宏观经济活动的度量 第04节 乘数与比较静态分析方法

1、PAGE PAGE 37办宏观经济学：斑原理与模型班第二章 蔼 半宏观经济活动的稗度量第四节 乘数归结与引子：暗从暗与绊的移动，引入乘跋数概念。跋前面的讨论中，八已经看到：曲线傲或曲线斑的移动会引起均爱衡收入水平翱的变化；而且上矮述移动均是由于安曲线方程中的某鞍个参数，也就是懊所论经济系统的隘“扳外生变量疤”碍的变动所引致的胺。板由此，引入专门吧的经济学概念熬伴乘数扒来描述之。瓣一、乘数的一般案定义（一）定义案设百为系统的内生变敖量（又称：决策邦变量），哎为系统的外生变摆量，若存在岸使得八，则称扳为按“熬乘数啊”懊。办（二）全微分与埃增量扮定义中，白为碍的全微分，而阿只是熬的另一种记法，把即蔼

2、的增量。芭由氨可见，外生变量版增加一单位引起坝内生变量敖（比如，均衡收俺入水平八）增大的倍数就啊是颁。百倍数，又称敖乘数（Mult绊iplier）翱。瓣（三）乘数的一芭个重要性质：乘疤数不少于半以后我们遇到的霸乘数均不小于把。鞍外生变量的增大盎会使均衡收入水傲平成倍地扩大？答：是的。巴以一个简单的例按子来观察乘数的柏作用过程与细节奥。败（本段供同学自班行阅读，即可形笆成直觉。）艾二、简单模型下颁乘数的作用过程矮与细节疤（一）条件（因俺）百展开：数学的一熬个困惑是，常有碍可能因果倒置。傲除了不考虑别国肮的存在外，我们瓣的简单模型还暂败时假定邦，从而吧；再假定般为外生变量，而般（按现设坝），外生变

3、量爱设为靶亿元。霸现在，如果由于疤某种原因，政府胺认为其购买应增安加到敖亿元，即政府购拜买增量白亿元，这对霸有何影响？般（二）乘数的作拔用过程1、第一时期，案政府购买的增加捌亿元就是对最终啊产品的需求量增安加哀亿元，由此使参袄与生产这些最终爱产品的人们的收矮入增加扳亿元。即政府购八买增加昂亿元直接导致整芭个经济系统收入哀水平增加癌亿元，记为班亿元（邦）。叭事情并不到此为巴止。2、第二时期，拜当人们拿到这新八增的熬亿元时会进行消把费。这样，新增板了一笔消费，其斑大小可按消费函叭数算得背亿元。这办亿元代表对最终伴产品的新需求量扒，由此使参与生敖产这些新需最终哎产品的人们的收艾入增加蔼亿元，从而整个

4、按系统的收入水平昂又增加半亿元，记为澳亿元（爸）。鞍事情还远未到此熬为止。3、第三时期，袄得到这8亿元的瓣人们又要进行消邦费。这样，又新疤增了一笔消费，罢其大小仍按消费扮函数可得矮亿元。这邦亿元代表对最终哎产品的又一轮的百需求量，由此使伴参与生产这一轮版所需最终产品的败人们的收入增加捌亿元，从而使整巴个系统的收入水阿平又增加艾亿元，记斑为瓣亿元（懊）。4、归结拜如此继续下去，癌政府新增的这笔袄购买（凹亿元）本身直接案引起的收入增加扮（隘亿元）以及继而爱带动对最终产品拌需求和生产所引哎起的收入增加合绊计之和为：5、求得乘数拔我们看到了，增癌加的政府购买皑使均衡收入水平笆的增加量（阿）不只是限于这

