7中学数学逻辑基础

1、 中学数学教学论青岛大学师范学院数学系 李明兰 第七讲 中学数学逻辑基础概念判断推理与证明7.1 概念一、概念的含义 概念是反映事物的本质属性和特征的思维形式。它反映的是一类具有共同属性的事物的全体。如：圆，三角形，偶数等等。注:（1）正确的概念是经过科学抽象得到的。（2）概念是发展、变化的；如，函数，切线等。定义1 （1718年，Johann Bernoulli ,1667-1784)由变量和常量所组成的式子叫做函数定义2 ( Leonhard Euler )解析表达式叫做函数定义3 （1755年，欧拉又给出了下列定义)如果某些变量以这样一种方式依赖于另一些变量， 即当后面这些变量变化时，前

2、面一些变量也跟着发生变化，则称前面的那些变量是后面这些变量的函数.定义4 （19世纪法国数学家A.L.Cauchy给出的）有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在某个范围内任意变化，这样的变量叫做自变量. 另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量叫做因变量，并且称因变量为自变量的函数. 定义5 （19世纪德国数学家G.F.B.Riemann,L.P.G.Dirichlet给出的）在某变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应关系，y都有唯一确定的值和它对应，那么就把y称为x 的函数：x称为自变量.定义6（ 19世纪德国数学家G.Cantor给出

3、的）A 和B是两个集合，如果按照某种对应关系，使A的任何一个元素在B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应关系称为从集合A到集合B的函数. 定义7 从集合A到集合B的映射f：A B称为从集合A到集合B的函数.简称为函数f.（3）概念是用语词表达的。但二者并非一一对应。语词是概念的语言形式，概念是语词的思想内容。同一个概念可以用不同的语词表达。如“非负整数”“自然数”；“矩形”、“长方形”；“等边三角形”、“等角三角形”、“正三角形”。二、概念的内涵和外延概念的内涵是指概念所反映对象的本质属性。（质） 概念的外延是指具有概念所反映的本质属性的对象的全体。（量）举例：偶数，平行四边形，等腰三角形等三

4、、概念间的关系（是指外延间的关系）根据概念的外延集合是否有公共元素，将概念间的关系分为相容关系和不相容关系。1、相容关系两个概念的外延集合有公共元素.（1）同一关系两个概念的外延完全重合。如“矩形与长方形“；“等边三角形与正三角形“；“等腰三角形底边上的高”与“等腰三角形顶角平分线”。（2）属种关系若概念甲的外延完全包含在概念乙的外延之中，则甲与乙的关系是属种关系。外延大的概念称为属概念，外延小的概念称为种概念.如四边形、平行四边形、矩形、正方形注：1）属概念与种概念是相对而言的. 2）具有属种关系的两个概念具有反变关系.概念的内涵和外延间的关系（反变关系）：当内涵增多时，外延就减少，内涵减少

5、时，外延就增多。例如：在“平行四边形”概念的内涵中增加“两邻边相等“的属性，就得到了外延小的“菱形”概念；在“平行四边形”概念的内涵中减少“两组对边分别平行”的属性，就得到了外延大的“四边形。” （3）交叉关系两个概念的外延有且只有一部分重合。如菱形和矩形，等腰三角形和直角三角形，正数和整数2、不相容关系两个概念的外延集合无公共元素。（1）矛盾关系在同一属概念下的两个种概念，若具有不相容关系，且它们的外延之和等于属概念的外延。如有理数和无理数相对于实数来说是矛盾关系。（2）反对关系在同一属概念下的两个种概念，若具有不相容关系，且它们的外延之和小于属概念的外延。如锐角三角形和直角三角形相对于三角

