线性代数第四讲矩阵概念以及其加减乘运算

1、关于线性代数第四讲矩阵的概念及其加减乘运算第一张，PPT共四十九页，创作于2022年6月 由 mn 个数 aij(i1, 2, , m；j1, 2, , n)排成的一个 m 行 n 列的矩形表称为一个 mn 矩阵一 矩阵的定义：a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amnAmn=记作只能用 或( ),不能用 第四讲 矩阵的概念及其运算第二张，PPT共四十九页，创作于2022年6月1 零矩阵一 部分特殊矩阵所有元素均为 0 的矩阵称为零矩阵，记为O例如 若矩阵A的行数与列数都等于n，则称A为n阶矩阵，或称为n阶方阵2 方阵例如第三张，PPT共四十九页，创作于2022年6

2、月也可以用小写黑体字母 3 行矩阵与列矩阵：只有一行的矩阵称为行矩阵只有一列的矩阵称为列矩阵例如表示第四张，PPT共四十九页，创作于2022年6月a110 00a220 00ann=4 对角矩阵：如下形式的n阶矩阵称为对角矩阵记为 =diag(a11, a22, , ann)例如第五张，PPT共四十九页，创作于2022年6月数量矩阵是特殊的对角矩阵a11=a22=anna0 00a0 00aA= 如下形式的 n 阶矩阵称为数量矩阵5 数量矩阵例如第六张，PPT共四十九页，创作于2022年6月 如下形式的n阶矩阵称为单位矩阵,记为 I 或E 10 0010 001I =6 单位矩阵：单位矩阵是特

3、殊的数量矩阵：a11=a22=ann=a=1例如第七张，PPT共四十九页，创作于2022年6月b11b21 bn10b22bn2 00bnnB=A=a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 ann 如下形式的 n 阶矩阵称为上三角形矩阵7 三角形矩阵： 如下形式的 n 阶矩阵称为 下三角形矩阵例如第八张，PPT共四十九页，创作于2022年6月 如果n阶矩阵A满足 AT=A ( 即 aij=aji ) ,则称A为对称矩阵A=a11 a12 a1na12 a22 a2n a1n a2n ann8 对称矩阵：例如 2 3 5 83 8 6 3 8 6 7 4 2 4 9 76 2 7 10

4、 第九张，PPT共四十九页，创作于2022年6月二 矩阵的运算(三) 矩阵的转置(四) 方阵的行列式(一) 矩阵的加法,减法(二) 矩阵的乘法(五) 几种特殊矩阵第十张，PPT共四十九页，创作于2022年6月(一) 矩阵的加法,减法（1）同型矩阵:（2）同型矩阵才能相加减二矩阵行相同，列相同例A=2 34 5 6B=8 62 5 3为同型矩阵A=2 3 94 5 6 8B=8 62 5 3不同型（3）加法与减法法则:同型矩阵对应元素相加减第十一张，PPT共四十九页，创作于2022年6月矩阵加法和减法定义:a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amnA=b11 b12

5、b1n b21 b22 b2n bm1 bm2 bmnB=AB=a11b11 a12b12 a1nb1na21 b21 a22 b22 a2nb2n am1bm1 am2bm2 amnbmn 设A与B为两个mn矩阵第十二张，PPT共四十九页，创作于2022年6月 例1 设求A+B=?解1+52+63+74+8681012第十三张，PPT共四十九页，创作于2022年6月a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amnA=给定矩阵规定ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2n kam1 kam2 kamnkA=(二)矩阵的数乘实数k遍乘A的所有元素第十四张，P

6、PT共四十九页，创作于2022年6月第十五张，PPT共四十九页，创作于2022年6月准备：矩阵乘积有意义的条件 不是任意二矩阵乘积AB都有意义（2） 二矩阵乘积AB有意义的条件是： 左边的矩阵A的列数与右边的矩阵B的行数相等即AmsBtn有意义的条件是s=t且Ams Bsn=Cmn（三） 矩阵的乘法 第十六张，PPT共四十九页，创作于2022年6月例3 45 7 222 5A=B=(1)则AB无意义 5 85 7 22 95 27 6 4C=D=(2)则 CD有意义，且CD是23的矩阵第十七张，PPT共四十九页，创作于2022年6月设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵AB=b11 b12 b1

