2021-2022学年江西省南昌市高一下学期期末调研检测数学试题【含答案】

1、2021-2022学年江西省南昌市高一下学期期末调研检测数学试题一、单选题1若复数z满足（i是虚数单位），则在复平面内z对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限B【分析】根据复数的乘法求得，根据复数的几何意义可得答案.【详解】由题意得，在复平面内对应的点为，故在复平面内z对应的点在第二象限，故选：B2若，表示不同的平面，l表示直线，则下列条件能得出的是（）A内有无数条直线与平行B，C，D，B【分析】对于A,判断可能相交，同理对于C,D, 判断可能相交,对于B，利用反证的方法可判断.【详解】对于A, 内有无数条直线与平行，这无数条直线有可能是平行直线，则可能相交，那无数条直线与两平

2、面的交线平行，故推不出，A错误；对于B, ，假设相交，不妨设如图所示：设l交分别于A,B，设P为两平面交线上一点，连接AP,BP,则 ，则 ,与三角形内角和矛盾，故不可能相交，则，故B正确；对于C, ，,可能相交,故C错误；对于D，可能相交,故D错误；故选：B3在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（）A30B60C30或150D60或120C【分析】利用正弦定理求解.【详解】解：因为，所以，因为，所以 或，故选：C4如图，棱锥、棱柱、棱台的底面积和高均相等，分别为s，h，棱台上底面的面积为，现将装满水的棱锥、棱柱、棱台中的水分别倒入底面积为s的圆柱里，对应的水面高分别记为，则（）

3、ABCDA【分析】分别计算出棱锥、棱柱、棱台的体积，进而求得，即可求解.【详解】设棱锥、棱柱、棱台的体积分别为，则，则，显然.故选：A.5在等腰中，若，则向量在向量方向上的投影为（）ABC1DA【分析】直接由向量投影公式求解即可.【详解】易得，则向量在向量方向上的投影为.故选：A.6某学生体重为，处于如图所示的平衡状态，假设他每只胳膊的最大拉力大小均为（重力加速度大小为g），如果要使胳膊得到充分的锻炼，那么他两只胳膊的夹角最大为（）ABCDB【分析】设两只胳膊拉力最大时的夹角为，根据力的平衡可得，结合向量的数量积的运算，即可求得答案.【详解】由题意，不妨设当该学生两只胳膊的拉力最大时，他两只胳

4、膊的夹角最大为 ，设此时两只胳膊的拉力为 ,则N,则，即有，所以，即，故，故，故选：B7已知，则（）ABCDD【分析】依次判断出的范围，再比较大小即可.【详解】由题意知，故.故选：D.8如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别是直角三角形ABC的斜边BC、直角边AB，AC.点E在以AB为直径的半圆上，延长BE，CA交于点D，若，则（）ABCDA【分析】根据题意得到，再用余弦的和角公式进行化简求值.【详解】由题意得：，所以，故，所以，故故选：A二、多选题9已知非零向量，下列有关向量的命题，不正确的是（）A若，则B若，则C是的充要条件D若，则ABC【分析】由向量之间

5、不能比较大小判断A；由，可得，即或，判断B;由可得，由不能得到，判断C；由相等向量的定义判断D.【详解】解：对于A，因为向量之间不能比较大小，故错误；对于B，由，可得，即，则有或，故错误；对于C，由可得，则有，但由不能得到，所以是的充分不必要条件，故错误；对于D，由相等向量的定义可知：若，则，故正确.故选：ABC.10若复数，满足，则下列结论正确的是（）A的最小值为2B的最大值为4CDABC【分析】设对应的向量为，由向量加法法则即可判断A、B选项；由复数的乘法运算及复数的模长即可判断C、D选项.【详解】设对应的向量为，由向量加法法则可得，当反向和同向时分别取等，即，故的最小值为2，最大值为4，

6、A、B正确；设，则，又，则，C正确；又，则，则，D错误.故选：ABC.11如图，在单位正方体中，M为线段上动点，则下列结论正确的是（）A直线与直线AC所成角为60B平面C平面D点与点D到平面的距离相等AB【分析】A选项，作出辅助线，得到直线与直线AC所成角即为直线与直线所成角，根据，得到为等边三角形，求出直线与直线AC所成角为60；B选项，证明线面平行；C选项，作出辅助线，证明平面，从而得到C选项错误；D选项，由对称性可知：点D到平面的距离等于D到平面的距离，故点与点D到平面的距离不相等，D错误.【详解】A选项，直线与直线AC所成角即为直线与直线所成角，连接，因为， 为正方体的面对角线，所以，

7、所以为等边三角形，所以，所以直线与直线AC所成角为60，A正确；B选项，因为，而平面，平面，所以平面，B正确；C选项，连接，因为四边形为正方形，所以，因为底面，底面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以同理可证：，因为可证得：平面，因为，所以与平面不垂直，所以与平面不垂直，C错误；D选项，连接，由对称性可知：点D到平面的距离等于D到平面的距离，故点与点D到平面的距离不相等，D错误.故选：AB12汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图），证明了被称为几何学的基石勾股定理的正确性，现将弦图中的四条股延长相同的长度得到如图所示的一个“数学风车”，现以弦