6、形来说是反对关系。五、概念的定义概念的定义是准确地揭示概念的内涵或外延的逻辑方法。1、定义的结构与形式结构：一个定义由三部分组成：被定义项、定义项和定义联项（联系词）。定义的形式： 是（叫做，等于，称为） 例如,“邻边相等的矩形是正方形”是正方形的一种定义,在这个定义中,“正方形”是被定义项,“邻边相等的矩形”是定义项,“是”是定义联项。2、下定义的方法（1）属加种差式定义：被定义项=种差+邻近的属如有一个角是直角的平行四边形叫矩形。“平行四边形”是“矩形”邻近的属，四边形，多边形尽管都是平行四边形的属，但不是最邻近的。又如，方程就是含有未知数的等式。（2）发生式定义：有的定义中种差是被定义概

7、念所反映的对象产生或形成的情况，这种形式的定义称为发生式定义。如：圆是由一定线段的一动端点在平面上绕另一个不动端点运动而形成的封闭曲线。另外还有角、圆柱、圆锥、球等等。 （3）关系式定义： 以被定义概念所反映的对象之间的关系作为种差下定义的方式。 如：大于直角而小于平角的角叫钝角。 又如：b(b0)整除a，就是存在一个数c，使a=bc成立（a.b.cZ）（4）外延式定义：有些概念的外延是单一的或几个简单明了的对象，这时可直接揭示外延，用并列的几个种概念给属概念下定义的方法。 如：有理数和无理数统称为实数。 有理数是正整数、负整数、正分数、负分数和零的统称。约定式定义： （5）递归式定义：被定义

8、项与自然数性质直接有关时可用此定义方式。只适用于与正整数有关的概念。如，实数a(a 0)的n次幂 （6）公理式定义：（7）词语符号式定义： “”表示全等、“”表示垂直。3、下定义的规则（1）定义要相称被定义项的外延与定义项的外延必须完全相同,不能扩大,也不能缩小,也就是通常说的不能过宽也不能过窄。 定义过宽,就是定义项的外延大于被定义项的外延。例如:无限小数叫无理数。此例犯了定义过宽的逻辑错误。例中的定义项“无限小数”的外延大于被定义项“无理数”的外延。因为无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数,而无限循环小数就不是无理数。定义过窄,就是定义项的外延小于被定义项的外延。例如:各角为直角的菱形

9、是矩形。此例犯了定义过窄的错误。定义项“各角为直角的菱形”的外延小于被定义项“矩形”的外延。（2）定义不能循环定义项中不能直接或间接地包含被定义项。循环定义常有以下两种情况：恶性循环。在一个科学系统中,如果把概念A作为已知的概念来定义概念B,但又用概念B来定义概念A,这种逻辑错误叫做定义恶性循环。例如,相交成直角的两条直线叫做互相垂直的直线，反过来，一个角的两条边如果互相垂直，这个角就叫做直角。词语反复。用被定义概念的简单重复来定义被定义的概念,即用自身定义自己,这种逻辑错误叫做词语反复,结果是什么也没有说清楚。以下几例都犯了词语反复的错误。如：互质数就是互为质数的数。又如：基础知识就是最基础

10、的知识。 （3）定义应当确切、简明、完整在定义中不能用比喻或含混不清的概念,不应列举非本质属性,不应含有多余词语,也不能漏掉必须的词语。 “确切”：是指定义不能似是而非。如：“圆内接多边形就是顶点在圆周上的多边形”“无穷小是很小很小的数”. “简明”是指定义中既不能包括互相推出的本质属性，也不能有多余的词语。如：两组对边分别平行且相等的四边形叫平行四边形。“完整”是指不能漏掉必须的条件。如：有一条公共边的两个角叫邻角。（4）定义一般不应包含负概念反映某一对象不具有某种属性的概念叫负概念.如：不是有理数的实数叫做无理数.但有时也允许用否定形式。如：同一平面内不相交的两条直线叫平行线。4、原始概念

