2009四川卷理科数学

1、2009年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）5 分）设集合 S=|5，T=|+4x210，则 S（ ）x|75 x|3|53 D|725分）已知函数 连续，则常数a 的值是（ ）2 3 4 55 分）复数 的值是（ ）1 1 i i5 分）已知函数 f（）=sin（+ R ）函数 f（x）的最小正周期为 函数 f（）在区间0， 上是增函数函数 f（）的图象关于直线 x=0 对称函数 f（）是奇函数55 PABCDEF 的底面是正六边形，平面 ABC则下列结论正确的是（ ）PBAD平面 平面 PBC第页（共32页）直线 BC平面 直线 PD 与平面

2、ABC 所成的角为 455 acd db”是cd” ）充分而不必要条件 必要而不充分条件充要条件 D既不充分也不必要条件5 FF线方程为 y=x，点 在双曲线上、则 =（ ）12 2 0 485 分）如图，在半径为 3 的球面上有 A、B、C 三点，ABC=90，BA=BC，球心 O到平面 ABC 的距离是 ，则 、C两点的球面距离是（ ） 295 分）已知直线 l：4x3y+6=0和直线 l：x=1，抛物线=4x上一动点P到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是（ ） 2 3105 A 原料 3吨、B原料 2 A 原料 1吨、B原料 3可获得利润 5 万元、每吨乙产品可获得利润 3 万元

3、该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过 13 吨、B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是（ ）12 万元 20 万元 25 万元 27万元1152 位男生和 3 位女生共 5 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）60 48 42 36第页（共32页）125 分）已知函数 f（x）是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x都有 xf（+1）=（+x）（x 的值是（ ）0 1 二、填空题（共4 小题，每小题4 分，满分 16分）134 分） 的展开式的常数项是 （用数字作答）144 +=5与xm+=20（mR AB 两点，且两圆在点 A处的切线

4、互相垂直，则线段 AB 的长度是 154 ABCBC1M 是侧棱1的中点，则异面直线 AB1和 所成的角的大小是 164分）设 V 是已知平面M上所有向量的集合，对于映射 ，记 的象为 若映射f：VV 满足：对所有 及任意实数，都有 ，则 f称为平面 M 上的线性变换现有下列命题：设 f是平面 M 上的线性变换，则对 设 ，则 f 是平面 M上的线性变换；若 是平面 M 上的单位向量，对 设 ，则 f 是平面 M 上的线性变换；设f 是平面M 上的线性变换， ，若 共线，则 也共第页（共32页）线其中真命题是 （写出所有真命题的序号）三、解答题（共6 小题，满分74 分）1712分）在ABC

5、中，、B 为锐角，角A、C 所对的边分别为 a、b、，且 cos2A= ，sinB= （）求 A+B 的值；（）若 ab= 1，求 a、c 的值1812 2009年面向国内发行总量为 2000 万张的熊 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 是省外游客，其余是省内游客在省外游客中有 持金卡，在省内游客中有 持银卡 3 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率； 3 ，求的分布列及数学期望 E第页（共32页）1912 分）如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直，ABE 是等腰直角三角形，AB=AE，AEF=45（I）求证：EF平面 BCE；（）设线段 CD、A

6、E的中点分别为 P、，求证：PM平面 BCE；（）求二面角 FBDA 的大小2012 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为F、F，离心率，右准线方程为 x=2（）求椭圆的标准方程；（ F1的直线 l 与该椭圆交于 N l 的方程第页（共32页）2112分）已知 a0 且 a1，函数 （）=log（ax（）求函数 f（）的定义域，并判断 f（）的单调性；（）若 nN，求 ；（3）当 a=e（e 为自然对数的底数）时，设h（x）=（1e（xm+1若函数的极值存在，求实数 m 的取值范围以及函数 （）的极值2214分）设数列n的前 n 项和为 S，对任意的正整数n，都有 a=5S+1 成立，记 （）求数