8、图的中心为坐标原点O，线段OA在如图所示的x轴上（其中有两“股”线延长交x，y轴分别为A，B），此“数学风车”绕点O逆时针匀速旋转一周的时间为2秒，分别用，表示t秒后A，B两点的纵坐标，那么以下选项正确的有（）A函数与的图象经过平移后可以重合B函数的最大值为2C函数图象的一个对称中心为D函数在上单调递减AC【分析】先求出，再由图象的平移变换、诱导公式、辅助角公式、倍角公式及正弦函数的性质依次判断即可.【详解】由题意得，逆时针匀速旋转一周的时间为2秒，则每秒旋转，t秒旋转，则，对于A，显然函数的图象向左平移个单位即得的图象，A正确；对于B，显然最大值为，B错误；对于C，当时，则函数图象的一个对称

9、中心为，C正确；对于D，当时，因为，显然函数先递减再递增，D错误.故选：AC.三、填空题13如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且直观图的面积为，则该平面图形的面积为_.8【分析】由直观图画出平面图，找出对应边长关系，即可求出平面图形的面积.【详解】由直观图可得平面图如图所示，四边形为直角梯形，且，显然直观图和平面图上底和下底相同，则面积比等于高的比，即，则四边形的面积为.故8.14已知点A，B，C是球O的小圆O上的三点，若，则球O的表面积为_.【分析】根据球心与截面圆的圆心连线垂直于截面圆，即可求解.【详解】因为，所以可得外接圆的半径，即小圆O的半径为 ,由于垂直于小圆

10、O，且，故球的半径,故球的表面积为,故15已知函数的部分图象如图所示，则_.2【分析】根据过和，结合图象求解即可【详解】由题意，过和，故，因为，故，故，根据图示是正半轴的第一个零点，故有，故解得故216如图，在中，D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且，若，则_.【分析】根据向量的线性运算选取基底表示出，结合向量的数量积的运算，求得答案.【详解】由题意得， ,故，故四、解答题17在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，.(1)若，求；(2)若的面积为，求c.(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理即可求得答案；（2）由三角形面积公式求得b，再由余弦定理求得答案.【详解】(1)因为，由，

11、则，则；(2)因为，则，因为，所以，所以，则.18如图，已知正四棱台的侧棱与底面所成的角为，O为下底面的中心，.(1)证明：平面；(2)求正四棱台的体积.(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据三角形的中位线定理及平行的传递性，再利用平行四边形的判定定理及性质定理，结合线面平行的判定定理即可求解；（2）根据正四棱台补全为正四棱锥，利用正四棱锥的性质及线面角的定义，结合棱台的体积公式即可求解.【详解】(1)作 中点，连接 .如图所示因为为中点，为中点，所以，又，故，所以四边形为平行四边形，所以，因为面，面，所以平面.(2)接，设交点为，则为正四棱台上底面中心，延长，交于点，如图所示则面，且面，所

12、以，其中，由正四棱台的侧棱与底面所成角为，知，所以，所以，故.19如图，某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间对应的函数图象如图所示，其变化规律可以用求刻画.(1)求此弹簧振子运动的周期；(2)求时弹簧振子所处的位置距离初始位置（）的距离是多少？(1)s(2)【分析】（1）根据求得函数的图象的对称轴，即可求得函数周期；（2）根据图象求出参数，可得函数解析式，将代入，和时的函数值相减即可求得答案.【详解】(1)由图可知，函数，故函数的图象关于对称，故，,即弹簧振子运动的周期为4.8s.(2)由图知，故，因为，由，所以，所以，故，而，所以时，

13、该弹簧振子离时刻的距离是.20如图，直三棱柱中，点E，F，G，H分别是棱，BC，CA的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面BGH.(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）作辅助线，证明四边形是平行四边形，可得，根据面面平行的判定定理证明结论；（2）证明，再证明，根据线面垂直的判定定理即可证明结理论.【详解】(1)证明:连接，FH，中，F，H分别是CB，CA的中点，所以，又因为E是的中点，所以，所以 ,因此四边形是平行四边形，所以，又因为平面,平面，所以 平面；(2)证明:因为，点H是AC的中点，所以，又因为平面平面，所以平面，平面，所以，又矩形中，因此，故,因此，所以，又，所以平面B

14、GH，由，得到平面BGH.余弦相似度.余弦距离.(1)若，求A，B之间的和余弦距离；(2)已知，若，求的值.(1)，余弦距离等于(2)【分析】（1）根据曼哈顿距离的计算公式即可求得，利用余弦距离的公式可求得A，B之间的余弦距离；（2）根据已知结合定义中所给公式可得,以及，两式整理即可求得答案.【详解】(1)，所以余弦距等于；(2)由得,同理：由得，故，即，则.22将圆锥侧面展开得到扇形AOB（图1），已知扇形AOB的半径和面积分别为2，现要探究在该扇形内截取一个矩形，应该如何截取，可以使得截取的矩形面积最大.现有两个实验小组，他们分别采用两种方案，方案一：如图2所示，将矩形的一边CD放在OA上，另外两个顶点E，F分别在弧AB和OB上；方案二：如图3所示，两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点C，F分别在OA和OB上.(1)求圆锥的体积；(2)比较两种方案，哪种方案更优？并谈谈两种方案的区别与联系.(1)(2)方案一更优，答案见解析【分析】(1)根据条件求出底面的半径和和圆锥的高，按照体积公式计算即可；(2)对两种方案分别设置参