大学物理竞赛专题辅导之力学

1、大学物理竞赛专题辅导之力学力学基本定律加速度作用力万有引力库仑力运动轨道椭圆、抛物线、双曲线洛伦兹力圆周运动弹性力电磁相互作用动静摩擦力、安培力、核力.能够由牛顿第二定律严格求解坐标的问题并不多8/10/20222山东大学刘希明辅导物理竞赛力学动量、角动量、动能三大定理动量定理角动量定理动能定理冲量定理冲量矩定理力学的守恒定律动量、角动量、能量守恒8/10/20223山东大学刘希明辅导物理竞赛力学的物理模型质点、质点组、刚体8/10/20224山东大学刘希明辅导物理竞赛【例题】如图在光滑水平面上有质量为M的均匀分布的、半径R的圆环。质点质量m(m0的质点，初始时位于圆环最高点a处，以初速度v0

2、沿水平方向向左运动，如果在以后的运动中质点能够沿圆环外侧不脱落圆环，达到圆环最低点b。试计算(1)质点在a点不脱落圆环，初始速度满足的条件(2)质点在b处不脱落圆环，初始速度应该满足什么条件?(3)质点在0q0的限制，因此初始速度满足的条件是(1)(2)设质点到达最低点b处的速度大小为v,则机械能守恒得到(2)8/10/202214山东大学刘希明辅导物理竞赛同样按照条件 。这里法向动力学方程得到整理为求根分解因式得得到不等式其中两个根分别是 (3)8/10/202215山东大学刘希明辅导物理竞赛可见两个根都是大于零的。由此把(3)式两边平方把(2)式能量守恒代入得初始速度满足的条件但其中(4)

3、8/10/202216山东大学刘希明辅导物理竞赛因此质点到达最低点b处不脱落，初始速度满足的条件是(5)(3)质点在左半圆环q处不脱离，设此处速度为v,仍然按照条件 讨论.机械能守恒得到不脱离的条件是同样的方法得到不等式(6)(7)8/10/202217山东大学刘希明辅导物理竞赛其中两个根分别是讨论：如果 则上面的解 （8)式改为把(6)式机械能守恒代入，以及v00的要求，得到(9)讨论：如果 则上面的解 ,（8)式改写为(10)(8)8/10/202218山东大学刘希明辅导物理竞赛把(10)式进一步利用机械能守恒(6)式得到把v1代入该式左端得到又因为 ，所以上式中8/10/202219山东

4、大学刘希明辅导物理竞赛因而左端这样得到两种夹角范围初始速度满足的条件是( )代进v2的表示得到这个条件是这个条件对于两种角度范围都成立。为了满足质点在左半圆环都不脱离，(12)式右端应该取最小值。易见q=0满足最小值条件。得到初始速度满足的条件是(12)8/10/202220山东大学刘希明辅导物理竞赛(11)(4)质点返回到最高点不脱离的条件根据对称性质，这个条件就是(11)式。8/10/202221山东大学刘希明辅导物理竞赛 【例题】在天花板的O点悬挂一个光滑的轻质小环P,小环可绕固定点O自由转动，长度为l的轻绳穿过小环P，其两端分别连接质量为m1与m2的小球A1与A2，已知m1m2。设两个

5、小球同时做圆锥摆运动，在任意时刻两个小球均在同一个竖直平面内，旋转的角速度是(1)计算两个小球到p的距离l1与l2.Pl1l2m2m1f2f1O(2)计算两个小球与细绳构成系统所受外力对P点的力矩之和。(3)计算系统对P点的角动量。以及守恒角动量的大小。8/10/202222山东大学刘希明辅导物理竞赛 【解】如图所示，两个小球连线与竖直方向夹角分别是f1与f2，小球m1与m2的分别受到重力mg与绳子张力T的作用，两球通过绳子连接受张力相等。满足方程Pl1l2m2m1f2f1OTmgf由此得到因为角速度相同，进而得到(1)(2)(3)8/10/202223山东大学刘希明辅导物理竞赛结果表明两个小

6、球到P点的垂直距离相等。因为两球通过细绳连接，受张力相等，得到关系改写成为(4)联立(3)(4)得到(5)但存在关系(6)利用(5)(6)求出(7)8/10/202224山东大学刘希明辅导物理竞赛Pl1l2m2m1gf2f1O【解】(2)计算两个小球与细绳构成系统所受外力对P点的力矩之和。两个小球的重力对P点的力矩方向相反。设指向外面为正方向，则按定义利用(7)式摆线长度的结果得到利用(2)式可求出方向指向内,方向指向外。则8/10/202225山东大学刘希明辅导物理竞赛已知m1m2,则 力矩的方向指向外为正，得到至于绳子张力因为力的作用线过P点，力矩为零。进而求出8/10/202226山东大

7、学刘希明辅导物理竞赛 【解】(3) 系统对P点的角动量按照角动量的定义Pl1f1m1v1对于质点m1如图可知图示位置速度v1方向指向版面内，l1的方向由P指向质点，则角动量方向如图所示J1同理可以求出m2相对P的角动量质点做圆锥运动时角动量的方向也随之改变。8/10/202227山东大学刘希明辅导物理竞赛Pl1f1m1v1J1角动量在竖直方向的分量是8/10/202228山东大学刘希明辅导物理竞赛由以上分析知道两个小球在同一个水平面内做半径不同，角速度相同的圆周运动，角动量沿着竖直方向分量守恒。Pl1f1m1v1 两个质点角动量的水平分量方向相反，总的水平分量是虽然这个分量的大小不变，但方向在

8、改变，因此角动量的水平分量不守恒！重力在水平方向的力矩不为零！8/10/202229山东大学刘希明辅导物理竞赛【例题】如图两根不可伸长的柔软的细绳，长度分别是l1与l2，且l10.需要通过受力分析与讨论，得到可能的平衡状态，进一步求出AB的长度。8/10/202230山东大学刘希明辅导物理竞赛【解(1)】 如图AB=0时(A与B重合)，AC连线沿竖直线方向，此时细绳AC拉直，BC松弛。重力mg与绳子AC的张力T相等。这种平衡与摩擦系数的取值无关！A BCml1l2当小环B离开A到达横杆右边某位置时，如果满足条件A BCml2l1由于细绳BC没有质量，系统受到小球的重力mg与绳子AC的张力T相互