11、：数学中不定义的概念。在一个科学系统中每给一个概念下定义,都要用一些已知的概念来定义新概念,这样就构成一个概念的序列。但概念的个数是有限的,所以在这个概念的序列中总有一些概念是不能引用别的概念来定义它的,这样的概念叫做在这个科学系统中的原始概念。 如：点、线、面、体 等等。六、概念的划分（分类）：1、划分就是将一个属概念根据一定的标准分为若干外延不相重合的种概念。它是揭示外延的逻辑方法。划分的三要素：母项、子项、标准。2、划分的种类一个正确的划分,通常由三个要素构成,即母项、子项和划分的依据。母项是划分的属概念,子项就是划分所得的种概念,划分的依据就是划分时所依据的标准。（1）二分法。（2）一

12、般划分方法。三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形正整数零正分数负整数整数分数负分数有理数3、划分的规则划分应当是相称的。子项必须互不相容。每次划分只能用一个标准。划分不能越级。七、数学概念的学与教1、数学概念的学习从理解学习的角度来看，掌握数学概念不在于能否简单地用数学语言将数学概念表达出来，而是真正理解概念的内涵和外延，表现为能对数学对象进行识别和归类。（1）概念的内在表征形式在数学概念学习的过程中，用自己能够接受和可以储存的形式对概念的本质属性或特征进行理解，称为概念的表征。现代认知心理学的研究表明，概念表征主要有样例表征和语义表征两种形式。样例表征是指学习者通过各种样例逐渐归纳出事物的定

13、义特征。一般而言，样例表征形式下的概念与对数学对象的知觉或表象有关。语义表征是指学习者通过语义的理解而获得概念的内在本质属性。语义表征可以使认识主体克服认识事物受表面知觉影响的局限，而更关注事物的本质。所谓获得概念是指掌握了概念的内涵和外延，也就是掌握了概念的本质特征及其范围，并能够识别具有这种本质特征的同类事物。学习数学概念的基本方式有两种：概念形成和概念同化。概念形成是学习者在对客观事物的反复感知和进行分析、类比、抽象和基础上，概括出某一事物本质属性的过程。概念的同化是指在以定义的方式直接提出概念的学习条件下，学习者利用已有的知识，主动地与原有认知结构中的有关概念相联系，从而掌握概念的方式

14、。（2）数学概念的获得过程概念形成概念形成是学习者在对客观事物的反复感知和进行分析、类比、抽象的基础上，概括出某一类事物本质属性的过程.概念形成的心理活动过程包括以下几个阶段：（1）辨别不同的刺激模式.（2）分化和类化各种刺激模式的属性.（3）提出和验证假设.（4）把新概念的本质属性推广到一切同类事物.（5）用符合习惯的数学语言或符号表示新概念，即形式化.概念同化概念同化是指在以定义的方式直接提出概念的学习条件下，学习者利用已有知识，主动地与原有认知结构中的有关概念相联系，从而掌握概念的方式.以概念同化方式学习数学概念的心理活动大致包括以下几个阶段：（1）接受概念的定义、名称和符号的信息；（2

15、）建立新概念与原有概念实质性的联系，把新概念纳入到已有的认知结构中；（3）通过辨认概念的肯定例子和否定例子，使新概念和原有概念精确分化。也有的心理学家把有意义的学习分为下位学习（类属学习）、上位学习（总括学习）和并列结合学习三种类型。下位学习就是把新知识归属于认知结构的某一适当部位并使之相互联系的过程，由于认知结构中原有的有关观念的包摄和概括水平高于新学习的知识，因而新旧知识所构成的这种类属关系又称为下位关系，所以这种学习称为下位学习。几何概念的掌握大多是属于这种情况，是以自上而下为基础的。例如：先学习多边形概念，再学习三角形、四边形概念；先学习一般三角形的概念，再按边分类按角分类学习其中的特