7、列的通项公式；（）记 =b2n1（n*c的前 n 项和为Tn，求证：对任意正整数 n都有 ；（）设数列b的前n 项和为 n已知正实数满足：对任意正整数 nRn第页（共32页）恒成立，求的最小值第 页（共32页）2009 年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）5 分）设集合 S=|5，T=|+4x210，则 S（ ）x|75 x|3|53 D|7【考点】：交集及其运算；7E：其他不等式的解法【分析】由绝对值的意义解出集合 S，再解出集合 T，求交集即可【解答】解：由 x|5，T=|73故 ST=|x，故选：【点评】基础题25分）已知函

8、数 连续，则常数a 的值是（ ）2 3 4 5【考点】63：导数的运算【专题】11：计算题【分析】根据 x=2 的左右极限和 x=2 定义求解【解答】解：由题意得：= ，第页（共32页）又（2）=a+2=a+1，由函数在一点处的连续性的定义知 （2）= ，故 +1=4，解得 a=3故选：【点评】本小题考查分段函数的连续性，是简单的基础题函数 f（x）在点 0连续的充要条件是：函数 （x）在点 0既是右连续，又是左连续5 分）复数 的值是（ ）1 1 i i【考点】：复数的运算【专题】11：计算题【分析】方，再计算除法，注意虚数单位 i 的运算性质【解答】解： = =1，原式=1故选：【点评】算

9、，解题时只要分子和分母同乘以分母的共轭复数，就可以得到结果5 分）已知函数 f（）=sin（+ R ）函数 f（x）的最小正周期为 第页（共32页）函数 f（）在区间0， 上是增函数函数 f（）的图象关于直线 x=0 对称函数 f（）是奇函数【考点】H9：余弦函数的定义域和值域；HB：余弦函数的对称性【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；57：三角函数的图像与性质（= AC D错误，可得结论【解答】解：由题意，（x），可得 A，C 正确，由于 （x）（ D 错误，故选：【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题55 PABCDEF 的底面是正六边形，平面 ABC则下列结

10、论正确的是（ ）PBAD平面 平面 PBC直线 BC平面 直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45【考点】：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角【分析】利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案【解答】解：AD与 PB在平面的射影 AB不垂直，所以 A不成立，又，平面 平面 ，第10页（共32页）所以平面 平面 PBC 也不成立；AD平面 ，直线 平面 也不成立在 中，PDA=45，故选：【点评】本题考查直线与平面成的角、直线与平面垂直的性质5 acd db”是cd” ）充分而不必要条件 必要而不充分条件充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充

11、要条件；71：不等关系与不等式【分析】由题意看命题b”与命题cd”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断【解答】解：cd，d 两个同向不等式相加得 ab但 d，bad例如 a=2，b=1，c=1，d=3 时，ab故选：【点评】此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题5 FF线方程为 y=x，点 在双曲线上、则 =（ ）12 2 0 4【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；：双曲线的性质【专题】11：计算题【分析】由双曲线的渐近线方程，不难给出 a，b的关系，代入即可求出双曲线第11页（共32页）的标准方程，进而可以求出 F1、2，及 P 点坐标

12、，求出向量坐标后代入向量内积公式即可求解【解答】解：由渐近线方程为 y=x知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是 ，于是两焦点坐标分别是 F（2，0）和 F（2，0且 或 、不妨令 ，则 ， =故选：【点评】 a，c算85 分）如图，在半径为 3 的球面上有 A、B、C 三点，ABC=90，BA=BC，球心 O到平面 ABC 的距离是 ，则 、C两点的球面距离是（ ） 2【考点】ND：球的性质【专题】11：计算题【分析】欲求 B、C 两点的球面距离，即要求出球心角BOC，将其置于三角形 中解决第12页（共32页）【解答】解：AC是小圆的直径所以过球心 O作小圆的垂线，垂足 O是 AC的中点OC=

13、， ，BC=3，即 BC=OB=OC ，则 、C两点的球面距离= 故选：【点评】有关球面距离的问题，最关键是突出球心，找出数量关系95 分）已知直线 l：4x3y+6=0和直线 l：x=1，抛物线=4x上一动点P到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是（ ） 2 3【考点】IT：点到直线的距离公式【专题】11：计算题设出抛物线上一点 P P到直线 l1和直线 l2的距离 d1和 +d可求出距离之和的最小值 Pa2a则 P 到直线 lx=1的距离 =a+1；P到直线 l：4x3y+6=0的距离 d=则 +=a+1 =当 a= 时，P到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值为 2故选：【点评