9、平衡外，没有任何其他外力作用，系统仍然处于平衡状态。这种平衡与小环的摩擦系数无关。(1)8/10/202231山东大学刘希明辅导物理竞赛设小环B再向右移动一段小距离Dx,上面条件(1)不再满足。AB长度表示为小环B受到沿细绳BC方向张力作用T2,张力T2在竖直方向分力、向左的水平分力以及静摩擦力分别是AmC T2q2如果小环B在水平方向的力满足关系BF2f2N2平衡被破坏，质点B返回向左运动。8/10/202232山东大学刘希明辅导物理竞赛利用以上力的表示及几何关系求出摩擦系数满足关系时，小环B将返回左向运动，系统的平衡状态被破坏。ABmC T2q2同样小环A受到沿着AC方向张力T1作用，其平

10、衡状态同样与张力T1以及摩擦力f1之间的关系决定。但T1近似沿着竖直方向，其水平分力小于静摩擦力，因而不发生滑动。对于一种极端情况：m1=0,此时小环将沿着AB杆滑动。平衡状态被破坏。8/10/202233山东大学刘希明辅导物理竞赛总之在条件系统的平衡状态是：AC连线沿竖直方向,AB 之间距离范围是或者【解(2)】问题成为，讨论在以下条件时系统的平衡问题8/10/202234山东大学刘希明辅导物理竞赛如图所示系统处于平衡状态。分别分析环A与B的受力情况。A D Bq1f1q2f2T1T2Cm环A受到张力、水平分力与摩擦力作用,分别是当AB距离继续增大，达到条件可见当杆AB距离再变大(距离DC变

11、小时)时,使得tgf1的值满足上面条件时环A将沿着杆向内滑动而不再静止,系统不再平衡。F1f18/10/202235山东大学刘希明辅导物理竞赛同理分析环B的受力情况.得到环B发生滑动的条件是进一步分析这两个条件满足时需要具备的条件。8/10/202236山东大学刘希明辅导物理竞赛如图夹角f1与f2在几何条件下相互联系，用h表示C到AB杆的距离，则A D Bq1f1q2f2T1T2Cmh由正弦定理得到当AB距离增大时，夹角q1与q2都减少，夹角f1与f2则随着增大,其正切函数值也增大。而环和环首哪一个先滑动或同时滑动取决于那个条件首先满足8/10/202237山东大学刘希明辅导物理竞赛设环开始滑

12、动时,h用hA表示,则得到A D Bq1f1q2f2T1T2Cmh设B环开始滑动时,h用hB表示,同样得到可以通过比较杆AB增长过程中，通过距离hA与hB来判断哪个环首先滑动，进而求的AB的长度。8/10/202238山东大学刘希明辅导物理竞赛A D Bq1f1q2f2T1T2Cmh(1)如果 ,首先达到A球滑动的条件。由以上各式得到关系以及关系8/10/202239山东大学刘希明辅导物理竞赛进一步求出AB的长度是总之，在条件系统保持平衡状态，AB的长度限制为8/10/202240山东大学刘希明辅导物理竞赛(2)如果 ,由以上各式得到关系小环B首先滑动，系统失去平衡状态。此时有关系以及关系8/

13、10/202241山东大学刘希明辅导物理竞赛进一步求出AB的长度是总之，在条件系统保持平衡状态，AB的长度限制为8/10/202242山东大学刘希明辅导物理竞赛讨论：如果满足条件则给出关系 ，两个小环将同时滑动, 此时AB的距离是保持系统力学平衡的条件是8/10/202243山东大学刘希明辅导物理竞赛【例题】质量M的宇航站载有质量m的卫星一起绕地球做半径nR的圆周运动，R是地球的半径，n=1.25。在园轨道某位置上，沿着运动方向卫星被射出后做椭圆运动，其远地点到地心的距离为8nR,卫星绕地球一周后正好与宇航站相遇，问两者的质量比值m/M多大？nRR8/10/202244山东大学刘希明辅导物理竞

14、赛【解】卫星被射出前，在地球引力下做圆周运动，速度为u(1)设在圆周轨道上C点，卫星m被射出后，卫星速度为v，宇航站M的速度为V，则动量守恒(2)此后卫星与宇航站分别以速度v与V绕地球做椭圆运动。假设两者速度方向相同。8/10/202245山东大学刘希明辅导物理竞赛万有引力作用下园轨道、椭圆轨道的讨论半径R0园运动的能量与运动方程分别是Mm求出园轨道的能量椭圆轨道的能量与长半径有关是8/10/202246山东大学刘希明辅导物理竞赛在轨道上某处质点m速度有所增加，但总能量小于零，园轨道变成椭圆轨道。必有关系Mm这个位置是新椭圆轨道的近地点。按照几何关系得到如果质点的速度有所减少，总能量减少。园轨

15、道成为椭圆轨道。但是 ，这个位置是椭圆轨道的远地点，且8/10/202247山东大学刘希明辅导物理竞赛因为Mm,则Vb,所有当该式括号中第一项为零时，取极大值。所用时间最短。8/10/202264山东大学刘希明辅导物理竞赛由此得到质点沿着任意直径下落用时间最短的直径是讨论：由于 ,所以长短半径应满足条件(4)得到条件(5)而如果(6)则不存在极值。在条件(5)满足时，把(4)式代入(3)式得到时间的极小值。这个条件对应着对称的两个极角所表征的直径。8/10/202265山东大学刘希明辅导物理竞赛讨论当 满足时，在 范围内，时间t随q单调变化，没有极值。在 ，时间 ，在由上式求出时间的极小值是8