16、殊三角形概念。下位学习实际上是一种同化过程。上位学习是一种从下而上的学习，就是要在几个原有观念的基础上学习一个包摄或概括程度更高的概念，由于新学习的概念在概括程度上高于原有观念，所以这种学习可以称为上位学习。如在学习了二次函数的极值，三角函数的极值等基础学习一般函数的极值概念。上位学习实际上是一种顺应过程。2、数学概念的教学 数学概念教学的根本任务是： 正确地揭示概念的内涵和外延,使学生深刻理解和牢固系统地掌握概念,灵活地运用概念。 为了达到这样的要求,可从以下几个方面进行概念教学。 （1）了解概念的体系认识论原理告诉我们，人们不可能一次性孤立地认识一类事物的本质特征，而是用联系的观点，并且要

17、经历一个由感性到理性的发展过程。因此我们应把概念放到体系中去考察，即在讲授一个概念时，要弄清楚学习这个概念需要怎样的基础，分析这个概念以后有什么用处，它的地位和作用如何。（2）重视概念的引入提供现实原型（以感性材料为基础引入新概念） 实物，图示，模型等从数学内在需要引入新概念用类比的方法引入新概念利用某些概念间的相似之处，通过类比，明确其内在的异同，从而引入新概念。（3）概念的明确和理解明确概念的内涵和外延。剖析概念的本质属性，准确理解概念的定义。明确概念的表示，特别是符号表示，注意符号的意义及使用符号的条件。另外，在几何教学中，除注意符号外，还得注意图形的教学。要排除“标准”图形，妨碍学生正

18、确掌握概念。要变更图形，排除可能引起的误解。认清概念间的关系，掌握概念间的逻辑联系，使知识系统化、条理化。（4）概念的巩固和运用心理学原理告诉我们，概念一旦获得，如不及时巩固，很快就会被遗忘。巩固概念，首先应在引入、形成概念后及时进行复述，以加深对概念的印象；其次应重视在发展中巩固；第三是通过概念的应用来巩固（使用概念解答一些问题）概念教学的一般过程（1）引入概念；（2）给概念下定义；（3）逐字逐句讲解概念（4）揭示概念的内涵和外延；（5）巩固概念数学概念教学设计中应注意的几个问题：P108-1137.2 判断（命题）一、 判断1 . 判断与数学判断判断是对客观事物的一种认识,是对客观事物有所

19、肯定或否定的思维形式。判断有真有假。如果一个判断能如实地反映客观事物,在质和量上都能正确地反映客观事物的真实性而无虚设,那么这个判断就是真判断,否则就是假判断。数学判断是对空间形式和数量关系有所肯定或否定的思维形式。例如,“正数都大于零”；“等角的余角相等” ；“56”；“x1”；ABCABC”等都是数学命题。根据命题结构差异,往往把命题分为简单命题和复合命题。 2 .简单命题与复合命题（1）简单命题简单命题就是不包含其它命题的命题。简单命题可分为性质命题和关系命题两种。 性质命题 断定某对象具有或不具有某种属性的命题。例： 一切正方形都是平行四边形; 分数都不是无理数; 有些负数是整数; 有

20、些整数是完全平方数。关系命题断定对象与对象之间的关系的命题。例：所有正数都大于零; 直线a平行于直线b。 （2）复合命题 复合命题是由两个或两个以上的其它命题被逻辑连接词结合起来而构成的命题。 常用的逻辑连接词有否定、合取、析取、蕴涵、当且仅当五种。3.命题的四种基本形式及关系对于同一对象,可以作出四种形式的命题.原命题;逆命题;否命题;逆否命题.例如,以命题“对顶角相等”为原命题逆命题：“相等的角为对顶角”；否命题：“非对顶角不相等”；逆否命题：“不相等的角非对顶角”。 二.数学命题数学命题是对空间形式和数量关系有所肯定或否定的思维形式。数学命题一般由条件(前提)和结论两部分组成。1、公理、