5、阿笔初始的政府购扒买增量蔼，而是该初始增班量的5倍！6、一般化啊我们不仅研究了把乘数的作用过程靶，而且从中求得跋了乘数的大小。吧不过，我们有更瓣一般的方法求得俺乘数。疤以下就介绍这一扳般的方法并去求办得几个常见的乘绊数（仍囿于简单罢经济模型）。俺三、基于简单经邦济模型中的几个般重要乘数埃（一）所基于的翱简单模型岸1、简单模型（蔼这个简单模型一办直用得着，要求把直觉出来！）（1）形式1稗由前已知，描述敖简单模型的方程蔼是：叭 半 伴（2.15）（碍重点！）（2）形式2澳 矮 版（2.16）（癌重点！）2、模型说明翱其中，暗为计划的意愿投半资，此时扮，在前面我们用澳的符号是敖，但为书写的方搬便今后

6、改写成凹，希望不致引起版混淆。艾现在我们来看看办，如何利用描述氨系统的方程，比岸如式（2.15澳）（用式（2.翱16）也一样）耙，去求得乘数。艾请注意：在简单拌模型中，邦与坝视作独立于按的外生变量。扳（在下一章较复按杂的更接近实际捌的模型中我们将案改变对邦的这种假定。）啊（二）政府购买邦乘数（当昂为总额税，即常颁数时）皑1、乘数的一般疤求法爱前面我们已经用扒一个数字例子从罢乘数作用的过程熬中求得了政府购搬买乘数。爸一般地，更为方矮便的方法是利用瓣式（2.15）板直接求得乘数。霸对式（2.15佰）两边求全微分柏：叭 拌 （2.17佰）（重点！）2、一些说明班（1）这里，办，即半；扮（2）外生变量

7、捌如果不变，则按；岸注意，我们在考把虑乘数时，只假挨定一个外生变量把，即考察对象的癌变化引起多少倍盎的挨的变化，而假定扮其他外生变量维肮持原值（守衡）安。疤（3）因拌为总额税，且在耙考察期它也不变胺，故哀也为熬。因而（4）结果翱所以，邦，即所求乘数为捌。（5）算例懊前面的数字例子安的乘数可马上由般乘数公式柏求出：霸（6）乘数的性按质昂注意到凹，该乘数必大于佰。隘（三）政府购买敖乘数（当拌时）1、条件扳现在讨论当税收懊函数为一般情况稗时的政府购买乘哎数。此时在式（靶2.16）中鞍, 唉仍为拜。2、乘数由此可得：皑即，此时的乘数昂为拜。3、讨论澳注意到拔和敖，不难验证，该懊乘数唉。板显然，当扳（从

8、而扒）时的政府购买袄乘数是现在情况靶（岸）下的特例。（四）税率乘数1、条件哀现在假定按，矮，称胺为税率，它是独拜立于靶的外生变量。为袄求税率乘数（即坝在其他外生变量版和背不变的情况下，挨的变化使稗变化的倍数）。般同样，对式（埃2.15皑）两边求全微分啊（注意先以把代入），因和不变，即。2、得乘数艾即，税率乘数（挨乘数）为稗。3、结论扮不难发现，背乘数是个负数。碍表明：败与熬的变动方向是相把反的。吧具体地，当税率摆提高（减少）时唉，均衡收入水平胺减少（提高）；哀反之则反是。敖第二章 思考版题靶1、分别说出什艾么是：均衡收入案，稳定性，节俭扮悖论，乘数。安2、试讨论挨与矮，隘之间的关系。按3、凹为

9、巴、败、敖或搬时，分别说出在办恒等式（2.1埃0）中两端各项背的具体意义。爸=澳=把=败=般=案=袄=按=附录：败宏观经济学中的版比较静态分析摆一、微分、全微熬分、偏微分、全把导数疤、白求导的肮隐函数法则和反肮函数法则（一）微分凹对于班一元函数凹来说耙，伴的微分背度量的是由于坝的微罢小变化奥所办引起柏的百的变化。捌 案比如，拌对于摆，熬的案微分拜可通过求般关于扮的坝导数白而得到懊，扮该导数度量由于邦的微小变化而引扳起的半的变化与吧的微小矮变化之比率坝。坝 懊 导数或凹变化率败接澳着邦，用皑的一个特定变化搬乘以该比率，以翱求板的变化埃。按 扒 叭 哎 耙微分或变量罢的改变量癌 搬=哀 挨由于瓣的

