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1、2.9 Schrodinger 方程的解1. Free Electrons (自由电子) V=0解这个微分方程 电子波函数为：本征能量：E 2. 势井中的电子（束缚态）Bound electronVXa A, B由边界条件确定：B=-An=1,2,3. 能级（energy level）能量量子化零点能简并态E3 势垒贯穿这是一个典型的量子力学效应经典力学：一个动能为E的球滚向一个小山，球在山顶的势能为U，若UE，则球肯定不能越过包出现在右边。U(x)U0 x0a（1）量子力学：即使UE，粒子也可能出现在势垒的右边，如同在势垒上穿了一个洞，粒子穿洞而过，称为势垒贯穿或隧道效应。薛定谔方程为：（2

2、）（3）（4）先讨论EU0的情况（2）和（3）改写为：（5）（6）（7）（8）（9）定态波函数是 乘上一个含时间的因子第一项是由左向右传播的平面波，第二项是由右向左传播的平面波由（9）式可以知：没有向左传播的波，所以有，（10）根据波函数及其微商在x=0和x=a连续的条件即得出C, A与A的关系（11）（12）给出了透射波和反射波振幅与入射波振幅之间的关系代入几率流密度，得到入射波几率流密度为：透射波的几率流密度为：反射波的几率流密度为：透射系数D：透射波几率流密度与入射波几率 流密度之比. （13）反射系数R：反射波几率流密度与入射波 几率流密度之比说明入射粒子一部分贯穿到xa区域，另一部分

3、被反射回去（14）再讨论EU0的情况,k是虚数，令k2=ik3, k3是实数由（4）式得（15）将（11）可写为：其中，双曲正弦、双曲余弦函数透射系数: 如果粒子的能量很小，可以将透射系数写成：透射系数随着势垒得宽度a的减小以电子为例，令U-E=5eV=8*10-19Ja(A)1.02.05.010.0D0.11.2*10-21.7*10-53.0*10-10如果势垒不是方形，而是任意形状时，Scanning Tunneling Microscope (STM)1981年Gerd Binnig(1947-) 和Heinrich Rohrer(1933-) 发明了STM1986年Gerd Binnig 和Heinrich R

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