浅谈二次型的分类问题

1、. z.- . -可修编- .2015届本科毕业论文(设计)题目：淺谈二次型的分类问题所在学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学11-2班学生：阿玛尼阿不力木指导教师：艾合买提 教师辩论日期：2015年5月7日 *师大学教务处-. z.目录前言 3 1 认识二次型 4 1.1 二次型的来历 4 1.2 二次型的定义和矩阵表示 4 1.3 线性变换 6 2 二次型的分类 7 2.1 二次型的标准型 7 2.2 实二次型和复二次型 11 2.3 正定二次型和不定二次型 13 2.4 二次曲面的分类 18 3 二次型分类的意义和应用 20 3.1 二次型分类的意义 20 HYPERLINK l

2、_Toc356917748完毕语22HYPERLINK l _Toc356917749参考文献22HYPERLINK l _Toc356917750致摘要：这篇文章主要研究二次型的分类问题。首先认识二次型的来历，概念与矩阵的关系，性质；其次了解二次型的各个分类实二次型复二次型正定二次型，二次型的标准型等等然后讨论二次型分类的方法意义和数学中的应用中间加了有关的典型例题。关键词：二次型；复二次型；实二次型；正定；半定；不半定；不正定二次型；惯性定理；，二次曲面Abstract：This paper mainly studies the classification of the quadrati

3、c problem. Firstly know the origin of quadratic form, concept and matri*, the relationship between properties; Second to understand the real quadratic form of each classification of quadratic ple* quadratic positive definite quadratic form, the standard quadratic etc. Then discuss quadratic classifi

4、cation among the significance and the application of mathematical method with relevant e*amples.Keywords：Quadratic form; ple* quadratic form; Quadric form; Positive definite. Semidefinite; Not half; Not positive definite quadratic form; The inertia theorem; The quadric surface 1.认识二次型1.1二次型的来历二次型qua

5、dratic form)是线性代数中最为重要的容之一。二次型的研究是从18世纪开场的，它起源于几何学中的二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程进展变换，把有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状。柯西在其著作中给出结论：当方程式标准型时，二次曲面用二次型的符号来进展分类。在化简成标准型时，为什么会得到同样数目的正项和负项，这个最初是一个未知的。西尔维斯特答复了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定理，但没有证明。这个定律后来被雅克比重新发现和证明。高斯在1801年算术研究中引进了二次型的正定、负定，半正定以及半负定等一些概念。 二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列

6、式的特征方程的概念。欧拉在以前的著作当中间接地提过特征方程这个概念，拉格朗日在著作中最先准确地提出这个概念。而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特、蒙日和泊松建立的。 二次型的应用涉及到物理学、几何学、概率论等学科甚至在这些科学中广泛的应用。在二次型的研究从浅到深的开展过程当中与代数论，数的几何等都有密切的关系。此外，在多重线性代数中使用二次型还可定义比外代数更广的克利福特代数。1.2 二次型的定义和矩阵表示二次型本质上是一个关于n个变量的函数。二次型在表达式中没有一次项和常数项就有平方项和穿插项的特殊的二次齐次函数。定义1 设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式 1叫作F上一个n元二次

7、型。上元多项式总可以看成上个变量的函数。二次型1定义了一个函数.元二次型也称为个变量的二次型。在1中令。因为，所以1式可以写成一下形式： 2设n阶对称矩阵 A=则n元二次型可表示为以下矩阵形式：f(*1，*2，*n)=( *1，*2，*n)=*TA*其中 *=( *1，*2，*n)T。对称矩阵A称为二次型的系数矩阵，简称为二次型的矩阵。矩阵A的秩称为二次型f(*1，*2，*n)的秩。二次型与非零对称矩阵一一对应。如果给定一个二次型，则可以为其系数矩阵确定一个非零的对称矩阵作；相反，假设给定一个非零的对称矩阵，则对称矩阵为系数矩阵确定一个二次型。二次型的秩指的就是矩阵的秩.例如：是二次型，把它写

8、成矩阵形式，把这一项改写成了两项，项作同样处理，即这样就可以用矩阵表示：=或简单的就用对称矩阵1.3线性变换设*1，*2，*n和y1，y2，yn为两组变量，关系式其中cij(i，j=1，2，n)为实数域R(或复数域C)中的数，称为由*1，*2，*n到y1，y2，yn线性变换，简称线性变换。线性变换的矩阵表示，设n阶矩阵C=则从*1，*2，*n到y1，y2，yn线性变换可表示为以下矩阵形式：*=CY其中*=( *1，*2，*n)T和Y=( y1，y2，yn)T，C称为线性变换的系数矩阵。1) 当|C|0时，线性变换*=CY称为非退化的线性变换。2)当C是正交矩阵时，称*=CY为正交线性变换，简称