10、很小变化而引百起的拔的变化率板 熬斑 把的微小改变量例11岸1如果暗，则有熬及微分板2如果昂，则有阿及微分癌（二）啊全微分拌、澳偏微分岸对于两个或更多凹个自变量的扳多元阿函数瓣，背全微分伴度量的是由于每扮一个自变量的微啊小变化而引起的疤因变量的改变量霸。懊如果八，半全微分败的数学公式如下挨：挨 办 靶 叭 耙 (5拌11)邦其中，唉和癌分别是半关于班和白的颁偏导数扳，矮和吧是按和跋的微小改变量挨即，鞍全微分肮可以通过求函数佰关于每一个自变爱量的百偏导数摆并代入上述公式碍求得胺。昂例12 翱求败全微分1已知：昂 叭 扮将其代入公式，捌得到2已知：全微分是把如果其中的一个艾自变量为常数，傲例如袄，

11、则有扳全微分绊：坝偏微分度量的是柏：鞍当假设另一个自搬变量保持不变时氨，一个自变量的碍微小变化所引起颁的因变量的改变暗。（三）全导数拜现在我们研究这笆样一种情形：唉，而扮，即当扒和巴不是相互独立的扳变量时，氨的变化会通过函拔数柏对班产生直接的影响按，通过函数班对爸产生间接的影响肮。拜正如图5笆暗3中路径图所示吧，柏当澳和凹非相互独立时，敖要想度量伴的变化对矮的影响，必须给靶出笆全导数背的概念巴。笆全导数是敖对扳的直接影响鞍与通过氨对安的间接影响奥之和暗，颁即，氨全导数袄为伴 般 啊 败 (512肮)绊例13背 拜 皑求全导数的另一佰方法：八先求暗的全微分绊再将方程两边同扒除以皑 (在心里可以傲

12、这样想)胺，瓣于是有由于，有例14 已知爸其中拔，关于艾的岸全导数版为笆其中巴，和懊，代入上式俺有扒为了检验答案，昂可以办将版代入原函数得到哎关于哀的一元函数，然摆后求导数：所以，扳例15邦 皑全导数拌同样可以进行扩敖展以适用其他的氨函数表达式捌。癌对于碍关于靶的拜全导数拌则变成：其中，代入上式再将代入上式瓣（四）唉求导的隐函数法背则和反函数法则安1、求导的隐函凹数法则稗形如哀的函数用佰解析地表达出耙来，我们称该种按形式的函数为翱显函数疤。挨形如霸的函数不能由搬解析地表达出佰，称其为凹隐函数袄。矮如果隐函数扮存在且在隐函数半有定义的点附近隘，则懊隐函数坝的挨全微分为版。拔 岸 耙由于导数即微分

13、伴的比率，于是我罢们可以将之变形昂得到案求导稗隐函数法则哎：熬 板 哀 巴 盎 扳 摆 斑 (5澳13)巴不难发现导数办是其相应偏导数懊之比的负倒数翱。碍2、求导的反函敖数法则唉给定一个函数肮，如果每一个办都对应一个而且靶仅一个扒值，则其皑反函数芭存在，假设反函背数存在，则扮反函数的导数是疤原函数的导数的笆倒数巴，这便是扮求导的反板函数规则爱。氨所以，如果瓣是埃原函数胺，其导数为稗，矮反函数艾的导数是碍且有叭 爱 澳 疤 班只要 拔 疤 捌 (5. 1八4)矮见例16，例1奥7。埃例16班 已知艾隐函数班(a) 巴 埃 败 唉(b) 导数如下求得：佰(a) 由(岸513)有矮这里绊和颁代入上式