16、/10/202266山东大学刘希明辅导物理竞赛时间t随极角q变化的示意图8/10/202267山东大学刘希明辅导物理竞赛【例题】水塘里有一只青蛙停在一片荷叶的中央，青蛙质量为m,荷叶质量为M，看成半径为R的园。 (1)若青蛙能够一次跳离荷叶，那么青蛙应做多少功？ (2)如果青蛙由所在荷叶中央起跳，刚好落在紧挨着的另一片完全相同的荷叶中央，随之一起向前滑动，试求机械能损失与青蛙所做功的比值。 设青蛙跳离或者跳落荷叶时，荷叶均不产生竖直方向的运动，只能够在水面上无阻力的滑动。8/10/202268山东大学刘希明辅导物理竞赛【解1】设青蛙起跳后瞬间相对地面的水平速度与竖直速度分别是vx与vy,荷叶后

17、退的速度为v,则起跳过程中青蛙所做的功是(1)系统在水平方向动量守恒(2)在荷叶参考系中，青蛙起跳后相对荷叶的水平速度是(3)按照题目要求，青蛙要离开荷叶，即青蛙相对荷叶中央的位移必须满足条件8/10/202269山东大学刘希明辅导物理竞赛容易求出进而利用 整理给出关系求出青蛙竖直速度满足的条件(4)把(2)(4)代入(1)式，得到青蛙做功的限制(5)进一步利用公式 ，改写(5)式 8/10/202270山东大学刘希明辅导物理竞赛(6)因此青蛙能够跳出荷叶，所做的功至少应是(2)如果青蛙由所在荷叶中央起跳，刚好落在紧挨着的另一片完全相同的荷叶中央，随之一起向前滑动，试求机械能损失与青蛙所做功的

18、比值。8/10/202271山东大学刘希明辅导物理竞赛【解2】设青蛙起跳后瞬间相对水面的速度v,竖直分量与水平分量之夹角为q.则可以利用抛体公式处理射程问题。到达另一片完全相同荷叶的中央，水平射程是由此求出起跳时速率的表示(1)青蛙起跳时与荷叶系统在水平方向动量守恒(2)8/10/202272山东大学刘希明辅导物理竞赛设青蛙跳到另一片荷叶中心后，两者具有共同的水平速度V，再次利用水平方向动量守恒得到(3)青蛙起跳时做的功是(4)青蛙的机械能损失是分别代入(2)(3)(4),得到8/10/202273山东大学刘希明辅导物理竞赛进一步求出比值是因为所以这个比值的范围是8/10/202274山东大学

19、刘希明辅导物理竞赛【例题】如图一辆以速度v0运动的车子A撞上一辆静止的车子B，碰撞后两车一起运动直至停止，历时10秒。在这个过程中原来放在车子B车尾的1米长的物块刚好移动到车A的车顶。已知两车质量相等，物块的质量是一个车子质量的1/140，物块与车顶的摩擦系数是车与地面摩擦系数的69倍，求车A初始速度v0多大？ABv0CABCv8/10/202275山东大学刘希明辅导物理竞赛【分析与解答】车子A与发生完全非弹碰撞，可以忽略一切常规力；利用动量守恒解决。AB碰撞瞬间作为一个整体运动，而物块C相对车子发生相对滑动，在时间t1内相对滑动停止，物块恰好移动到车子A的前端。利用相对运动解决。A、B、C三

20、者作为整体向前继续运动，在摩擦阻力作用下，逐渐减速直到停止，这段时间为t2.且总的时间是t=t1+t2=10s.8/10/202276山东大学刘希明辅导物理竞赛A与发生完全非弹碰撞，设共同速度为v.动量守恒给出两者向前运动的速度(1)设物块质量为m,车的质量M=140m,车子与地面之间的摩擦系数为m,物块与车之间的摩擦系数为m1,则m1=69m.两车在地面及物块向后的摩擦力作用下的减加速度是(2)8/10/202277山东大学刘希明辅导物理竞赛按牛顿三定律物块受到车子向前的摩擦力，相对地面的加速度是(3)而物块相对车子的加速度则是(4)物块在这个相对加速度下做匀变速运动，在t1时间内速度变为零

21、，通过的距离为l=1m.可以利用运动学关系求解。首先给出箱子相对车子的初、末速度。初速度就是车子相对地面速度，但方向相反，末速度为零停止。ff1f1v8/10/202278山东大学刘希明辅导物理竞赛l=1m利用运动学公式(5)以及运动学公式 ,求出(6)相对车的物理量经过t1时间后，箱子相对车子静止，此时两车(以及物块)相对地面的速度v1，在这个时间内由运动学给出由(1)式得到物块的初速度8/10/202279山东大学刘希明辅导物理竞赛由t1时刻起，三者以初速度v1在地面摩擦力作用下做减速运动，直到经过t2时间停止。加速度是(8)(9)利用关系 代入数据求出利用运动学公式求出(10)(7)8/

22、10/202280山东大学刘希明辅导物理竞赛【解2】据前分析，得到AB碰撞后共同速度为(1)由此开始，车AB一起向前运动，箱子C则向左相对滑动运动。经过10秒时间三者都停止。在这个过程中，箱子与车之间摩擦力做功损耗能量，这个摩擦力做功的数值为m1mgl,另一方面系统受到地面摩擦力作用同样损耗能量，这个地面摩擦力作用时间是t=10s.可以看成系统受到一个冲量作用：m(2M+m)gt 设箱子与车之间摩擦力做功使得三者的速度减少为v1，得到关系(2)8/10/202281山东大学刘希明辅导物理竞赛系统此时具有的动量是 在地面摩擦力冲量作用下最后变为零，按冲量定理得到(3)利用以上3式可以求出与m有关