9、正交变换。3) 线性变换的乘法。设*=C1Y是由*1，*2，*n到y1，y2，yn的非退化的线性变换，而Y=C2Z是由y1，y2，yn到z1，z2，zn的非退化的线性变换，则由*1，*2，*n到z1，z2，zn的非退化的线性变换为：*=(C1C2)Z二次型f(*1，*2，*n)=*TA*经过非退化的线性变换*=CY化为f(*1，*2，*n)=YTBY (其中B=CTAC) 仍是一个二次型。2. 二次型的分类 二次型分类的方法主要是有三种，合同时一种分类方法，正定是另一种分类方法还有一种是几何分类法。2.1二次型的标准型 实数域R(或复数域C)上的任意给定的一个二次型，通常都可经过系数在实数域R

10、(或复数域C)中的非退化线性变换化成平方和形式：d1y12+d2y22+dnyn2其中非零系数的个数唯一确定，等于该二次型的秩。上述形式的二次型称为二次型的标准形。标准形中只有系数不是零与系数中正的平方的个数都是唯一确定的，然而二次型的标准形并不是唯一确定的。化标准形的方法1) 配方法。2) 初等变换法，其要点可简单表示为：初等变换初等变换其中A为二次形的矩阵，D为对角矩阵，其对角元素依次为d1，d2，dn。在初等变换过程中，作完一次列变换，接着作一次相应的行变换，则矩阵A的对称性质是不变的。当A化为对角矩阵D的同时，即可得到由变量*1，*2，*n到y1，y2，yn的非退化线性变换系数矩阵C。

11、于是当作线性变换*=CY时，则可使二次型f=*TA*化为标准形2.1.2利用正交变换化实二次型为标准形设A是阶实对称矩阵，按照以下几个步骤来进展： = 1 * GB3 特征值的求解：解特征方程|E-A|=0，求出A的全部特征值。 = 2 * GB3 特征向量的求解：解齐次线性方程组(E-A)*=0，求出根底解系，得到r重特征值的r个线性无关的特征向量。 = 3 * GB3 正交化：利用施密特正交化方法，使得属于r重特征值的r个线性无关向量组正交化，并使其单位化。 = 4 * GB3 单位化：将求得的n个单位化正交特征向量组作为矩阵Q的列向量，就可以得到正交矩阵Q。 = 5 * GB3 作正交矩

12、阵：Q-1AQ为对角矩阵，对角元素为A的全部实特征值，它们在对角矩阵的排列顺序，与其特征向量在Q中的排列顺序是一样。 对于二次型，令，将二次型化成如下形式平方和：1y12+2y22+nyn2其中1，2，n为二次型的矩阵的全部特征值。典型例题：把二次型化为标准形解 二次型的矩阵为它的特征多项式为计算特征多项式：把二、三、四列都加在第一列上，有把二，三，四行分别减去第一行，有于是A的特征值为当时，解方程由得根底解系，单位化即得当时，解方程A-E)*=0由可得正交的根底解系单位化即得于是正交变换为且有如果要把二次型化为规型，只需令即得的规型典型例题2用配方法化二次型为标准形,解先将含*1的各项合并在

13、一起, 配成完全平方, 再接着处理. 令6-1得二次型的标准形为2.2复二次型和实二次型 1复二次型和实二次型的定义：复数域上的二次型叫做复二次型；实数域上的二次型分别叫做实二次型。 定义实二次型 设均为实常数，称关于n个实变量的二次齐次多项式函数为一个n元实二次型，简称为n元二次型。 矩阵的合同关系：如果数域P上的两个n阶矩阵A和B存在可逆矩阵C，使B=CTAC，则叫做A和B是合同，记作AB。合同关系性质：1) 反身性：AA；2) 对称性：AB，则BA；3) 传递性：AB，且BC，则AC。 复数域上的两个阶对称矩阵，有一样的秩是合同的充要条件。两个复二次型等价的充要条件是它们有一样的秩定理2

14、.3.2 实数域上每一阶对称矩阵都合同与如下形式的一个矩阵： 这里等于的秩。定理2.3.3 实数域上的每一元二次型如下形式的一个二次型等价：，这里所给二次型的秩。2复二次型的规形任一复系数二次型都可以通过复数域非退化线性变换化得到最简形式：y12+y22+yr2，其中r 是唯一确定的等于该二次型的秩。上述形式的复二次型称为复二次型的规形。任何复数域C上的对称矩阵都合同于一个形如：的对角矩阵，其中1的个数等于该矩阵的秩。3实二次型的规形任一实系数二次型都可以通过实数域R中的非退化线性变换得到最简形式：y12+y22+yp2-yp+12-yp+22-yr2，其中p和r唯一确定，r为二次型的秩。像这

