第2部分 专题1 第1讲　三角函数的图象与性质学案（Word版含解析）

1、 14/14三角函数的图象与性质考点1三角函数的值域、最值1(2021全国卷乙)函数f(x)sineq f(x,3)coseq f(x,3)的最小正周期和最大值分别是()A3和eq r(2)B3和2C6和eq r(2)D6和2C因为函数f(x)sineq f(x,3)coseq f(x,3)eq r(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)sinf(x,3)f(r(2),2)cosf(x,3)eq r(2)eq blc(rc)(avs4alco1(sinf(x,3)cosf(,4)cosf(x,3)sinf(,4)eq r(2)sineq blc(rc)(avs4alc

2、o1(f(x,3)f(,4)，所以函数f(x)的最小正周期Teq f(2,f(1,3)6，最大值为eq r(2).故选C2(2019全国卷)函数f(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(3,2)3cos x的最小值为_4f(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(3,2)3cos xcos 2x3cos x2cos2x3cos x1，令tcos x，则t1,1，f(t)2t23t1.又函数f(t)图象的对称轴teq f(3,4)1,1，且开口向下，当t1时，f(x)有最小值4.3(2020北京高考)若函数f(x)sin(x)cos x的最大值为2，则常

3、数的一个取值为_.eq f(,2)(答案不唯一，只要符合eq f(,2)2k，kZ即可)法一：由f(x)sin(x)cos xsin xcos cos xsin cos xcos sin x(1sin )cos xeq r(cos21sin 2)sin(x)eq blc(rc)(avs4alco1(其中tan f(1sin ,cos ).sin(x)1，eq r(cos21sin 2)eq r(22sin )2时，f(x)的最大值为2，2sin 2，sin 1，eq f(,2)2k，kZ，的一个取值可为eq f(,2).法二：f(x)sin(x)cos x的最大值为2，又sin(x)1，cos

4、 x1，则sin(x)cos x1时，f(x)取得最大值2.由诱导公式，得eq f(,2)2k，kZ.的一个取值可为eq f(,2).命题规律：高考对该点的考查常与三角恒等变换交汇命题，常以选择题、填空题的形式考查，分值5分，难度中等通性通法：三角函数值域(最值)的3种求法(1)直接法：利用sin x，cos x的有界性求解(2)单调性法：化为yAsin(x)B的形式，采用整体思想，求出x的范围，根据ysin x的单调性求出函数的值域(最值)(3)换元法：对于yasin2xbsin xc和ya(sin xcos x)bsin xcos xc型常用到换元法，转化为二次函数在限定区间内的最值问题1

5、与恒等变换交汇当函数yeq r(3)sin xcos x(0 x2)取得最大值时，x_.eq f(2,3)yeq r(3)sin xcos x2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)sin xf(1,2)cos x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6).0 x2，eq f(,6)xeq f(,6)eq f(11,6).当xeq f(,6)eq f(,2)，即xeq f(2,3)时，函数取得最大值2求参数的范围已知函数f(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)(0)在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,12)，

6、f(,3)上有最大值，但没有最小值，则的取值范围是_eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)，3)函数f(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)(0)在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,12)，f(,3)上有最大值，但没有最小值，所以eq f(,12)eq f(,4)eq f(,2)eq f(,3)eq f(,4)eq f(3,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)，3).3知识交汇求最值已知函数f(x)2cos xsin 2x，则f(x)的最大值为_eq f(3r(3),2)f (x)2sin x2cos 2x24si

7、n2x2sin x2(2sin x1)(sin x1)，由f (x)0得sin xeq f(1,2)或sin x1.当1sin xeq f(1,2)时，f (x)0，当eq f(1,2)sin x1时，f (x)0.当sin xeq f(1,2)时，f(x)取得极大值此时cos xeq f(r(3),2)或cos xeq f(r(3),2).经验证可知，当cos xeq f(r(3),2)时，f(x)有最大值，又f(x)2cos x(sin x1)，f(x)max2eq f(r(3),2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq f(3r(3),2).考点2三角函数的图象与