23、的初速度事实上，以上3个方程包括4个量:v、v0、v1与m，显然需要进一步列出有关方程。利用相对运动关系得到则问题全部解决。8/10/202282山东大学刘希明辅导物理竞赛【例题】如图所示，固定的半径R竖直放置的圆环，有一个质量m的珠子套在圆环上，两者之间摩擦系数为m.初始时珠子位于圆环的最低点P，在一个附加的切向力作用下，以不变的速度v从P点到达最高点Q。求该过程中摩擦力做的功。PQm【分析与求解】质点在运动过程中始终保持恒定速率v，做圆周运动的向心力是重力mg与支持力N两者合力提供，因此N的大小与方向与圆周运动的速度有关。8/10/202283山东大学刘希明辅导物理竞赛mgN ANPQxB

24、OqBq设如图，珠子在任意q处，受到重力mg以及正压力N作用，则有方程(1)上式中余弦函数cosq会取负值，如果珠子的速率v足够大，环对珠子的支持力N的方向始终指向圆心。如果珠子的速率v不是足够大，可能出现N=0的位置qB,继续向上运动时，N会改变方向，方向背离圆心。这个速率的临界值可由在最高点Q处的N=0来确定。8/10/202284山东大学刘希明辅导物理竞赛mgN ANPQxBOqBq在最高点Q处正压力N=0，则有(2)设珠子的速率满足条件利用(1)式求出N=0的位置qB如图所示(3)当珠子由p到B的运动过程中，利用(1)式的N表示式得到摩擦力通过任意小位移DS摩擦力做的功是8/10/20

25、2285山东大学刘希明辅导物理竞赛qDqDsDx利用基本几何关系得到珠子由q=0到q=qB摩擦力做的功利用了基本关系进一步计算珠子由qB到Q时摩擦力做的功，此时N改变符号，但摩擦力仍然与运动方向相反。(4)8/10/202286山东大学刘希明辅导物理竞赛(5)利用以上(4)(5)以及(3)得到摩擦力做的总功为(6)对于另外一种情况，中间不存在N=0的点，则摩擦力做的总功是8/10/202287山东大学刘希明辅导物理竞赛【例题】质量很大的车厢相对地面以速度v0匀速运动，车厢内一半径为R的固定光滑的半圆柱面，顶部有一个质量为m的物块，开始时静止，因为受到一个扰动，物块在图示平面内下滑，直到离开柱体

26、，试求在此过程中圆柱面支持力N对物块所做的功。Rqvm8/10/202288山东大学刘希明辅导物理竞赛【分析与解】在车厢惯性参考系，支持力始终与物块位移垂直，因此支持力也不做功。应该在地面参考系考虑做功问题。首先在车厢惯性参考系求解物块离开圆柱时的位置与速度。此位置支持力为零。机械能守恒与圆周运动方程为(1)解出物块脱离圆柱时的夹角与相对车厢的速度是(2)8/10/202289山东大学刘希明辅导物理竞赛qv0设物块向右滑动脱离圆柱。物块相对地面的速度为V，则有关系(4)利用功能原理得到物块能量的改变，即支持力做的功(5)联立以上5式，得到(6)V如果物块向左滑动离开圆柱体，则8/10/2022

27、90山东大学刘希明辅导物理竞赛x0 xAyzEOq 【例题】如图所示，xy平面是绝缘、刚性平面，坐标轴Oz轴竖直向上.在A(x0,0,0)处一带负电的质点,电荷量为-q.外加均匀电场强度为E的电场,E与x轴垂直,与z轴夹角为q。质点用一穿过坐标原点O的细线牵引，质点与刚性平面的动摩擦系数与静摩擦系数都为mtgq,不计质点的质量。质点在刚性平面上缓慢的移动，任何时刻都可以认为处在力平衡状态。质点的轨道是一条二次曲线,求出这条二次曲线的方程。8/10/202291山东大学刘希明辅导物理竞赛x0 xAyzEOq【分析力】质点在电场力F、细绳拉力T、摩擦力f以及刚性面支持力N共同作用下在刚性平面上作力

28、平衡下缓慢运动。其中被动力摩擦力的方向与速度方向相反（即轨道的切线方向),由此可以得到质点的轨道方程。把均匀电场投影到y、z方向，如图得到关系(1)8/10/202292山东大学刘希明辅导物理竞赛x0 xAzEOqy 质点受到的摩擦力与N有关，正好与电场力相等，表成为 摩擦力的方向决定于质点运动的方向。 质点受到电场力分解到y、z方向(2)在z方向还受到桌面向上的支持力N作用，与电场力相平衡，得到关系(3)8/10/202293山东大学刘希明辅导物理竞赛 质点在电场分力Fy,摩擦力f以及细绳拉力T作用下在Oxy平面缓慢运动。任意时刻三个力相互平衡，如图所示受力平衡方程为 (4) 整理(4)式得

29、到关系(5)注意到摩擦力f的大小与电场力Fy的大小相等,(5)式化成为该方程的解是(6)舍去T=0的无意义解。xyfFyTf8/10/202294山东大学刘希明辅导物理竞赛考虑到夹角范围 则(6)式的 把这个结果代入(4)中，得到摩擦力的表示因为摩擦力始终沿着轨道的切线方向，因此(8)式给出了轨道切线方向的斜率。由此可以得到轨道方程。下面做出讨论，给出质点轨道方程是园。(7)进一步求出(8)8/10/202295山东大学刘希明辅导物理竞赛 当f=p/2时，与Oy轴对应。k=,一般情况是质点运动到y轴上后，沿着y轴运动到坐标原点O,这不是二次曲线轨道，与题意不符。因此必定是轨道在坐标原点的切线与

30、x轴垂直。讨论：当f=0时，对应图中OA线，即开始的起点。k=,即在起点A时，轨道的切线与x轴垂直。xyAO8/10/202296山东大学刘希明辅导物理竞赛二次曲线中，曲线上两点切线相互平行(与x轴垂直)，只能是园或椭圆。而A、O两点的切线与连线AO垂直，因此连线ox坐标轴就是轨道曲线的轴线，另一轴线在OA的垂直平分线上且与oy轴平行，二次曲线与这个轴线交点的切线斜率为0。由(8)式得夹角(9)因此轨道曲线是园。其方程是xyAO8/10/202297山东大学刘希明辅导物理竞赛 【例题】如图所示,带正电小球质量为0.10kg,电荷量为810-4C.从水平地面上A点以与x轴正方向成300夹角的初速