14、，绊 本例中绊的函数有意地安哀排的很简单，即凹可以解出罢，将按以矮表达，于是直接哀求导数斑。扳由于案，俺这样一来就很容案易地验证了答案疤。啊(b) 懊 哀 碍例17搬 求下列函隘数的邦反函数伴：1. 设，其中，所以2. 设，翱二哀、矮比较静态暗分析背经济学中的盎所谓百比较静态分析凹（碍即人们熟悉的比昂较静态吧）阿，是对奥经济叭模型的内生变量白由于外生变量或芭参数的变化所引霸起的不同均衡值俺或最优值百进行比较佰。敖经济学家可以利挨用比较静态澳分析方法氨进行皑经济变量间的影挨响程度袄估计，肮比斑如，可以估计消板费者需求对扳于岸政府制敖定的消费税、关捌税或补助金的反哎映程度，投资、稗政府支出或利率邦

15、的变化对国民收爸入的影响艾等等拌。蔼在按数学本质上讲扳，比较静态分析般的主要内容岸，巴其实般就蔼是拔求解半某种疤适拔当霸的导数鞍，并判断其代数跋符号拌。爸三靶、皑含有一个内生变澳量的比较静态癌特殊函数百和扳一般函数耙均翱可用于比较静态板分析按。安对于袄下面阿例1半中的昂具体函数皑（即特殊函数）邦情形，所要求的爸导数既可以用拌显函数半，也可以用安隐函数捌形式来求耙。艾对于例2扒中的半一般函数跋情形，暗则奥只能用俺隐函数拌一种形式求导数癌。埃当独立变量蔼（内生变量）敖不只一个时，用般类似的方式求偏蔼导数坝即可伴。昂例1 懊假设一种商品的板需求扳和供给拔由确定函数给出氨，用参数表示为板这里靶，罢，扮

16、。扮均衡条件癌为白代入上面的式子奥，求解爱均衡价格水平伴，摆可以得到办 耙 凹 巴 (熬132)八现在利用比较静鞍态分析，熬可以决定内生变蔼量哎的均衡水平因单板个外肮生哎变量(扳)或五个参数跋中任何几个的变疤化而如何变化，捌比较静态分析只耙需要求出所要求稗的导数并判断它俺的符号敖。背为了衡量均衡价靶格对收入变化的八反应程度，我们凹从斑显函数斑(132)斑得出拜 班 芭 奥 氨 败 安 败 (133哀)斑这意味着，在这班个罢经济啊模型中，消费者案收入的增加将导靶致商品的均衡价唉格的增加肮。由于疤参数的值是已知颁的，那么价格变班化哀受跋收入氨的具体按影响袄即可以估计出。稗比较静态同样可跋以很好地应

17、用于碍隐函数俺。袄把131的全熬部班项按移到左边，则板，或白超额需求俺等于零，我们可拜以得到均衡条件傲的胺隐函数疤：爱 板 霸 皑 叭 (13靶4)埃接着，利用隐函俺数半求导邦法则求比较静态澳导数。假设靶，皑从(134)哀可知，柏和啊代入并简化，捌有阿比较静态也可以版用来估计任何参岸数邦的变化对办的影响奥。瓣但是，由于它们啊仅描述需求和供拌给曲线的截距和斑斜率，因此，它啊们通常没有什么罢实际的经济意义半。败但是在其他靶某种半例子中，如收入翱决定模型，参数敖通常有经济意义澳，而且存在它们扳本身的比较静态蔼导数安。按例2 肮现假定一个般一般模型靶，商品的供求只柏由耙一般函数耙给出： 八均衡价格水平

18、拜可由需求等于供半给时得到：扳或者等价地，稗超额需求把等于零，八 版 捌 摆 矮 翱 (1般35)盎这时，只能利用挨隐函数哎求导按法则求比较静态百导数，假定挨，啊由(135)搬，皑和扒代入，板 根据供拌给定律，我们总隘是期望岸。巴如果商品是凹正常商品昂，那么扒且哀。爱代入上式，在正拌常商品情况下有疤如果商品是拌劣质稗品碍，但不是吉芬商稗品，那么搬且白，因此扮；翱如果商品是拌吉芬商品扮，那么捌和埃，导数的符号不肮定，取决于分母岸的符号笆。例3拜假设一个两部门矮经济的碍收入决定模型，扳这个经济中叭，消费依赖于收巴入，投资是自控霸的，因此柏当澳时，产生均衡耙。芭(a)求出拔均衡埃收入水平笆的显示表达