8、解析式1(2021全国卷乙)把函数yf(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq f(1,2)倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移eq f(,3)个单位长度，得到函数ysineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)的图象，则f(x)()Asineq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)f(7,12)Bsineq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)f(,12)Csineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(7,12)Dsineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,12)B依题意，将ysineq blc(rc)(avs4alco1(xf

9、(,4)的图象向左平移eq f(,3)个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以ysineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)eq o(,sup12(将其图象向左平移eq f(,3)个单位长度)ysineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,12)的图象eq o(,sup10(所有点的横坐标扩大到原来的2倍)f(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)f(,12)的图象2(2020新高考卷改编)如图是函数ysin(x)的部分图象，则sin(x)()Asineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,

10、3)Bsineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)Ccoseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)Dcoseq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)2x)C由图象知eq f(T,2)eq f(2,3)eq f(,6)eq f(,2)，得T，所以eq f(2,T)2.又图象过点eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，0)，由“五点法”，结合图象可得eq f(,3)，即eq f(2,3)，所以sin(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(2,3)，故A错误；由sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(2

11、,3)sineq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(,3)2x)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)2x)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)知B错误；由sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(2,3)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,2)f(,6)coseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)知C正确；由sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(2,3)coseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)coseq blcrc(

12、avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(2xf(5,6)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)2x)知D错误综上可知，正确的选项为C3(2021全国卷甲)已知函数f(x)2cos(x)的部分图象如图所示，则满足条件eq blc(rc)(avs4alco1(fxf blc(rc)(avs4alco1(f(7,4)eq blc(rc)(avs4alco1(fxf blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)0的最小正整数x为_2由题图可知，eq f(3,4)Teq f(13,12)eq f(,3)eq f(3,4)(T为f(x)的最小正周期)，得T，所以2

13、，所以f(x)2cos(2x)点eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，0)可看作“五点作图法”中的第二个点，则2eq f(,3)eq f(,2)，得eq f(,6)，所以f(x)2coseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)，所以f eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,4)2coseq blcrc(avs4alco1(2blc(rc)(avs4alco1(f(7,4)f(,6)2coseq blc(rc)(avs4alco1(f(11,3)2coseq f(,3)1，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)2coseq blc(

14、rc)(avs4alco1(2f(4,3)f(,6)2coseq f(5,2)0，所以eq blc(rc)(avs4alco1(fxf blc(rc)(avs4alco1(f(7,4)eq blc(rc)(avs4alco1(fxf blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)0，即(f(x)1)f(x)0，可得f(x)1或f(x)0，所以coseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)eq f(1,2)或coseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)0.当x1时，2xeq f(,6)2eq f(,6)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，f(

15、,2)，coseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，不符合题意；当x2时，2xeq f(,6)4eq f(,6)eq blc(rc)(avs4alco1(，f(7,6)，coseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)0，符合题意所以满足题意的最小正整数x为2.命题规律：高考对该点的考查主要有两种：一是由图象求解析式；二是图象的平移变换前者考查图象的识别和信息提取能力，后者考查逻辑推理能力常以选择题、填空题的形式考查，分值5分，难度中等通性通法：求函数yAsin(x)(0，0)解析式的方法字母确定途径说

16、明A、B由最值确定Aeq f(ymaxymin,2)，Beq f(ymaxymin,2)由函数的周期确定利用图象中最高点、最低点与x轴交点的横坐标确定周期由图象上的特殊点确定代入图象上某一个已知点的坐标，表示出后，利用已知范围求提醒：三角函数图象的平移问题(1)当原函数与所要变换得到的目标函数的名称不同时，首先要将函数名称统一(2)将ysin x(0)的图象变换成ysin(x)的图象时，应把x变换成eq blc(rc)(avs4alco1(xf(,)，根据eq blc|rc|(avs4alco1(f(,)确定平移量的大小，根据eq f(,)的符号确定平移的方向1图象变换下列选项中，函数f(x)