7、j b1n b21 b22 b2j b2n bs1 bs2 bsj bsn 矩阵的乘法定义 a11 a12 a1s a21 a22 a2s ai1 ai2 ais am1 am2 amsc11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmnmn=cij(i1, 2, , m；j1, 2, , n)其中ai1b1jai2b2j aisbsjcij = A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积第十八张，PPT共四十九页，创作于2022年6月B = 求AB及BAA= ， 例1 设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB=-

8、6-7833第十九张，PPT共四十九页，创作于2022年6月2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB=-6-78-30-333B = 求AB及BAA= ， 例1 设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0解：第二十张，PPT共四十九页，创作于2022年6月2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB=-6-78-30-9-7-3533B = 求AB及BAA= ， 例1 设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0解：第二十一张，PPT共四十九页，创作于2022年6月2 31 -23 11 -2 -32 -1 0BA=4-9832 31 -23 11 -2 -32 -1

9、 0AB=-6-78-30-9-7-3522B = 求AB及BAA= ， 例1 设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0注意一:矩阵乘法一般不满足交换律即 ABBA第二十二张，PPT共四十九页，创作于2022年6月1110例2 设A= ，B= ，求AB及BA2110 解11102110AB=3110=21101110BA=3110=如果AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换显然AB=BA可交换阵:第二十三张，PPT共四十九页，创作于2022年6月例3 设A= ，4-2-21B= ，求AB及BA4 2-6-3AB=4-2-214 2-6-3 解：-32 -16168=BA=4-2-214

10、2-6-30 000=2222注意二:AB=O A=O or B=O第二十四张，PPT共四十九页，创作于2022年6月例4 设A= ，5000求A2 解0000=22注意三:A2=O A=OA2=50005000第二十五张，PPT共四十九页，创作于2022年6月矩阵乘法一般不满足消去律例5 设 A= 20 3,B=00 4,C=10 0求AC=? BC=?解=221100=221100注意四:AC=BC A=B第二十六张，PPT共四十九页，创作于2022年6月例6 线性方程组可用矩阵乘法表示a11x1+a12x2+ +a1nxn =b1a21x1+a22x2+ +a2nxn =b2am1x1+

11、am2x2+ +amnxn=bm x1x2xn a11 a12 a1n a21 a22 a2nam1 am2 amnb1b2bm =系数阵例如:2x1+5x2+7x3+ 9x4 =5x1 -3x2+7x3 + x4=33x1 -x2+ x3 + x4=10 5 7 9-3 7 1 3 -1 1 1x1x2x3x4=5310第二十七张，PPT共四十九页，创作于2022年6月 (1) ABBA (3) AB=OA=O或B=O / (2) AC=BCA=B / 矩阵乘法总结: 矩阵乘法性质除下列几条外 其余和数乘法性质相同 (4) A2=OA=O / 乘法一般不满足交换律乘法一般不满足消去律,如果C

12、可逆,则A=B第二十八张，PPT共四十九页，创作于2022年6月例7 设矩阵A,B均为n阶方阵, 证明证明(1)(2)(3)(1)第二十九张，PPT共四十九页，创作于2022年6月4 方阵的幂：对于方阵A及自然数k 记 Ak=AA A (k个A相乘)只有方阵才能自乘规定性质：(1) ArAs=Ar+s(2) (Ar)s=Ars注:一般 (AB)kAkBk但 如果AB=BA,则 (AB)k=AkBk第三十张，PPT共四十九页，创作于2022年6月例8 设求 (1)(2)(3)解n个第三十一张，PPT共四十九页，创作于2022年6月 如下形式的n阶矩阵称为单位矩阵,记为 In 或 I10 0010

13、 001I = 单位矩阵性质对于n阶矩阵A，规定 A0=IImAmn=Amn=1AmnAmnIn=Amn =1Amn单位阵与任意矩阵相乘(只要有意义)结果不变第三十二张，PPT共四十九页，创作于2022年6月练习： 1,计算下列矩阵：解：(1) 2 0 1 1 1= 0 1 1 1 0 1 1 1= 0 1 1 2 3 0 1 1 1= 0 1 1 2 0 1 1 1= 0 1 1 3 n 0 1 1 1= 0 1 1 n (2) a 0 0 0 0 c 0 b 0 2 a 0 0 0 0 c 0 b 0 a 0 0 0 0 c 0 b 0= a2 0 0 0 0 c2 0 b2 0= a 0