21、定理（1）公理 人们经过长期实践证实了的不加逻辑证明而作为推证根据的原始命题称为公理。如“两点确定一条直线”、“不共线的三点确定一个平面”等都是数学公理。（2） 定理 用逻辑推理的方法证明是正确的命题叫做定理。例如,“平行四边形的对角相等”、“三角形内角和等于180”、“圆内接四边形的对角互补”等都是数学定理。由公理或定理比较容易地直接推出来的定理叫做推论或系。（3）定理的结构及分类定理由条件(题设或已知)和结论(题断或求证)两部分组成。定理分为简单定理和复合定理两大类。 简单定理条件和结论中所含事项都只有一个的定理称为简单定理。例如,定理“同一个三角形中,大角对大边”中的条件和结论都只有一个

22、,此定理是简单定理,用记号表为:在ABC中,BC，则ACAB。 复合定理 条件和结论中所含事项不只是一个的定理叫做复合定理。例如,定理“等角的补角相等”中的条件有三个,结论有一个.若AOB=AOBBOC+AOB=180BOC+AOB=180则BOC=BOC（4）逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么这个逆命题叫做该定理的逆定理。怎样制作定理的逆定理呢?我们分两种情况进行研究。若一定理是简单定理只要把该定理的条件和结论交换位置,可得到该定理的逆命题,再证明这个逆命题,如果它是正确的,那么这个逆命题就是原定理的逆定理。 若一个定理是复合定理一般应在定理的条件和结论中各取出同样多的事项,进

23、行交换就可得到该定理的逆命题,再证明这些逆命题,其中正确的便可作为原定理的逆定理。一个复合定理有多少个逆命题呢? 若一个复合定理的条件有m个事项,结论有n个事项,把定理写成下面的形式:再把条件和结论从同样多的个数进行交换,就组成了该定理的逆命题。这样组成逆命的数有 其中，k=min(m,n)。 例如命题：在圆内，弦的垂直平分线必经过圆心且平分这弦所对的弧。例如,复合定理“在直角三角形中,30的角所对的直角边等于斜边的一半。”三、数学命题的教学数学中的公理、定理、公式、定律、性质和法则等都是数学命题。重点研究公式、定理的教学公式、定理是进行正确推理的依据。它的教学要求是:（1）使学生必须切实认清

24、它的条件和结论，理解掌握具体内容和表达形式，掌握公式、定理的证明方法，明确公式、定理的功能和运用范围；（2）使学生了解公式、定理有关命题的关系，掌握它们的系统性，能作适当的推广；（3）使学生能熟练地运用公式 、定理进行推理证明及解决实际问题。 公式、定理的教学：1、公式、定理的引入（1）发现式引入即通过实践去发现。在教学过程中一般不要先提出命题的内容，可选用实验（设计实验）、演算（计算）、作图、设计问题等不同做法，引导学生动手、动脑，独立思考，通过分析、归纳，估计出命题内容，然后再设法证明，获得定理。如，“三角形内角和定理”，可以通过剪纸法把三角形的三个内角拼成一个平角来发现定理；“球的体积公

25、式”可通过细沙试验来设计；“数的运算规律”可通过计算结果来发现。等等。（2）过渡性引入新定理或公式常可通过旧知识过渡迁移而引入。如勾股定理表达了直角三角形三边的关系，由此联想到任意的三角形三边之间的关系能否用公式表达，从而引出余弦定理的课题。这种引入，使学生感到新公式并不孤立，是旧知识的拓延和发展，同时也培养学生按知识系统和结构去探索新知识的能力。2、公式、定理的明确与理解（1）分清定理的条件和结论尤其对于定理的条件和结论写得比较简略的，学生不易分清。如“对顶角相等”，“等腰三角形两底角相等”。可将其恢复成“如果，那么”的形式。（2）分清公式的外形与特征（3）使学生正确理解定理中关键词语的意义

