线性代数向量以及其线性运算

1、关于线性代数向量及其线性运算第一张，PPT共五十四页，创作于2022年6月2.2 维向量一 维向量三 应用举例二 向量的运算五 向量空间四 向量组与矩阵第二张，PPT共五十四页，创作于2022年6月注意：集中精力，仔细理解第三张，PPT共五十四页，创作于2022年6月确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的仰角机翼的转角所以，确定飞机的状态，会产生一个有序数组、引入一、维向量（Vector）第四张，PPT共五十四页，创作于2022年6月、定义个数组成的有序数组称为一个维向量，其中称为第个分量.记作如：维向量写成一行，称为行矩阵，也就是行向量

2、，如：记作,.维向量写成一列，称为列矩阵，也就是列向量，（Row Vector）（Column Vector）第五张，PPT共五十四页，创作于2022年6月注意、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；、当没有明确说明时，都当作实的列向量.第六张，PPT共五十四页，创作于2022年6月几何上的向量可以认为是它的特殊情形，即n = 2, 3 且 F 为实数域的情形.在 n 3 时，n 维向量就没有直观的几何意义了.我们所以仍称它为向量，一方面固然是由于它包括通常的向量作为特殊另一方面也由于它与通常的向量一样可以定义运算，并且有许多运算性质是共同的，因而采取这样一个几何的名词有好处.以后我们用小写

3、希腊字母 ， 等来代表向量.情形，第七张，PPT共五十四页，创作于2022年6月三、n 维向量的运算1. 两个向量相等定义 2 . 3 如果 n 维向量 = ( a1 , a2 , , an)T, = (b1 , b2 , , bn )T的对应分量都相等，即ai = bi ( i = 1, 2, , n ) , 就称这两个向量是相等的，记作 = .第八张，PPT共五十四页，创作于2022年6月2. 向量的加法1) 定义定义 2 . 4 向量 = ( a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn )T称为向量 = ( a1 , a2 , , an)T, = (b1 , b2 , ,

4、 bn )T的和，记为 = + .第九张，PPT共五十四页，创作于2022年6月2) 运算规律交换律 + = + .结合律 + ( + ) = ( + ) + .4) 负向量定义 向量 ( - a1 , - a2 , , - an )T 称为向量 = (a1, a2, , an) 的负向量，记为 - .第十张，PPT共五十四页，创作于2022年6月显然，对于所有的 ，都有 + 0 = ， + ( - ) = 0 .5) 向量减法运算定义 - = + ( - ) .第十一张，PPT共五十四页，创作于2022年6月3. 数量乘积定义 2 . 5 设 k 为数域 F 中的数，向量( ka1 , ka

5、2 , , kan )称为向量 = ( a1, a2, , an ) 与数 k 的数量乘积，记为 k .1) 定义向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算. 显然，数域 F 上的向量经过线性运算后，仍为数域 F 上的向量.第十二张，PPT共五十四页，创作于2022年6月2) 运算规律k ( + ) =k + k ,(k + l ) = k + l ,k ( l ) = ( kl ) ,1 = , 0 = 0 , (-1) = - , k 0 = 0 .如果 k 0, 0, 那么k 0 . 第十三张，PPT共五十四页，创作于2022年6月3、向量与矩阵的关系其第个列向量记作个维行向量.按行分块按

6、列分块个维列向量.其第个行向量记作矩阵与向量的关系中注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清.第十四张，PPT共五十四页，创作于2022年6月 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组例如三、向量组、矩阵、线性方程组向量组称为矩阵的列向量组.对于一个 矩阵有个维列向量.记作：第十五张，PPT共五十四页，创作于2022年6月向量组为矩阵的行向量组类似的，矩阵有个维行向量.第十六张，PPT共五十四页，创作于2022年6月四、线性方程组AX=b的向量表示方程组的解x1=c1, x2=c2,., xn=cn,可以用n维列向量： x=（c1,c2,., cn)T来表示。