31、度v0抛出(v0位于Oxy竖直平面内),小球到达最高点B时(最高点位于Oy轴上),在全空间立刻产生一个匀强电场E,强度为2.50103N/C,方向平行与Oxy平面,且与x轴负方向成q夹角,当带电小球再次通过y轴时,匀强电场立刻消失,试分析讨论当夹角q改变时(0q1800 ),带电小球的运动情况,并画出带电小球在各种情况下的运动轨迹略图。 A30 xyqB8/10/202298山东大学刘希明辅导物理竞赛 【分析】带正电小球到达最高点加入匀强电场后，受到两个力作用，重力mg与电场力qE,由于电场力在x与y方向的分量与q角有关系。按照提供的数据得到小球自B点进入电场，初始速度是小球在电场区受到的力分

32、别是8/10/202299山东大学刘希明辅导物理竞赛【1】当电场力y分量与重力相等： ，按照题设具体数据，要求q=300,带电小球仅受到在x轴负方向的电场力作用 ，而小球在最高点B处具有x轴正方向的速度v0cosa,因此小球先沿着x轴正向匀减速运动，到速度为零时，再反向作初速度为零的匀加速运动。到达最高点B时，电场消失，仅受重力作用，带电小球作初速度-v0cosa的平抛运动，轨迹与开始时相同，但运动方向相反。afxX方向加速度与最大位移分别是8/10/2022100山东大学刘希明辅导物理竞赛【2】设夹角 ,小球通过最高点B后 电场力与重力满足 ,小球在y方向受力与初速度是小球水平方向的初速度与

33、电场力是Bv0cosa可见在负y方向作加速运动，在x方向作减加速运动。按照两个方向上能否同时到达坐标原点的不同情况，可以分成三种情况。8/10/2022101山东大学刘希明辅导物理竞赛在x方向往返一次回到坐标原点的时间是 满足该条件时，质点在两个方向能够同时到达O点.竖直方向作自由落体运动，到达y=0所需要的时间(1)（2）(1)令此两式相等，得到夹角满足的条件进一步解出(3)(4)8/10/2022102山东大学刘希明辅导物理竞赛（2）当 时， ,质点先在y方向到达y=0,而x方向没有到达x=0,因此质点在O点右侧到达x轴.（3)当 时， ，如上述情况刚好相反，质点已经在x方向到达坐标原点，

34、在y方向继续运动，因此质点在O点左侧到达x轴。三种情况的图像如下图所示。(1)同时到达原点(2)先y后x到达原点(2)先x后y到达原点8/10/2022103山东大学刘希明辅导物理竞赛【3】当夹角在 范围时，电场力y分量与重力满足关系 。在y方向受力与初速度是在x方向受力与初速度是8/10/2022104山东大学刘希明辅导物理竞赛小球到达最高点B以后，在水平方向作减加速运动，直到速度为零后，在负x方向作加速运动。而沿着y轴正向一直作加速运动。当小球到达y轴时，小球具有正y方向的速度以及负x方向的速度。小球开始作斜抛运动。Bx8/10/2022105山东大学刘希明辅导物理竞赛【4】当夹角在 范围

35、时，带电小球受到y轴正方向的电场力 作用，在x方向则受到正方向的作用力 作用。小球到达最高点B以后，在水平方向作加速运动,在y轴正向作加速运动。8/10/2022106山东大学刘希明辅导物理竞赛【5】当时，受力与初速度分别是小球到达最高点B以后，在水平方向作匀加速运动。y方向不运动。8/10/2022107山东大学刘希明辅导物理竞赛【6】当夹角在范围时，存在关系小球y与x方向受力与初始速度小球到达最高点B以后，在水平方向作加速运动，在y轴负向作加速运动。8/10/2022108山东大学刘希明辅导物理竞赛m1m2两个小球都受到重力作用，它们之间又有弹性力作用，可以直接求解，也可以利用两体方法求解

36、，为了相互比较，下面采取不同的办法求解。 8/10/2022109山东大学刘希明辅导物理竞赛m1kxOlCm2建立实验室坐标系Ox，取竖直向下正，坐标原点O与此时质点m1的位置重合。首先求出质心的初始位置.【解1】直接由牛顿第二定律求解求出两个质点到质心的距离分别是质心在重力作用下做一维加速运动(1)（2）8/10/2022110山东大学刘希明辅导物理竞赛令(1)式中的 ，得到两段弹簧的自然长度分别是以质心C为分界点，把连接质点m1与m2的弹簧分成两个等效的弹簧。设与小球m1与质心之间的弹簧为k1,l10,m2与质心之间的为k2，l20.设弹簧的原长l0.系统平衡时满足条件(3)系统处于静止时

37、，已知弹簧的长度为l,弹性力是8/10/2022111山东大学刘希明辅导物理竞赛另一方面在质心系中,两个质点受到的弹性力分别是显然它们是相等的，即由此得等效弹簧的劲度系数(4)首先计算质点m2相对质心的坐标。建立质心坐标系，坐标原点为C，正方向向下为正。m2相对固定坐标系的坐标为x2,相对质心的坐标为8/10/2022112山东大学刘希明辅导物理竞赛已知质心的加速度为重力加速度g，质点m2受到重力m2g与弹性力m1CxCx2显然满足关系质点m2在实验室坐标系中的加速度a等于质心的加速度aC与相对质心角速度的和按照牛顿第二定律整理后得到(5)利用了基本关系8/10/2022113山东大学刘希明辅