26、如，“过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”中的“有且仅有”（4）注意公式、定理的应用范围如，平均不等式3、掌握公式、定理的证明与推导公式、定理的教学重点在于让学生掌握证题的思路和方法，对那些思路、方法和技巧上具有典型意义的要加以总结，以提高学生分析、解决问题的能力。教学时，教师应把重点放在思路的分析、方法的获得上。4、公式、定理的应用公式、定理是求解和证明数学问题的工具，学习公式、定理的目的之一在于应用，其应用也是培养能力的重要环节。 在公式、定理教学之后，可通过例题、练习题、习题的教学与习作，使学生初步认识所学公式、定理的应用；其次，要注意公式的正用、逆用及改变条件后的使用，培养学生

27、活用、逆用公式、定理的能力；再次，注意引导学生总结公式、定理的适用范围，明确应用时应注意的事项，归纳、总结定理、公式所能解决问题的类型，发挥思维定势的作用。5、建立数学命题系统化体系中学数学中的许多定理、公式，彼此联系紧密，教完这些定理之后，应注意及时揭示这些定理之间的内在联系，使学生的知识系统化，形成数学命题体系。另外，引导学生对某些定理作适当的不同方向上的推广，也是使学生认识定理之间关系的有效方法，同时也有利于培养学生的创造才能，在教学中应大力提倡。公式、定理教学一般过程：1、公式、定理的引入2、公式、定理的明确与理解3、掌握公式、定理的证明与推导4、公式、定理的应用数学命题教学设计中应注

28、意的几个问题：P119-1257.3 推理与证明 一、逻辑规律逻辑思维的基本规律：同一律、矛盾律、排中律、充足理由律。 1、同一律同一律是指在同一个思维(论证)过程中,概念和判断必须保持同一性,亦即确定性。 用公式表示:A是A(A表示概念或判断) 例如,有学生证明“四边形内角和等于360”是这样进行的,因为矩形的内角和等于360,矩形是四边形,所以四边形内角和等于360。这个学生在证明过程中,用特殊的四边形取代了论题中的一般四边形,因此犯了“偷换论题”的逻辑错误。 又如我们以具体数字进行验证一下,就可真相大白了。取x=3,a=2,n=3,前者为19，后者为4，显然,19不能被4整除。错在什么地

29、方呢?错在推理的前半部分用的是“多项式的整除”,而后半部分用的是“正整数的整除”。这就违背了同一律。在这个推理的过程中,没有保持概念的同一,中途更换了概念。为此,犯了“偷换概念”的逻辑错误。 2、矛盾律矛盾律是指在同一思维(论证)过程中,对同一对象所作的两个互相对立或矛盾的判断不能同真,至少必有一假。也就是说,对于同一个思维对象不能既肯定它是A,又否定它不是A.如,“数a小于数b”和“数a大于数b”的两个对立的判断也不能同真,至少必有一假。3、排中律排中律是指在同一思维(论证)过程中,对同一个对象所作的两个互相矛盾的判断,不能同假,必有一真。例如,“ABC是直角三角形”和“ABC不是直角三角形

30、”是对ABC作出的两个互相矛盾的判断,二者之中不能同假,必有一真,二者必居其一,没有第三种可能。也就是说,对于ABC要作出直角三角形的肯定或否定的回答。 排中律是反证法的逻辑基础。 当直接证明某一判断的正确性有困难时,根据排中律,只要证明这一判断的矛盾判断是假的就可以了。4、充足理由律充足理由律是指在思维(论证)过程中,对于任何一个真实的判断,都必须有充足的根据(理由)。也就是说,正确的判断必须有充足的理由。 可表示为:因为有A,所以有B,即由A一定能推出B,其中A和B都表示一个或几个判断,A称为B的理由,B称为A的结论(推断)。 充足的理由必须具备真实性、完备性、相关性,否则就不是充足理由,