7、此时称为方程组的一个解向量。（P78）第十七张，PPT共五十四页，创作于2022年6月例维向量的集合是一个向量空间,记作 .五、向量空间1、定义设为维非空向量组，且满足对加法封闭对数乘封闭那么就称向量组为向量空间（Vector Space）解任意两个维向量的和仍是一个维向量；任意维向量乘以一个数仍是一个维向量所以，所有维向量的集合构成一个向量空间.易知该集合对加法封闭，对数乘也封闭，第十八张，PPT共五十四页，创作于2022年6月第十九张，PPT共五十四页，创作于2022年6月向量解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组几何形象：可 随 意平行移动的有向线段代数形象：向 量

8、的坐标表示式坐标系2、结构第二十张，PPT共五十四页，创作于2022年6月空间解析几何线性代数点空间：点的集合向量空间：向量的集合坐标系代数形象：向量空间中的平面几何形象：空间直线、曲线、空间平面或曲面一一对应第二十一张，PPT共五十四页，创作于2022年6月2.3 向量间的线性关系第二十二张，PPT共五十四页，创作于2022年6月回忆：向量线性运算数乘规定称为数与向量的数量积.设=k，那么两个向量之间是什么样的关系？引申到多个向量，关系又如何？第二十三张，PPT共五十四页，创作于2022年6月 向量 能由向量组 线性表示一定义第二十四张，PPT共五十四页，创作于2022年6月若k，则称向量与

9、成比例零向量是任一向量组的线性组合任一维向量都是基本向量组的一个线性组合事实上，有向量组中每一向量都可由该向量组线性表示第二十五张，PPT共五十四页，创作于2022年6月b能够为1，2，n线性表示：令x1，x2，xn分别为1, 2,., n，则以上线性组合可以表示为：第二十六张，PPT共五十四页，创作于2022年6月第二十七张，PPT共五十四页，创作于2022年6月第二十八张，PPT共五十四页，创作于2022年6月第二十九张，PPT共五十四页，创作于2022年6月定理1第三十张，PPT共五十四页，创作于2022年6月第三十一张，PPT共五十四页，创作于2022年6月第三十二张，PPT共五十四页

10、，创作于2022年6月注意:定义二、线性相关性的概念则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关第三十三张，PPT共五十四页，创作于2022年6月相关结论P92例3-4第三十四张，PPT共五十四页，创作于2022年6月第三十五张，PPT共五十四页，创作于2022年6月定理向量组线性无关齐次线性方程组只有零解；定理向量组线性相关齐次线性方程组有非零解.二、线性相关性的判断准则P91第三十六张，PPT共五十四页，创作于2022年6月推论个维向量线性相关.推论个维向量线性无关.P91定理第三十七张，PPT共五十四页，创作于2022年6月第三十八张，PPT共五十四页，创作于2022年6月解例第三十九张，

11、PPT共五十四页，创作于2022年6月1、设向量组线性相关，则 .2、设向量组线性无关，则必满足 .自己练习：第四十张，PPT共五十四页，创作于2022年6月证法第四十一张，PPT共五十四页，创作于2022年6月第四十二张，PPT共五十四页，创作于2022年6月进一步：P94 定理2.6向量组线性相关至少有一个向量可由其余向量线性表示定理第四十三张，PPT共五十四页，创作于2022年6月第四十四张，PPT共五十四页，创作于2022年6月第四十五张，PPT共五十四页，创作于2022年6月向量组线性无关任何一个向量都不能由其向量线性表示定理第四十六张，PPT共五十四页，创作于2022年6月P96 例题9如果向量组线性相关，则可由唯一线性表示.线性无关，而向量组证设线性无关，而向量组线性相关，（否则与线性无关矛盾）可由线性表示.即有第四十七张，PPT共五十四页，创作于2022年6月下证唯一性：两式相减有线性无关，即表达式唯一.设第四十八张，PPT共五十四页，创作于2022年6月性质设向量组若线性相关,则向量组也线性相关；反之，若向量组线性无关，则向量组也线性无关.P95 例7此时A称为B的一个部分组。第四十九张，PPT共五十四页，创作于2022年6月说明：第五十张，PPT共五十四页，创作于2022年6月第五十一张，PPT共五十四页，创作于2022年6月P95 例