2025北京清华附中高二(上)期中数学试题及答案

高中2025北京清华附中高二（上）期中数学（高24级）2025.11第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.在正方体中，下列直线与异面的是（）A. B. C. D.2.已知，，，若，则（）A. B. C. D.3.已知球的半径为，圆柱的底面半径为，高为，则球的表面积与圆柱的表面积之比为（）A.1:1 B.2:3 C.3:4 D.1:24.已知函数，则（）A. B.C. D.5.已知平面，两条不重合的直线，.“”是“存在直线，”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件6.在正方体中，为的中点，则与所成角的大小为（）A. B. C. D.7.已知数列满足：，对于任意的，有，，则（）A.5050 B.50 C. D.8.函数，.设的最大值为，最小值为，当，，在变化时，的最小值为（）A.1 B.2 C.4 D.89.在正四棱锥中，，侧面与底面所成的角的正切值为2，记正方形及内部区域为，则表示区域的面积为（）A. B. C. D.10.定义：已知数列，，，若，，使，则称，互为阶友好数列.已知为无穷项等差数列，是数列的前项和，是公比为的无穷项等比数列，，.下列说法正确的是（）A.若，则，，互为5阶友好数列B.若，则，，互为5阶友好数列C.若，则，使，互为4阶友好数列D.若，则，使，互为4阶友好数列第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域为___________.12.已知平面，两条不重合的直线，，，给出三个论断：①；②；③.以其中两个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个正确的命题______________.13.轴截面为正方形的圆柱形容器，其底面半径为cm，在该容器内放入一个半径为cm的实心铁球后，该容器最多还能装的水，则______________.14.设，关于的方程的实根个数记为，若，则______________；已知，若存在使得，则的取值范围是______________.15.如图，在棱长为2的正方体中，点，分别在棱，上，且，点为的中点，给出下面四个结论：①；②存在，使得是钝角；③当时，的面积取得最小值；④当时，平面截该正方体的表面所得的截面为六边形.其中正确结论的序号为____________.三、解答题共6道小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.已知函数，，.（1）求的值；（2）求的单调递减区间；（3）函数在上的零点个数恰为2个，求实数的取值范围.17.在四棱锥中，底面为正方形，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）若平面，，求直线平面所成角的正弦值.18.在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为.已知.（1）求角；（2）已知，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一.求的面积.①；②；③周长为.19.如图，在三棱柱中，侧面底面，为中点，过点，，的平面与交于点，，，，（1）求证：为中点；（2）设是线段上一点（不包含线段端点），若平面与平面所成的角是30°，求的值.20.已知函数.（1）求的最大值；（2）曲线在点处的切线为，除切点外，在曲线的上方，求的取值范围.21.已知整数，行列的数表满足：对任意的，都有，且数表中所有数字之和为0.记为所有这样的数表构成的集合，记，分别为的第行各数之和，第列各数之和.（1）已知数表，求，；（2）证明：对任何表，，，，，，，，，，中必有两个相等；（3）设数表，记，，…，，，，…，中的最小值为，求的最大值.

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.题号12345678910答案CDBAABDCDD第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分.11.【答案】由，得，所以函数的定义域为，故答案为：12.【答案】，的方向向量为，平面的法向量为，①②③因为，所以，又，所以，即，又，所以，又因为所以；①③②因为，所以，即因为，所以，所以，即；②③①若，，则，或相交，或，不成立故答案为：①②③或①③②13.【答案】依题意可知，，得，得.故答案为：614.【答案】令，函数的值域为，并且函数是单调递增函数，故方程，只有一个解，故，可得；当时，即，的图象如下，显然存在使得；.当时，即，的图象如下，要想存在使得，只需，即,得.综上所述，的取值范围是.故答案为：.15.【答案】对于①，连接，因为，，，平面所以平面，平面，所以，故①正确；对于②，以点为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，若是钝角，则，即，解得，又因为，且，故存在，使得是钝角，故②正确；对于③，当时，，，，点到直线的距离，则的面积为，因为，所以无最小值，故③错误；对于④，当时，分别延长相交于点，过点做分别交于于点，连接，过点做，连接，则平面与该正方体的表面的交线分别为，即平面截该正方体的表面所得的截面为六边形，故④正确.故答案为：①②④.三、解答题共6道小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.【答案】（1），.因为，所以.（2）于是.设，.解得，.因此的单调递减区间为，.（3）因为，所以.因为函数在上的零点个数恰为2个，所以.解得.即.17.【答案】（1）取中点，连接和，因为，分别为，的中点，所以.在正方形中，，因此.又因为，，所以，于是四边形是平行四边形，因此.又因为平面，平面，所以平面；（2）因为平面，四边形为正方形，所以，，两两垂直，不妨设，如下图建系，由题知：，，，，，.于是，，.设平面的一个法向量为，于是，令，则，于是是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，于是，因此直线与平面所成角的正弦值为.18.【答案】（1），（2）选①化简，由正弦定理知，，选②因为，所以不存在.选③周长，，由余弦定理，，故，解之，.19.【答案】（1）在三棱柱中，平面平面，而平面平面，平面平面，得，，，为中点，为中点.（2）连接，且为中点，在中，由余弦定理可知：故在中，，即，平面平面，且平面平面，平面，得平面，故，，两两垂直，如图建系，由题知：，，，，平面的一个法向量，设，其中，设平面的法向量，令，，，故即，解得或（舍），故.20.【答案】（1）定义域为，因为所以.令，则.因为20极大值于是；（2）已知为参数，，在处切线的方程为.设.除切点以外，在上方等价于，.当时，由（1）可得，所以.注意到当时，.当充分大时，一次函数的取值为正.所以当充分大时，，因此不合题意.当时.由（1）可得，，.因此符合题意.当时.由（1）可得..①若，则，于是.②若，令，则，于是在上单调递减.注意到，令，则.于是由①，②可得0极大值于是，且，.因此符合题意.综上所述，的取值范围是.21.【答案】（1），；（2）证明：假设存在数表，，…，；，…，两两不相等.由，，…，；，…，.由条件，.而，所以除0之外，，，…，4，5在，…，；，…，中均恰出现1次.不妨设，则的第1行全为1，，…，，所以，不妨设，，则的第2行全为，从而，…，，所以，不妨设，但，所以.与，…，；，…，中不出现0矛盾.综上，对任何数表，，