31、例如,设a=b(b0)则等式两边同乘以a,得a2=ab两边同减去b2,得a2-b2=ab-b2两边因式分解,得(a+b)(a-b)=b(a-b)两边同除以(a-b),得a+b=b以b代a,得2b=b两边同除以b,得2=1。显然,所得结论是错误的。错误的原因在于用a-b除以等式两边,因为a=b,a-b=0,用零做除数是不允许的,也就是理由不真实。 二、数学推理与数学证明1、 数学推理推理是从一个或几个已知的判断作出一新判断的思维形式。推理的结构:任何推理都是由前提和结论两部分组成。前提是在推理过程中所依据的已有判断, 结论是根据前提所作出的判断。推理的种类由于划分的标准不同,推理可以分成许多种类

32、。中学数学中常用的推理有演绎推理、归纳推理和类比推理。（1）演绎推理 又叫演绎法,它是由一般到特殊的推理。演绎推理的前提和结论之间有着必然的联系,只要前提是真的,推理合乎逻辑,得到的结论就一定正确。因此,演绎推理可以作为数学中严格证明的工具。演绎推理的形式多种多样,数学中运用最普遍的有“三段论”推理。三段论：在演绎推理中,由两个前提(大前提、小前提)推出一个结论的思维形式称为三段论推理。任何一个三段论都包含三个项：小项(S)、大项(P)、中项(M)。在两个前提中，含有大项的前提叫大前提；含有小项的前提叫小前提。 （2）归纳推理 归纳推理又叫归纳法,它是由个别、特殊到一般的推理。根据研究的对象所

33、涉及的范围,归纳推理可分为完全归纳推理和不完全归纳推理。1）完全归纳推理。是通过对某类事物中每一个对象情况或每一个子类的情况的研究,而概括出关于该类事物的一般性结论的推理。 完全归纳推理考查了某类事物的每一个对象或每一个子类的情况,因而由正确的前提必然能得到正确的结论。所以完全归纳推理可以作为数学中严格证明的工具.2）不完全归纳推理 是通过对某类事物中的一部分对象或一部分子类的考查,而概括出该类事物的一般性结论的推理。不完全归纳推理仅对某类事物中的一部分对象进行考查,因此,前提和结论之间未必有必然的联系。由不完全归纳推理得到的结论,只有或然的性质,结论不一定正确。结论的正确与否,还需要经过严格

34、的逻辑论证和实践的检验。 （3） 类比推理 由特殊到特殊的推理。它是根据两个事物(或两类事物)的某些相同属性,推出它们还有其它相同属性的推理。应当注意的是,类比推理所得出的结论并不一定真实。例如,由“若a=b,则ac=bc”用类比法可以得到“若ab,则acbc”,而这结论却不一定是正确。 2、 数学证明（1） 数学证明及其结构 数学证明是根据一些真实的命题来确定某一命题真实性的思维形式。从逻辑结构方面来分析，任何证明都由论题、论据、论证三部分组成。数学证明也可分为已知(论据)、求证(论题)、证明(论证)三个组成部分。中学数学证明是采用了这种叙述形式。论题是指需要确定其真实性的命题。任何论题都包

35、含条件和结论两个方面。论据是指用来证明论题真实性所引用的命题,论题中的条件以及数学中的公理、定理、定义、性质等,都可作为证明的论据。论证是由论据出发进行一系列推理来确定论题真实性的过程。 3、证明和推理之间的联系和区别证明过程其实质也就是推理过程，就是把论据作为推理的前提,应用正确的推理形式,推出论题的过程。一个证明可以只含一个推理,也可以含有一系列的推理,可以只用演绎推理,也可以只用归纳推理, 是一种特殊形式的推理。但是,就具体问题来分析,证明和推理又是不同的。首先,从它们的结构上看,推理包含前提和结论两部分,前提是已知的,结论是根据前提推出来的;证明由论题、论据、论证三部分组成,论题相当于推理结论,是已知的,论据相当于推理的前提,是事先不知道的,因此,它们的思维过程正好相反。其次,从它们的作用来看,推理只解决形式问题,对于前提和