15、种实二次型叫做实二次型的规形，p(正平方项的个数)称为实二次型的正惯性指数，r-p(负平方项的个数)称为实二次型的负惯性指数，p-(r-p)=2p-r称为实二次型的符号差。任何实数域R上的对称矩阵都合同于一个形如：的对角矩阵，其中对角线上非零元素的个数等于矩阵的秩，1的个数由对称矩阵唯一确定，称为它的正惯性指数。2.3 正定二次型和不定二次型 1定义正定、半正定、负定、半负定及不定二次型设实二次型f(*1，*2，*n)，如果任意给定的一组不全为零的实数有*1，*2，*n，都有：1，则称f为正定二次型，并称实对称矩阵A为正定矩阵；2，且，使，则称f为半正定二次型，并称实对称矩阵A为半正定矩阵；3

16、，则称f为负定二次型，并称实对称矩阵A为负定矩阵4，则称f为半负定二次型，并称实对称矩阵A为半负定矩阵；5如果既不正定也不负定，则f为不定二次型，并称实对称矩阵A是不定的。用矩阵形式表示上述定义：设A为n阶实对称矩阵，假设对任意非零向量*，都有*TA*0 (或0，或0，或0，或符号不定) ，则称二次型*TA*为正定，其矩阵A称为正定矩阵。2正定二次型的标准型、规型标准型：其中规型：定理2.4.1 n元二次型f的正惯性指数为n是正定的充要条件。推论1 二次型经过满秩线性变换后，其正定性不变。推论2 实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值全部大于零。推论3 实对称矩阵A正定的充分必要条件是A合

17、同于同阶单位矩阵E，即存在满秩方阵C，使得或存在满秩方阵M，使得。推论4实对称矩阵正定的充要条件是，A的各阶顺序主子式均大于零，即其中是A的左上角的k阶子式。3判定正定二次型与正定矩阵的充要条件实对称矩阵A的n阶顺序主子式均大于零正定二次型：对于n阶实对称矩阵A为正定矩阵实对称矩阵A的特征值全大于零4判定负定二次型与负定矩阵的充要条件假设n元二次型为负定二次型时，f为正定二次型或A为正定矩阵，相应得到如下等价条件：f是负定二次型，即对；f的负惯性指数为n；A的特征值全小于0；A的奇数阶顺序主子式全小于0，偶数阶顺序主子式全大于0。定理2.4.2 实数域上二次型是正定的充要条件是它的秩和符号差都

18、相等于。是负定的充要条件是它的秩等于，符号差等于。 实二次型是正定的当且仅当它的一切主子式都大于零。典型例题1：判断以下实二次型是不是正定的：解：因为二阶主子式 ，所以它不是正定的。解： 因为一切主子式都大于零，所以是正定的。典型例题2 取什么值是，实二次型 是正定的？解： 该二次型的最高阶主子式为为使二次型为正定，必需且只需各阶主子式大于零，于是得解得典型例题3 将二次型化为标准型，并求二次型的秩解 如果做线性替换，则外表上看上述结果是对的，实际上是错误的。这是因为从而因此上述的线性替换不是非退化的。正确解法：1做线性替换的任意的数。为使所作的线性替换较为简单，只要作线性替换：即可。正交变换

19、的方法：上述二次型的矩阵为其特征值特征向量是：对应于的单位特征向量令从而。2.5二次曲面的分类二次曲面：二次代数方程所代表的曲面。1椭球面假设a=b=c时，是半径为a的球面。2抛物面：有方程p与q同号，所表示的曲面叫做抛物面。3单叶双曲面：由方程所确定的曲面叫做单叶双曲面。4二次锥面：由方程所确定的方程叫做二次锥面。典型例题1：二次型通过正交变换化成标准形. 1求参数a及所用的正交变换矩阵；2表示什么曲面？解二次型f的矩阵为A的特征多项式为由题设可知A的特征值为将代入, 得因, 故取, 这时, . 对于, 解, 即解得对应的特征向量为. 对于, 解, 即得对应的特征向量为. 对于, 解, 可得

20、对应的特征向量为. 将单位化：故所用正交变换的矩阵为；2当时, 是椭球面. 3.二次型分类的意义和应用二次型理论在物理学、几何学、概率论等各个学科中都已得到了广泛的运用。在二次型的研究中已由域上二次型的算术理论开展到环上二次型的算术理论。此外，在多重线性代数中使用二次型还可定义比外代数更广的克利福特代数。二次型表示平面或空间的*个曲线和曲面的方程。利用二次型的正交变换求*些曲线或曲面的积分。典型例题1：求，其中解：由上例知正交变换能够保持几何体形状不变，所以椭球与椭球体积一样记则 = 完毕语我还记得清清楚楚，刚刚来到大学的时候，我对未来对大学生活充满了希望。我经常想我人生当中最重要的这四年时光我该怎么度过才能有真正的有意义，因而为它拼搏。我担忧等到毕业的时候或者毕业之后懊悔我过去的时光。因此，我尽自己的全力给大学生活填充了色彩，在校期间除了上课认真学习之外我还参加了学生会，我在学生会工作了两年，我在哪里学会了很多，尤其是人际交往关系方面我有所收获。为了充足我周末时间去补习班学英语还