38、导物理竞赛这是谐振动方程。谐振动角频率是方程的一般解是利用这两个条件，定出 初始条件是重新写出动力学方程8/10/2022114山东大学刘希明辅导物理竞赛得到m2相对质心的坐标与时间的关系是(6)m2相对实验室坐标系的坐标与时间的关系是（7）8/10/2022115山东大学刘希明辅导物理竞赛至于质点m1相对质心的运动方程按照基本关系求出以及m1相对实验室的坐标是8/10/2022116山东大学刘希明辅导物理竞赛 折合质量与谐振角频率分别是是【解2】用两体方法求解 取m1平动坐标系，取竖直向下为正方向的坐标轴Ox，坐标原点O与此时质点m1的位置重合。有方程(1)（2）方程的一般解是 （3）8/1

39、0/2022117山东大学刘希明辅导物理竞赛运动的初始条件是 得到利用以上条件，求出最后得到满足初始条件的特解(4)利用初始平衡条件8/10/2022118山东大学刘希明辅导物理竞赛(5)由此得到m1与m2相对质心的运动方程。进一步得到它们在实验室坐标系中的运动方程。注意这里取的是m1平动坐标系，相对质心的运动方程成为而质心运动方程在解法(1)中已经求出。8/10/2022119山东大学刘希明辅导物理竞赛如图,在均强磁场B区域有两根足够长的固定的平行导线，在它们上面放着两根平行导体棒，形成矩形回路。导体棒的质量均为m,电阻都是 R 长度均为 l,导体棒与平行导线之间的摩擦力忽略不计。开始时左棒

40、静止，右棒以初速度 v0 向右运动，计算右棒向右的速度随时间的变化规律。v0mRlbBa8/10/2022120山东大学刘希明辅导物理竞赛分析：右棒向右运动产生感应电动势，产生逆时针方向的回路电流 I. 电流沿着 由下至上的方向流经右棒，右棒产生方向向左安培力F1= IBl ，则右棒减速运动，进而减少感应电动势；电流经左棒也产生安培力F2，其方向向右，左棒向右加速运动，由此产生与右棒相反的电动势，回路中总的电动势减少，电流随之减少，又使得两棒安培力减少；右棒减速趋缓，左棒加速也趋缓最后两梆速度趋于一致，回路中感应电动势降为零，电流也为零。8/10/2022121山东大学刘希明辅导物理竞赛 【解

41、】设某时刻右棒速度为v1,左棒的速度为 v2,方向皆向右；左棒受安培力 F2 方向向右，右棒受安培力 F1 方向向左两者大小相等。v2v1F2 F1回路中感应电动势为(1)感应电流强度是（2）右棒受安培力方向向左，大小是(3)8/10/2022122山东大学刘希明辅导物理竞赛在此力作用下，右棒做减速运动,减加速度是左棒受安培力与右棒相同，但方向相反。左棒向右做加速运动，加速度是可见，两棒加速度大小相同，但右棒速度减慢，左棒速度增大。随着时间的推延，右棒速度v1不断减少，左棒速度v2不断增加。同时感应电动势以及两个棒受的力都随着减少。当两棒速度相同时v1= v2，感应电动势为零，安培力为零，两棒

42、速度不再变化。(4)（5）8/10/2022123山东大学刘希明辅导物理竞赛把动量守恒用于左、右棒任意速度时因为左、右棒受力等大反向，因此动量守恒。设两棒速度相同时为v,则有关系 (7)(6)求出共同速度是 (9)(8)求出关系把(9)代入(4)中，得到方程(4)8/10/2022124山东大学刘希明辅导物理竞赛积分求出右棒速度随时间的变化关系 (11)(10)8/10/2022125山东大学刘希明辅导物理竞赛按照两体问题求解，折合质量是m=m/2,作用内力就是安培力 (1)相对速度是，在此力作用下，两体运动方程是 (2)按照关系，得到初始时相对速度（3）积分(2)求出相对速度与时间的关系 (

43、4)8/10/2022126山东大学刘希明辅导物理竞赛进而求出右棒相对质心的速度右棒相对实验室的速度由质心速度与相对质心速度得到 这是完全相同的结果。（4）(5)8/10/2022127山东大学刘希明辅导物理竞赛【例题】在一根较长的绝缘轻质弹簧的两端各系一个带正电的小球，弹簧的原长为l0,弹性系数为k,两个小球的质量与荷电分别是m1、q1与m2、q2.整个空间外加均匀电场，电场强度为E。开始弹簧保持原长，方向沿着电场强度方向，两个小球静止。试求加入电场后弹簧的最大长度(忽略两个小球之间的相互作用)。m1q1m2q2kloE质心将做加速运动，两个小球相对质心静止或做简谐运动。可求出它们之间的距离

44、。8/10/2022128山东大学刘希明辅导物理竞赛 【解】系统受到外力是电场力，两个小球受到内力是弹性力，解决这个问题可以用不同的方法。首先分析质心的运动，系统受力是(1)质心的加速度是(2)静止平衡时质心到两个质点的距离分别是（3）在质心坐标系中，两根等效弹簧的弹性系数分别是(4)8/10/2022129山东大学刘希明辅导物理竞赛 设两球在质心坐标系中处于平衡位置时，其坐标分别是x1与x2,其平衡方程分别是(5)Cx2x1由以上各式求出(6)对这个结果做出讨论.(1)如果 ，两个小球在质心坐标系中的坐标就是原长，因此两个小球的最大距离就是l0,弹簧保持自然长度。(2)如果 ，则8/10/2

45、022130山东大学刘希明辅导物理竞赛表明处于平衡位置的两个小球，弹簧处于拉伸状态。亦即两个小球平衡位置处于原长的外侧。每个小球将在平衡位置附近作简谐振动，小球m1的振幅是x1-l10,能够达到的最远点c到质心的距离是2x1-l10.Cl10 x1aoc同样分析m2的情况，得到最远点到质心的距离是2x2-l20.求出两个小球的最大距离及弹簧的最大伸长是（7）8/10/2022131山东大学刘希明辅导物理竞赛(3)如果 ，则表明小球处于平衡位置时，弹簧处于压缩状态。平衡位置在初始位置的内侧。小球在此平衡位置附近作简谐振动，能够到达的离质心C的最远距离就是初始位置到质心的距离l10与l20,因此弹