17、2sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)的图象可以由函数g(x)eq r(3)sin 2xcos 2x的图象变化得到的是()A先将g(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移eq f(,6)个单位长度B先将g(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移eq f(,3)个单位长度C先将g(x)的图象上所有点向左平移eq f(,3)个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq f(1,2)，纵坐标不变D先将g(x)的图象上所有点向左平移eq f(,6)个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标

18、不变D把函数g(x)eq r(3)sin 2xcos 2x2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)的图象上所有点向左平移eq f(,6)个单位长度，可得y2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数f(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)的图象或者先将g(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y2sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)的图象，

19、再向左平移eq f(,3)个单位长度，可得函数f(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)的图象故选D2图象平移的应用若将函数ytaneq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)(0)的图象向右平移eq f(,6)个单位长度后，与函数ytaneq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)的图象重合，则的最小正值为()Aeq f(1,6) Beq f(1,4)Ceq f(1,3)Deq f(1,2)D将ytaneq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)的图象向右平移eq f(,6)个单位长度，得到ytaneq blc(rc)(avs4alc

20、o1(xf(,4)f(,6)的图象，由平移后的图象与ytaneq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)的图象重合，得eq f(,4)eq f(,6)keq f(,6)，kZ，故6keq f(1,2)，kZ，所以的最小正值为eq f(1,2).3知图求值函数f(x)Asin(x)(A0，0)的图象如图所示，则f(x)_，f(1)f(2)f(3)f(2 022)_.2sin eq f(,4)xeq r(2)由题图知A2，eq f(T,2)624，T8，则eq f(2,8)eq f(,4).y2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)x).又函数图象过点(2,2)，2s

21、ineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)2)2，eq f(,2)eq f(,2)2k(kZ)，则2k(kZ)，f(x)2sin eq f(,4)x.f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(8)0，f(1)f(2)f(3)f(2 022)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5) f(6)eq r(2).考点3三角函数的性质及应用1(2021新高考卷)下列区间中，函数f(x)7sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)单调递增的区间是()Aeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)Beq blc(rc)(avs4alco1(f(,

22、2)，)Ceq blc(rc)(avs4alco1(，f(3,2)Deq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2)A法一：(常规求法)令eq f(,2)2kxeq f(,6)eq f(,2)2k，kZ，得eq f(,3)2kxeq f(2,3)2k，kZ.取k0，得eq f(,3)xeq f(2,3).因为eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)eq blcrc(avs4alco1(f(,3)，f(2,3)，所以区间eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)是函数f(x)的单调递增区间故选A法二：(判断单调性法)当0 xeq f(,2)时，eq f(

23、,6)xeq f(,6)eq f(,3)，所以f(x)在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)上单调递增，故A正确；当eq f(,2)x时，eq f(,3)xeq f(,6)eq f(5,6)，所以f(x)在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)上不单调，故B不正确；当xeq f(3,2)时，eq f(5,6)xeq f(,6)eq f(4,3)，所以f(x)在eq blc(rc)(avs4alco1(，f(3,2)上单调递减，故C不正确；当eq f(3,2)x2时，eq f(4,3)xeq f(,6)eq f(11,6)，所以f(x)在eq blc(rc)

24、(avs4alco1(f(3,2)，2)上不单调，故D不正确故选A法三：(特殊值法)因为eq f(,2)eq f(2,3)eq f(5,6)，但f eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)7sineq f(,2)7，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)7sineq f(2,3)7，所以区间eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)不是函数f(x)的单调递增区间，排除B；因为eq f(7,6)eq f(4,3)eq f(3,2)，但f eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,6)7sin 0，f eq blc(rc)(avs4alco1