19、式盎。胺(b)利用比较奥静态估计自控投埃资碍的改变对罢均衡收入绊的影响案。八(c)拔从隐函数找到同巴样的比较静态导版数。解：(a) 由 代入靶 把 矮 靶 摆 (13案13)爸 柏 伴 绊 傲 昂 隘 伴 败 柏 哀(1314)翱(b)自控投资澳的变化对芭的影响是因为阿(c) 把(搬13. 13)半式都移到左边，吧我们得到隐函数半 爸 敖 办 板 佰 班 (1315唉)扳 在通常耙假定下根据隐函按数法则哀 这肮里埃和埃因此，唉四癌、含有多个内生摆变量的比较静态跋在含有多个内生拌变量的凹经济阿模型中，比较静隘态要求每一个内癌生变量都有惟一傲的办均衡条件按成立癌，袄有绊个内生变量的系版统一定有把个

20、败均衡条件罢。唉要想扳刻画岸某个外生变量对傲任何或所有内生百变量的影响，拜首先求出每个凹均衡条件扳关于该外生变量隘的袄全导数唉，胺然后澳再联立求出所要岸求的偏导数百。熬如果函数有连续阿导数，且由所有碍函数的关于外生扮变量的偏导数组伴成的雅可比行列哀式不为零，则由扳隐函数定理佰：内生变量的最阿优值可以表示为疤外生变量的函数阿，八而且比较静态导板数可由克莱姆法搬则求得唉。拌例3败 艾为了表示的简化案，假定模型只有稗两个内生变量笆和邦两个外生变量版，且为隘隐式广义函数般，在唉隐式广义巴函数中先列伴写袄内生变量，再列埃写半外生变量，用分哀号把前者和后者安分开捌。扮（当然，哎模型可以很容易版地摆扩展到任

21、意多个癌内生哎变量拔和任何多个板外岸生按变量澳，这里矮不必等于扒。把）稗为求得系统关于柏外生败变量懊的芭比较静态偏导数拜，般首先癌，改写隐函数，矮其次，笆求出两个函数关凹于爱的翱全导数柏，八写得板更为半详细一些，奥由于内生变量单挨一地依赖于外生艾变量奥，所以全导数也俺可写芭成耙，凹用短横表示案均衡值敖，代入、整理并暗用矩阵记号表示胺为爱假设所有函数有熬连续一阶和二阶芭导数，而且所有埃函数(奥)的关于所有内胺生变量(绊)的由全部一阶绊偏微分构成的雅绊可比行列式败不等于零，斑即霸利用克莱姆法则埃求解关于佰的霸比较静态导数叭。扮特别地，假定隘，氨则该巴比较静态导数瓣为奥 把 捌 笆 爸 爸 (13.

22、6按)坝因此，为了求解拌比较静态导数扒，我们用向量班替换傲的第一列，构造澳一个新矩阵捌，然后代入上式阿(136)熬 氨 同样地，笆 颁 巴 案用类似方法，可按以得到关于唉的偏导数般。岸例4耙 把假设产品斑市场(笆曲线)和货币市板场(瓣曲线)的均衡分板别由下面式子给案出胺 唉 疤 (1柏37)阿 背 罢 扒 懊(138)搬这里，叭=货币需求，版=货币供给，皑=自控消费，蔼=价格水平，它白使八成为货币实际供案给而不是名义供唉给矮。败为了简化，让瓣保持不变背。白的变化对把和俺的均衡水平的影熬响用比较静态懊分析隘说明如下：敖(a)求出均衡斑条件(137八)、(138斑)关于所需的外扳生变量的爸全扒导数

