两位数；求证：肯定可以从 S 中取出两个无公共元素的子集,使 两个子集的元素和相等；1972 年 14 届 IMO 分析此题要求的是从集合S的子集中,找到两个元素和相等的子集；这两个子集即使有公共元素,只要同时除去公共元素就可以满意题意；证明 由集 合 S 中每个元素都是两位数,故它们的总和不超过 1000 ；而集合 S共有210 1024 个子集；由抽屉原理,得集合 S 的子集中至少有两个子集的和相等；如这两个子集有公共元素,只要

12、同时从这两个子集中同时除去公共元素,得到两个无公共元素的子集,且使两个子集的元素和相等；即命题得证；情形再现7设集合Mn|1n10,nN；现对 M 的任意一个非空子集X,令aX表示X 中最大数与最小数之和,那么,全部这样的aX的算术平均值为_ ；n1 个8由前2 n个正整数组成的集合MN|1m2 n,nN,从中任取m元 素 组 成 M 的 子 集 A , 求 证 ： 集 合 A 中 必 有 两 个 数a i,aj,使 得a iajA, 或 者aj2a i；习题 5 1 如 2 |, a 1 | 2 ,3, a 2 2 a 1,试确定 a 的值；2 已知集合 A n | 1 n 10 , n N

13、 ,B ,1 2 , 3 , 4 5, ,如 C 是 A 的子集,且B C,就子集 C 有多少个？3如 A n N | 1 n 2 m 1 , m N ,且 a A 时,必有 2 m a A,求证：这样的子集共有 2m 1 个；4已知集合 X n | 1 n k , k , n N ,对 A X , 将 A 中全部元素的和记为 S A ,将 X 分为互不相交的两个子集 A, B 且 A B X,如 S A 2 S B ,求 k 的所有值；5矩形城市的道路特别规章,恰好东西向、南北向的道路分别有m ,n条；一位妇女住在城市的西南角,工作在东北角；她每天步行去工作；假如每个交叉路口不得经过两次,证

14、明她所能选取的路线数目fm,n不大于2mn；,nN（第 9 届加拿大数学竞赛）6已知集合n|1n10,求满意至少含有两个元素且任意两个元素的差的绝对值大于 1 的子集的个数；（1996 年上海爱朋思杯赛）7 设集合Ax|1x100,xN且对任意的x,yA,必有2xy,就子集 A 所含元素个数的最大值为_. ,a k是 S 的子集, 且具1991 年河南省集训题8已知集合SnN|1n1997.Aa 1,a2,有下述性质： “ A 中任意两个不同元素的和不能被117 整除；” 试确定 k 的最大值并证明你的结论；（1997 年全国高中数学联赛）答案情形再现1解y yx24x1x26x2；0a0或a

15、1；经检验, a 的值2x12由368280,得|AB|2所以,集合AB的子集的个数为4；aa2a4或a解 由题意,是 0 或 4；3解由题意, 1 与 7,2 与 6,3 与 5 中每一对数必需在同一个集合A内；因此,所求集合 A 的个数等同于以1 与 7,2 与 6,3 与 5 及 4 为元素的集合的非空子集的个数；4所以,这样的 A 共有24115（个）；,P中不互补的非空子集；略证设 n 种不同语言构成集合P,就任何一个领队对应于集合5所以,k2n2n1；a 2,a 3；当 A时,2解由集合A,B都是AB的子集,AB且ABa 1B有 1种取法；当 A为一元集时, B有 2种取法；当 A

16、为二元集时, B有 4种取法；当 A 为三元集时, B 有 7 种取法；故不同的A,B对有13234726（个）；6证明设集合 A 中,最小的正整数为x ,最大的负整数为y ；由xA,yA,就xyA；又yxyx,就xy不行能是非零整数 （否就 , 与x ,y分 别 是 集 合 A 中 最 小 的 正 整 数 和 最 大 的 负 整 数 矛 盾 ）, 即x y 0 y x；由题意,易得 x A nx A n N *；综上,x A A a | a nx , n Z ；如 a , b A,就 a mx , b nx , a b m n x A；即原命题得证；7略解 集合 M 中元素 k ,以最大数显

17、现的次数等于集合 n N | 1 n k 1 的非空子集数 2k 1,以最小数显现的次数等于集合 n N | k 1 n 10 的非空子集数 2 10 k；所以,所求的平均值为2 10 11 1 2 0 2 9 2 2 2 8 10 2 9 2 0 2 10 11 1 10 2 0 2 2 9 11；8略证 设子集 A a 1 , a 2 , , a n 1 ,且 a 1 a 2 a n 1 2 n；作差,得b ia n1a i,i,1 2 ,a 1,n,且b 1b 22n, b nan12 n；于是1b 1,b 2,b n,a 2,a n1由抽屉原理,必有b iajij2a ia n11a

18、iaaja iajan1A；或b ia ia nj；即原命题得证；习题 5 1略解|a1|3a2或aa4;a3；|a1a22 a11或经检验, a 的值为4或 2；2解 1 由集合 A 的子集中除去不含集合B中元素的子集, 得子集C共有2 1025992（个）；3456解 2子集 C 的元素 是由集合6 ,78,9, 10 的任意一个子集中的元素,与集合 B 的任意一个非空子集中的元素组成；所求的子集C 共有252 51992（个）；证明由题意, 1 与2m1,2 与2m2,中每一对数必需在同一个集合A 内；因此,所求集合 A 的个数等同于以1 与2m1,2 与2m2,及 m为元素的集合的非空子集的个数；所以,这样的A 共有2m1（个）；略解由题意,SB1S X1kk1；36因而,k 或k1是 3 的倍数；如k3 m,集合 A 取集合 X 中形如3 m 或3 m2的元素构成,集合B取集合 X中形如3m1的元素构成,就集合A,B满意题设要求；如k3m1,集合 A 取集合 X 中形如3 m 或3 m1的元素构成,集合 B 取集合 X中形如3m2的元素构成,就集合A,B满意题设要求；所以,所求 k 的值为3 m 或3 m1mN；略证设 mn条道路构成