线性代数行列式和克拉默法则

1、关于线性代数行列式与克拉默法则第一张，PPT共六十五页，创作于2022年6月教学要求：1. 了解行列式的定义和性质;2. 掌握三阶、四阶行列式的计算法， 会计算简单的n阶行列式;3. 了解排列与对换;4. 会用克拉默(Gramer)法则解线性方程组.第二张，PPT共六十五页，创作于2022年6月第三张，PPT共六十五页，创作于2022年6月定义1. 二阶行列式定义为主对角线副对角线对角线法则二阶行列式的计算第四张，PPT共六十五页，创作于2022年6月定义2. 三阶行列式定义为三阶行列式的计算-对角线法则注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号第五张，PPT共六十五页，创作

2、于2022年6月说明1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.考察三阶行列式如下：第六张，PPT共六十五页，创作于2022年6月第七张，PPT共六十五页，创作于2022年6月定义3. 代数余子式剩下的元素按原来的排法构成一个新的行列式第八张，PPT共六十五页，创作于2022年6月定义4. 是一个算式，且第九张，PPT共六十五页，创作于2022年6月注意：行列式是一些乘积的代数和，每一项乘积都是由行 列式中位于不同行不同列的元素构成的.(3) 定义4中行列式按第一行展开，同样也可按第一列 展开，甚至

3、按行列式中任意行或列展开. 由此可计算一些行列式.Example1.第十张，PPT共六十五页，创作于2022年6月Proof.（数学归纳法）第十一张，PPT共六十五页，创作于2022年6月不是对角行列式，第十二张，PPT共六十五页，创作于2022年6月性质1 行列式与它的转置行列式相等.行列式 称为行列式 的转置行列式. 记性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.第十三张，PPT共六十五页，创作于2022年6月例如推论 如果行列式有两行(列)完全相同,则行列式为零.证明互换相同的两行，有 性质3 行列式的某

4、一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.第十四张，PPT共六十五页，创作于2022年6月推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零证明注意与矩阵数乘运算的区别,第十五张，PPT共六十五页，创作于2022年6月性质5若行列式D的某一列（行）的元素都是两数之和:则D等于下列两个行列式之和：例如第十六张，PPT共六十五页，创作于2022年6月性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变例如第十七张，PPT共六十五页，创作于2022年6月性质7. 行列式按行（

5、列）展开法则下面证明:证第十八张，PPT共六十五页，创作于2022年6月第十九张，PPT共六十五页，创作于2022年6月相同同理第二十张，PPT共六十五页，创作于2022年6月第二十一张，PPT共六十五页，创作于2022年6月性质8. Laplace定理(2) Laplace定理第二十二张，PPT共六十五页，创作于2022年6月第二十三张，PPT共六十五页，创作于2022年6月为方便起见，引用以下符号：其一、利用行列式的性质，或通过将行列式化为三角行列式来计算行列式的值.第二十四张，PPT共六十五页，创作于2022年6月Solution.第二十五张，PPT共六十五页，创作于2022年6月ex3

6、.已知204,527,255三数都能被17整除， 不计算行列式的值，证明三阶行列式也能被17整除. Solution.第二十六张，PPT共六十五页，创作于2022年6月Solution.第二十七张，PPT共六十五页，创作于2022年6月第二十八张，PPT共六十五页，创作于2022年6月Solution.第二十九张，PPT共六十五页，创作于2022年6月Solution.其二、当行列式各行(列)元素之和相同时，应先把各列(行)加到第1列(行)，提取公因式后再考虑.第三十张，PPT共六十五页，创作于2022年6月Solution.第三十一张，PPT共六十五页，创作于2022年6月故原方程的解为第三

7、十二张，PPT共六十五页，创作于2022年6月思考其三、根据行列式的特点，利用行列式的性质，将行列式的某一行(列)化出尽量多的0元素，然后由定义按该行(列)展开.第三十三张，PPT共六十五页，创作于2022年6月Solution.第三十四张，PPT共六十五页，创作于2022年6月Solution.第三十五张，PPT共六十五页，创作于2022年6月第三十六张，PPT共六十五页，创作于2022年6月第三十七张，PPT共六十五页，创作于2022年6月其四、当各阶行列式具有同一结构形式时，可利用数学归纳法计算或证明行列式的值.第三十八张，PPT共六十五页，创作于2022年6月Solution.（数学归

8、纳法）第三十九张，PPT共六十五页，创作于2022年6月第四十张，PPT共六十五页，创作于2022年6月这个行列式称为Vandermonde（范德蒙）行列式，可见Vandermonde（范德蒙）行列式为零的充要条件是注意不是Vandermonde行列式第四十一张，PPT共六十五页，创作于2022年6月解法1其五、先用展开或拆项等方法，将原行列式表成低阶同型行列式的线性关系，再由递推法得出结果.第四十二张，PPT共六十五页，创作于2022年6月第四十三张，PPT共六十五页，创作于2022年6月解法2第四十四张，PPT共六十五页，创作于2022年6月其六.当行列式为三线非0行列式时，将其转化为三角

9、行列式来计算. 第四十五张，PPT共六十五页，创作于2022年6月其七、加边法，即在行列式值不变的情况下，加上一行一列. 用于主对角线上元素不同，其余元素相同(或各行其余元素成比例)的行列式.Solution.第四十六张，PPT共六十五页，创作于2022年6月第四十七张，PPT共六十五页，创作于2022年6月第四十八张，PPT共六十五页，创作于2022年6月Solution.第四十九张，PPT共六十五页，创作于2022年6月五. 分块矩阵的行列式第五十张，PPT共六十五页，创作于2022年6月定义1.如2431是一个4级排列. 定义2.在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的

10、数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.第五十一张，PPT共六十五页，创作于2022年6月例如 排列32514 中， 3 2 5 1 4逆序逆序逆序3 2 5 1 4逆序数为31故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.第五十二张，PPT共六十五页，创作于2022年6月定义3.逆序数为偶数的排列称为偶排列;逆序数为奇数的排列称为奇排列.定义4.在一个排列中某两个数的位置调换，而其余的数不动，从而构成一个新的排列，这种调换叫做对换. 将相邻两个数字对换，叫做相邻对换. 结论1.对换改变排列的奇偶性.第五十三张，PPT共六十五页，创作于2022年6月结论

11、2. 关于n阶行列式的另一定义第五十四张，PPT共六十五页，创作于2022年6月ex14.已知Solution.含 的项有两项,即在中对应于第五十五张，PPT共六十五页，创作于2022年6月第五十六张，PPT共六十五页，创作于2022年6月1. 线性方程组当方程个数与未知数个数相同时,线性方程组的形式为:则称此方程组为非 齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组.第五十七张，PPT共六十五页，创作于2022年6月2. Gramer法则如果线性方程组的系数行列式不等于零，即第五十八张，PPT共六十五页，创作于2022年6月那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解可以表为其中 是把系数行列式 中第 j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即第五十九张，PPT共六十五页，创作于2022年6月证明在把 个方程依次相加，得第六十张，PPT共六十五页，创作于2022年6月由代数余子式的性质可知,于是当 时,方程组 (2) 有唯一的一个解第六十一张，PPT共六十五页，创作于2022年6月由于方程组 与方程组 等价,故也是方程组(1)的解.3. 重要定理定理1. 如果线性方程组的系数行列式不等于0，则方 程组一定有解，且解是唯一的.定理2. 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则 它的系