23、，这里的外巴生变量是伴首先，巴重写隐函数，搬其次，八求隘出哀关于外生变量半的全导数，整理，肮(b)用矩阵形唉式表示 般(c)接着，检昂验以确定耙雅可比行列式班，使隐函数定理爱成立八。笆应用符号， 爸 坝因此，熬，所以隐函数定扮理的条件得到满拜足佰。绊(d)通过用向癌量昂替换矩阵八的第1列来构造奥一个新的矩阵邦，并代入(13版6)来求解一氨阶偏微分，拌。因此，稗即，邦自控消费半的增加将导致收岸入的均衡水平的跋增加。般(e)通过用向蔼量癌替代背的第二列构造绊，并代入(13柏6)，求解第啊二个偏微分爱。和坝即，按的增加也将导致哎利率的均衡水平班的增加哎。背的改变对拌和拜影响挨请见下题肮例4（+）背鞍

24、例佰4（+）啊 伴假定例4中模型拔利用比较静态分拔析，货币供应氨的变化对佰和岸的均衡水平的影癌响，要求氨是常量。吧解：吧求出关于唉的凹全白导数八，班把它们设置为矩挨阵形式这里艾接着，唉构造一个新矩阵吧行列式暗，求解一阶微分扮。和斑即，盎货币供应扮的增加会导致收隘入的均衡水平的伴增加唉。对于，和熬即，扳的增加将导致均伴衡利率的下降。拜五哎、优化问题的比半较静态岸经济学家除了关扒注模型的外生变暗量对伴内生变量敖均衡值摆的影响外，还经颁常对外生变量对扒优化问题的班最优值懊的影响感兴趣。伴由于胺最优值是由一阶矮条件得到的，所跋以只要将比较静瓣态分析傲应用到一阶条件佰上就能办到。而阿一阶条件是由一办阶导

25、数构成，可啊见班优化扒问题的比较静态拔与二阶导数和海拌赛行列式有直接敖关系。半例5巴 柏一个价格接受的唉公司有案严格凹的生产函胺数败。碍给定佰=产品价格，霸=资本的租用率傲，傲=工资，它的利翱润函数是胺 为了得巴到班一阶优化条件罢，如果我们求导搬数跋和扮，并把它们表示爱为隐函数，有氨这里，把一阶导敖数版和伴赋值为利润函数背的颁最优值昂吧通过这些一阶条办件，我们可以利凹用如下的比较静半态，决定外生变鞍量爸的变化对内生变般量扳的最优值的影响霸：傲(a)求出一阶胺条件把关于任意一个外把生变量的全癌导数，并写成矩佰阵形式把。搬这里般研究资本的租用般率啊（利率）澳对内生变量的影皑响。重写隐函数，摆求关于

26、外生变量昂的瓣全导数蔼，写成矩阵形式一般地或特殊地，半设扳二阶充分条件啊满足，即敖，那么阿。安这里我们注意到芭，当从一阶优化坝条件的一阶微分疤求比较静态导数班时，有板，为了优化一个佰(2傲巴2)系统，我们哎也要求耙。扮(b) 因为懊，且假定一阶和埃二阶微分连续，爸则隐函数原理的半条件成立，于是白我们可以利用克伴莱姆法则来求得氨所有的导数哀。唉这里，案，因为我们假定版生产函数是严格版凹的癌，意味着在整个袄定义域都有胺，我们也从微观肮经济学芭原理知道，追求凹利润最大化的公伴司仅在成本的边百际投入生产率下扳降处进行生产敖，吧因此在生产的最板优水平点，捌。同样地，我们有疤 为了确白定这个扮比较罢静态肮导数败的符号，需要知班道交叉偏隘导数案的符号，它表示背资本变化对劳动暗力吧的边际生产率的蔼影响埃。办如果假定它是正斑的，则分子的符坝号是负的阿，伴所以，利率的增佰加将导致劳动力拌使用的下降阿。啊至于工资哀变化对哀，鞍的影响，见下搬题邦。袄例6 埃返回到例5的模盎型，这里邦的八一阶条件是安 白 版 翱 搬 按 敖(a)用矩阵形爸式表示函数关于百工资拌的全斑导数，皑然后求出下列偏芭导数并注明其符扒号板。(b) (c) 解：（a）重写隐函数，岸求关于外生变量暗的全导数，写成矩阵形式，一般地，特定地，(b)对于，捌的符号取决于肮的符号鞍。傲假定资本的边际扮生产率因劳动力唉的增加而增加