46、簧的最大伸长是原长l0.Cl10 x1oca8/10/2022132山东大学刘希明辅导物理竞赛 【例题】两个完全相同的球面摆，一个栓在另一个的下面。两个摆球各自在一个水平面内做角速度相同的匀速圆周运动。设两根摆线与竖直方向的夹角都很小，而且在运动过程中两根摆线始终保持在同一个竖直平面内。在小角度近似下求此双摆系统做圆周运动的角速度以及半径的比例。【解】如图设摆长为l,质量为m,圆周运动的角速度为w,摆线与竖直方向的夹角分别为a与b,上下摆线的张力分别为T1与T2。小球还受到重力作用。则满足方程8/10/2022133山东大学刘希明辅导物理竞赛abT1mgT2mg第一种情况 (1)上面的质点力平

47、衡方程与圆周运动方程下面质点力平衡方程及圆周运动方程是(2)上、下小球圆周运动半径是8/10/2022134山东大学刘希明辅导物理竞赛由方程(2)消去张力T2，得到关系(3)联立方程(1)(2)消去张力T1与T2，得到关系(4)考虑到小角度近似因为要求角度a、b都不为零，由(5)两式分别解出由此(3)(4)写成(5)8/10/2022135山东大学刘希明辅导物理竞赛 上式右边两项相等，进一步化成由此解出角速度是把其中的 代入(5)式，得到夹角之间的关系 (6)这是图1所示的两个夹角都大于零的情况。(7)8/10/2022136山东大学刘希明辅导物理竞赛利用这个角度关系(7)，可以进一步求出上下

48、两个小球圆周运动半径之间的关系。(8)对于(6)式的另一个解 同样代入(5)式求出夹角是按照相同的办法求出两个圆周运动半径之间的比值是(9)(10)8/10/2022137山东大学刘希明辅导物理竞赛ab这个结果b20表明如图所示的物理图像。需要进一步从动力学角度分析。按照同样的分析写出图示的动力学方程。 可见只有取b0就得到第一种情况的方程。因此这种情况也是动力学允许的可能情况。8/10/2022138山东大学刘希明辅导物理竞赛事实上，直接由(5)式出发(5)可以直接求出夹角之间的关系进而求出圆周运动半径之间的比值。8/10/2022139山东大学刘希明辅导物理竞赛 【例题】单摆摆长为L，摆球

49、质量为m,从左侧与竖直方向夹角a处静止下摆，在右侧与悬点相距r、与竖直方向夹角b(b0，代入上式，求出初始角度a满足的条件是(4)【解】(2)讨论小球能够击中钉子Q的条件。 设小球初始绕钉子Q做半径L-r的圆周运动。在夹角为q0时张力为零，速度为v0。v0由下式给出(5)8/10/2022142山东大学刘希明辅导物理竞赛小球由此位置开始做斜抛运动，其初始速度分量分别为(6)v0Qq0L-r钉子Q在图示坐标系中的坐标是设在t时刻质点与钉子相碰，则两者的坐标重合(7)8/10/2022143山东大学刘希明辅导物理竞赛由此两式消去时间t,解出（8）联立(5)与(8)得到取为进一步讨论初始夹角a满足什

50、么条件，恰使小球与钉子相碰。把(9)式代入张力表示式(3)中，并令张力为零。(9)8/10/2022144山东大学刘希明辅导物理竞赛化整为求出两者能够相碰时初始角度为(10)8/10/2022145山东大学刘希明辅导物理竞赛 【例题】如图所示，固定的圆柱体半径R，一足够长的细绳长度L由圆柱体顶端A与质量m的小球P联结（L2pR)。小球P与圆柱体顶端A处在同一水平面上，细绳张紧。小球由此开始自由下落。下落过程中细绳与圆柱体相切于Q点。(1)求小球在轨迹最低点时的速度；(2)求绳子张力为零时小球的位置以及其他位置时张力的符号；(3)进一步计算张力为零后运动过程中小球达到最高位置时的速度。为了便于计

51、算，各量满足关系ARpA8/10/2022146山东大学刘希明辅导物理竞赛 PARqyQR(1-cosq)ssinq 【解】设某时刻小球连线与圆柱面切点为Q，半径OQ与PQ垂直，设与OQ与y轴夹角q,弧QA长度为Rq,设PQ的长度为s，则满足关系(1) 运动过程中,Q点做以O为圆心的圆周运动，设其速度为Rw,由(1)知细绳缩短的速度大小也就是Rw。设小球的速度为v,其方向与QP垂直。取A点为势能零点，小球由静止开始自由下落，则图示位置的势能为Ov8/10/2022147山东大学刘希明辅导物理竞赛机械能守恒得到方程(2)当qp/2时,小球达最低位置。由(2)、(1)求出此时的速度为(3)(2)计

52、算小球在运动中受到绳子的张力T.由(2)式求出小球一般位置时的速度是此时小球做以Q为圆心，半径为s的圆周运动。小球受到绳子的张力T以及重力mg的作用，满足方程(4)8/10/2022148山东大学刘希明辅导物理竞赛Tmgq把速度表达式(4)式代入上式，得到张力的表达式利用了基本公式再利用基本关系(1)式,上式张力又改写为Q8/10/2022149山东大学刘希明辅导物理竞赛(5)利用题设基本量满足的条件令(5)式的张力T=0，求出此时的临界角利用附加条件求出临界角(6)8/10/2022150山东大学刘希明辅导物理竞赛为了计算一般位置q 时T的大小，引入张力(5)式表示成 这是一个超越方程，可以

