第9课等比数列的概念和通项公式

1、第9课时等比数列的概念和通项公式【学习导航】知识网络KW3T通项公式I各齐皿II学习要求1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，理解等比数列的概 念，2.类比等差数列的通项公式，探索发 现等比数列的通项公式，掌握求等比数列通项公式的方法，3.掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决一些简单的实际问题【自学评价】1 .等比数列：一般地，如果一个数列从第 二项起,每一项与它的前一项的比等于同一 个常数，那么这个数列就叫做等比数列 这个 常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(qz 0),即:an=q(q工 0)an 1注：1“从第二项起”与“前一项”之比为常数q an成等比数列

2、an 1=qN，qz 0)隐含：任一项an 0且q 0q= 1时，an为常数列.2等比数列的通项公式an a1 qn1(a1 q 0)an am q q 0)3既是等差又是等比数列的数列：非零常 数列.4等比中项的定义：如果 a、G、b成等比数 列，那么 G叫做a与b的等比中项且G2 ac5证明数列an为等比数列：a定义：证明也=常数,an中项性质：a21【精典范例】angan 2或an 1an 2an 1【例1】判断下列数列是否为等比数列:(1)1,(2)0,(3) 1,【解】1,1,1,1；1, 2, 4, 8;1 11 12 , 4 , 8 , 16(1)所给数列是首项为1,公比为1的等

3、比数列.(2)因为0不能作除数,所以这个数列不是等比数列.1(3)所给数列是首项为1,公比为 1的2等比数列.【例2】求出下列等比数列中的未知项：2, a, 8;14, b, c ,.2【解】根据题意，得a 8所以a=4或a=4.根据题意，得b _ r4 ft *丄_ cL e b 解得i A =!c =一 I.所以b=2, c=1.【例3】在等比数列an中，已知a 1 = 3, q=2,求a 6；已知 a 3 = 20 , a 6 = 160 ,求 a n.解】由等比数列的通项公式，得&(5 =3X( 2)F, 1 = 96*设等比数列的公比为q,那么jajff = 20,= 1 GO 所以

4、心=1 = 5 X 2一| +【例4】在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列.【解】设插入的三个数为 a2, a3, a4,由 题意知243 , a2, a3, a4, 3成等比数列. 设公比为q,则3 = 243/1,听课随笔=100022an 1103(n 1) 5听课随笔因此，所求三个数为8 1,27,9, 或一8 1,27, 9.追踪训练一1.求下列等比数列的公比、第5项和第n 项：(1 )2,6,18,54,；an103n数列 an是公比为1000的等比数列.【点评】 若 an是等差数列，bn = ban可 以证明数列 bn为等比数列，反之若 an 为等比数列且an0，则可

5、证明lgan为等 差数列.追踪训练二1 .在等比数列 an中，a3 a4 a5 = 3, a6 a7 -a8 = 24,则 a9 -a10 -an 的值等于(D ) A.48B.72C.144D.192(4)5, 5c 12c 1,5,53c 1,.【答案】(1)q 3, a5162,an 23n 121122 n 17(3)q 3，a5,an81q0.3, a50.00243, an(1)n 10.3ncq 5 ,a55 ,annc c 152.数列 m,m,m,m, ( C)A.-定是等比数列 7, 14 , 28 , 56,；3927(3) 0.3 , - 0.09 , 0.027 ,

6、- 0.0081，;912.在等比数列中，已知首项为，末项为-832公比为-，则项数n等于_4_.3_13 .已知等比数列an的公比 q=-,则3既是等差数列又是等比数列一定是等差数列不一定是等比数列既不是等差数列，又不是等比数列3.已知数列时是公比qz土 1的等比数列，a则在an+an+1, an+1 an , nan这四an 1个数列中，是等比数列的有(C )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【选修延伸】【例5】成等差数列的三个正数之和为15,若这三个数分别加上1, 3, 9后又成等比数a1a3a5a7小=_ 3_.a2 a4a6a84.已知数列 an为等比数列，若 an 0，且 a2

7、a4 + 2a3a5 + a4a6= 25, 求 a3 + a5.a1 + a2 + a3= 7, a1a2a3= 8, 求 an.【解】由已知 an0，且 a2a4 + 2a3a5 + a4a6= 25 知 a12q4 + 2a12q6 + a,q8= 25即 a12q4(1 + q2)2= 25- a1q2(1 + q2) = 5因此 a3 + a5 = a1q2 + ag4= ag2(1 + q2)= 5由已知 a1 + a2 + a3 = 7 , a2a3 = 8 知2a1a1q a1q733-a1 q 8列，求这三个数.【解】设这三个数分别为a d,a,a dQ (a d) a (a d) 15解得a 5这三个数为5 d,5,5 d故由题意又可得(5 3)2(5 d 1)(5 d 9)解得d 2或d 10(舍去)这三个数为3, 5, 7【例6】已知数列 an满足：lgan= 3n + 5, 试用定义证明 an是等比数列.【证明】 由 lgan= 3n + 5,得