25、(f(4,3)7sineq f(7,6)eq f(7,2)0，所以区间eq blc(rc)(avs4alco1(，f(3,2)不是函数f(x)的单调递增区间，排除C；因为eq f(3,2)eq f(19,12)eq f(5,3)2，但f eq blc(rc)(avs4alco1(f(19,12)7sineq f(17,12)7sineq f(5,12)7，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,3)7sineq f(3,2)7，所以区间eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2)不是函数f(x)的单调递增区间，排除D故选A2(2018全国卷)若f(x)cos xs

26、in x在a，a是减函数，则a的最大值是()Aeq f(,4)Beq f(,2)Ceq f(3,4)DA法一：(直接法)f(x)cos xsin xeq r(2)coseq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)，且函数ycos x在区间0，上单调递减，则由0 xeq f(,4)，得eq f(,4)xeq f(3,4).因为f(x)在a，a上是减函数，所以eq blcrc (avs4alco1(af(,4)，,af(3,4)，)解得aeq f(,4)，所以0aeq f(,4)，所以a的最大值是eq f(,4)，故选A法二：(单调性法)因为f(x)cos xsin x，所以f (x)s

27、in xcos x，则由题意，知f (x)sin xcos x0在a，a上恒成立，即sin xcos x0，即eq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)0在a，a上恒成立，结合函数yeq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)的图象可知有eq blcrc (avs4alco1(af(,4)0，,af(,4)，)解得aeq f(,4)，所以0aeq f(,4)，所以a的最大值是eq f(,4)，故选A3(2019全国卷)关于函数f(x)sin|x|sin x|有下述四个结论：f(x)是偶函数；f(x)在区间eq blc(rc)(avs

28、4alco1(f(,2)，)单调递增；f(x)在，有4个零点；f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()ABCDC法一：f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，f(x)为偶函数，故正确；当eq f(,2)x时，f(x)sin xsin x2sin x，f(x)在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)单调递减，故不正确；f(x)在，的图象如图所示，由图可知函数f(x)在，只有3个零点，故不正确；ysin|x|与y|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，f(x)可以取到最大值2，故正确综上，正确结论的序号是.故选C法二：f(x)sin|x|

29、sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，f(x)为偶函数，故正确，排除B；当eq f(,2)x时，f(x)sin xsin x2sin x，f(x)在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)单调递减，故不正确，排除A；ysin |x|与y|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，f(x)的最大值为2，故正确故选C法三：画出函数f(x)sin|x|sin x|的图象，由图象可得正确，故选C命题规律：高考对该点的考查主要立足两点，一是函数性质的判断(或求解)，二是利用性质求参数的范围(值)，常以选择题、填空题的形式考查，分值5分，难度中等准确理解ysin x(ycos x

30、)的有关性质是求解此类问题的关键. 通性通法：函数yAsin(x)(A0，0)的性质(1)奇偶性：k(kZ)时，函数yAsin(x)为奇函数；keq f(,2)(kZ)时，函数yAsin(x)为偶函数(2)三角函数的周期性：f(x)Asin(x)和f(x)Acos(x)的最小正周期为eq f(2,)；yAtan(x)的最小正周期为eq f(,).(3)根据ysin t的性质研究yAsin(x)(A0，0)的性质：由eq f(,2)2kxeq f(,2)2k(kZ)可得增区间，由eq f(,2)2kxeq f(3,2)2k(kZ)可得减区间；由xk(kZ)可得对称中心；由xkeq f(,2)(k

31、Z)可得对称轴1直接考查性质下列函数中，以eq f(,2)为周期且在区间eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，f(,2)单调递增的是()Af(x)|cos 2x|Bf(x)|sin 2x|Cf(x)cos|x|Df(x)sin|x|A易知A，B项中函数的最小正周期为eq f(,2)；C中f(x)cos|x|cos x的周期为2，D中f(x)sin|x|eq blcrc (avs4alco1(sin x，x0,sin x，x0，) 由正弦函数图象知，在x0和x0时，f(x)均以2为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，排除C，D又当xeq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，f(,2)时，2xeq blc(rc)(avs4alco1(