53、利用曲线相交方法求解T=0的解。Qp张力T=0vs8/10/2022151山东大学刘希明辅导物理竞赛y1y2qs0p/2p3p/22p角度范围y1-y2sinqT符号+-+0-0+-曲线y1与y2的交点给出T0的角度qs=9p/8,在其它角度q时张力的符号还与sinq有关，右表给出相应的结果。 由表可以看出，在范围qsqR,如果此后摆球m运动过程中细绳始终保持伸直，给出比值a=D/L的极小值。不计滑动摩擦力作用。MmLAhR8/10/2022157山东大学刘希明辅导物理竞赛mPQAOMhDq如图所示。设OA与OQ之夹角为q,PQ长度为s,初始时重物离切点高度为h,而细绳长度不变，有关系s(1)

54、 利用关系DaL,为方便，令l=L-D,则有(2) 重物M下降距离D后停止运动，系统机械能守恒。取最高点为势能零点，用E表示摆锤获得的机械能，则8/10/2022158山东大学刘希明辅导物理竞赛显然摆锤的机械能是(3)这个能量包括摆锤的动能与势能(4)求出摆锤的速度是(5)而摆锤做以Q为圆心，做半径s的圆周运动，满足方程是 (6)8/10/2022159山东大学刘希明辅导物理竞赛把(5)式代入(6)求出张力的表示(7)按照细绳始终伸直的要求，在任何位置张力都大于零。由此讨论满足的条件，为此引入函数(8)利用已知条件： ，上式成为(9)其中8/10/2022160山东大学刘希明辅导物理竞赛 由(

55、9)式可以看出f(q)的极小值是(10)把(10)代入张力表示式(7)中，得到张力恒大于零的条件是(11)移项后化成为8/10/2022161山东大学刘希明辅导物理竞赛进一步利用条件： ，上式的(12)得到张力恒大于零的关系把l=L-D=L(1-a)代入上式右边，得到由此不等式得到比值a满足的条件是(13)8/10/2022162山东大学刘希明辅导物理竞赛可见比值a=D/L的极小值是(14)8/10/2022163山东大学刘希明辅导物理竞赛【例】圆锥摆。摆长l,摆球质量m,绕竖直转轴旋转角速度为w，求绳子与铅直方向之夹角a与角速度之间的关系。malwmgTa分析力重力mg，张力T8/10/20

56、22164山东大学刘希明辅导物理竞赛列出方程可以求出讨论：当转动角速度w很小时，使得g/lw21，导致cosa而无意义！但无论w多么小，一定存在确定的a！问题的原因是(1)式两边除了可能为零的sina!(1)(2)8/10/2022165山东大学刘希明辅导物理竞赛方程(1)应该写成方程的解还包括结合(2)式得到三个平衡位置8/10/2022166山东大学刘希明辅导物理竞赛进一步讨论三个平衡位置的稳定性.研究摆球受力：绳子的张力T、重力mg以及惯性离心力把以上各力在切向投影,表成mgTaaa利用该式判断出在三个平衡点附近上式的符号。可以得到摆球夹角a稍微偏离平衡位置时受到的力是否加大偏离(不稳定

57、）或减少偏离（稳定平衡位置）8/10/2022167山东大学刘希明辅导物理竞赛 a0-0+p-p+_+_+_+可以看出：对于第一种情况在a=0附近，夹角减少时力为负的，促进进一步减少，夹角增加时力为正的，同样促进进一步加大，因此不是稳定平衡位置！8/10/2022168山东大学刘希明辅导物理竞赛mgTaaa总之得到稳定平衡位置是当当8/10/2022169山东大学刘希明辅导物理竞赛方程 中夹角与角速度的关系画出cosa关于w的曲线,可以得到 cosaw当 时,唯一的稳定解是a=0.当 时,存在两个可能的解.但a=p是不稳定的，另一个解是稳定的。108/10/2022170山东大学刘希明辅导物理

58、竞赛【例题】如图，质量为m的物块置于倾角q的固定斜面上，物块与斜面之间的摩擦系数m，mL0时，静摩擦力f0方向向下；L0方向向上。amgNL0(3)8/10/2022178山东大学刘希明辅导物理竞赛（2) LL0:如果L偏离L0开始减少，由(4)式得N也随着减少，导致Ncosamg,小环有下滑趋势，产生沿着杆向上的静摩擦力f，且f随着L的减少而增大，保证N与f的竖直分力与重力mg平衡(2)式成立。随N变少引起f增大，必然使得(1)中的向心力 减少，但圆周运动半径 也减少，能够因此能够维持稳定圆周运动。随着L的继续减少到L1时，静摩擦力取得极大值，小环开始滑动，此时摩擦力为mN。L减少,N减少,

59、静摩擦力f方向向上且随着增大。8/10/2022179山东大学刘希明辅导物理竞赛把 代入(3)(4)中求出这个极限位置L1是wamgNfL0 (5)(3)当L继续减少到LL0情况，当L偏离L0增大时，由(4)式得N也随着增大，导致Ncosamg,小环有向上滑动的趋势，产生沿着杆向下的摩擦力，此时N与f的竖直分力一起与重力mg平衡, N与f的水平分力提供圆周运动向心力。当到达极限位置L2时，静摩擦力变为滑动摩擦力f=-mN。8/10/2022181山东大学刘希明辅导物理竞赛把 代入(3)(4)中求出这个极端位置L2是(6)(5) 当L继续增大到LL2时， N也继续增大，最大静摩擦力f=-mN也增

60、大，但方向向下。此时N与f的竖直分力小环将继续上滑，运动不稳定 由此得到稳定运动的范围是 (7)8/10/2022182山东大学刘希明辅导物理竞赛fLL0LL2后小环上滑L1L28/10/2022183山东大学刘希明辅导物理竞赛【分析】(1)如果小球没有自转运动，由高h处落地时速度 经过极短的时间 在地面冲击力N的作用下，速度改变方向,速度大小为 依次反复，最后速度为零。【例题】实心刚性小球质量m,半径R，置于高h处初始速度为零，但以角速度w0自转，在重力作用下自由下落，与地面碰撞的恢复系数为e,摩擦系数为m。(1) 计算小球与地面碰撞后质心的速度及自转角速度。(2)小球第一、二次落地点之间的