14、 0 0 0 c 0 b 0 n an 0 0 0 0 cn 0 bn 0= n 0 1 1 1 (1) (2) a 0 0 0 0 c 0 b 0 n，第三十三张，PPT共四十九页，创作于2022年6月2 计算 4 561）A= 1 2 3B=AB=1114+25+36= 32 =32 1 2-242）A= 3 2 1 0B=AB=1131+22+1(-2)+04= 5 =5 第三十四张，PPT共四十九页，创作于2022年6月3第三十五张，PPT共四十九页，创作于2022年6月 将矩阵A的同号数的行换为同号数的列得到的矩阵称为A的转置矩阵，记为AT或A a11a21am1 a12a22am2

15、 a1na2namn A =a11a12a1n a21a22a2n am1am2amn AT =（四） 矩阵的转置第1行变为第1列，第2行变为第2列,第m行变为第m列第三十六张，PPT共四十九页，创作于2022年6月(4) (AB)T = BTAT(A1A2A3.An)T =(An)T(An-1)T.(A2)T(A1)T转置矩阵有下列性质(1) (AT)T= A (2) (A+B)T= AT+BT (3) (kA)T= kAT 注意矩阵的次序第三十七张，PPT共四十九页，创作于2022年6月例11 3-3 -1 7 19 1 1A= 5-3-1 9 3B=(AB)T=BTAT 5 7 9-3

16、7 1 3 -1 1 11 3 95 -3 - 1 3则第三十八张，PPT共四十九页，创作于2022年6月 如果n阶矩阵A满足 AT=A ( 即 aij=aji ) ,则称A为对称矩阵A=a11 a12 a1na12 a22 a2n a1n a2n ann 对称矩阵性质(1) kA为对称阵性质 设A,B为对称阵,则(2) A+B 与 A-B 为对称阵注AB未必是对称阵-1 0 1-1 1 1 1 1例如A= B= 是对称阵，但-1 0 1-1 1 1 1 1-1-1 0 0=不是对称矩阵AB=第三十九张，PPT共四十九页，创作于2022年6月 例2 设A与B是两个n阶对称矩阵 证明：AB 对称

17、 AB=BA证明(1) 充分性所以 AB 对称(2) 必要性第四十张，PPT共四十九页，创作于2022年6月 例3 设A为对称矩阵,且A2=0 证明 A=0 证明A= AT=a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 ann设A2=AAT=a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 anna11 a21 an1a12 a22 an2 a1n a2n ann=0 所以 A=0注意乘积对角线上元素第四十一张，PPT共四十九页，创作于2022年6月 n阶矩阵A的元素按原来排列的形式构成的n阶行列式称为矩阵A的行列式,记为|A|或detAa11a21an1 a12a

18、22an2 a1na2nann A =， |A|=a11a21an1 a12a22an2 a1na2nann detA =例1A= 23 4 |A|=detA=23 4= -2（五） 方阵的行列式第四十二张，PPT共四十九页，创作于2022年6月方阵的行列式具有的运算律： (1) |AB| =|A|B|显然k个A= |A| k方阵积的行列式=行列式的积第四十三张，PPT共四十九页，创作于2022年6月(2) | lA|ln |A|n为方阵的阶数例1则| lA|=l3l3 |A|例2(1)设矩阵A为八阶矩阵l8 |A|(2)设矩阵A为十阶矩阵|lA| l10 |A|lA| 第四十四张，PPT共四十九页，创作于2022年6月例3 设A=(aij)为三阶矩阵，若已知|A|=-2,求|A|A|解：|A|A|=(-2)3|A|=(-2)3(-2)=16|-2A|提问： 设矩阵A为三阶矩阵，且|A|=m，问|-mA|=?答：-m4(3) |AT|A|第四十五张，PPT共四十九页，创作于2022年6月例4 设 A=25 4 -4 -5 313 4B=C=求 (1) |ATB2C| 解(1) | ATB2C|=| AT