14、】第13页（共32页）直线的距离公式化简求值，是一道中档题105 A 原料 3吨、B原料 2 A 原料 1吨、B原料 3可获得利润 5 万元、每吨乙产品可获得利润 3 万元该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过 13 吨、B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是（ ）12 万元 20 万元 25 万元 27万元【考点】7C：简单线性规划【专题】12：应用题；16：压轴题先设该企业生产甲产品为 x y z=5x+3y z 线 z=5x+3y过可行域内的点时，从而得到 z 值即可 x y为 z=5x+3y，且联立 解得由图可知，最优解为 （3，4z的最大值为 z=53+3故选：【点评

15、】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：分析题目中相关量的关系，第14页（共32页）列出不等式组，即约束条件由约束条件画出可行域分析目标函数 Z与直线截距之间的关系使用平移直线法求出最优解还原到现实问题中1152 位男生和 3 位女生共 5 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）60 48 42 36【考点】D9：排列、组合及简单计数问题【专题】11：计算题；16：压轴题从 3 名女生中任取 2人“捆”在一起，剩下一名女生记作 B，两名男生分 B四个位置插入乙【解答】 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作AA 共有 CA=6种不同剩下一名女生记作 ，两名男生分别记作甲、乙

16、；则男生甲必须在AB AB B生乙排在 、B 之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有 2=12种排法（A 左 B 右和 A右 B 左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，共有 124=48种不同排法故选：【点评】看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题第15页（共32页）125 分）已知函数 f（x）是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x都有 xf（+1）=（+x）（x 的值是（ ）0 1 【考点】3I：奇函数、偶函数；3T：函数的值【专题】11：计算题；16：压轴题从 （+1（1+（x得 ，再由 依此求解【解答】解：若 0

17、，则有 ，取 ，则有：（x）是偶函数，则由此得于是，故选：【点评】是将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，把握递推的规律二、填空题（共4 小题，每小题4 分，满分 16分）134 分） 的展开式的常数项是 20 （用数字作答）【考点】：二项式定理【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项 x的指数为 0 求得常数项第16页（共32页）【解答】解： ，令 2r=0，得 r=3故展开式的常数项为（）C=20故答案为20【点评】二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具144 +=5与xm+=20（mR AB 两点，且两圆在点 A处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是 4 【

18、考点】IA：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；：圆的标准方程【专题】16：压轴题【分析】画出草图，OA，有勾股定理可得 m 的值，再用等面积法，求线段 AB的长度【解答】解：由题 （0，）与 m，0），OA，5AB=故答案为：4【点评】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题154 ABCBC1M 是侧棱1的中点，则异面直线 AB1和 所成的角的大小是 90 第17页（共32页）【考点】：异面直线及其所成的角【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】由题意设棱长为 a，补正三棱柱 ABCA，构造直角三角形 ABM，解直角三角形求出 BM，利用勾股定理求出 M，从而求解【解答】解：

19、设棱长为 ，补正三棱柱 ABCA平移 AB1至 A，连接 A，2即为 AB1与 所成的角，在 中，A a，BM= = a，M= = a，B+BM=AM，=90故答案为 90【点评】杂，要仔细的做第18页（共32页）164分）设 V 是已知平面M上所有向量的集合，对于映射 ，记 的象为 若映射f：VV 满足：对所有 及任意实数，都有 ，则 f称为平面 M 上的线性变换现有下列命题：设 f是平面 M 上的线性变换，则对 设 ，则 f 是平面 M上的线性变换；若 是平面 M 上的单位向量，对 设 ，则 f 是平面 M 上的线性变换；设f 是平面M 上的线性变换， ，若 共线，则 也共线其中真命题是

20、（写出所有真命题的序号）【考点】3C：映射；96【专题】16：压轴题 VV 有 及任意实数，都有 ，则 f 称为平面 M上的线性变换我们根据其定义对题目中的四个结论进行判断，即可得到结论【解答】解：令 = = ，=1，由题有 （ ）=2f（ ）（ ）= ，故正确；由题 （ + ）=2（ + f（ ）+（ ） +2 ）=2（ + 即 （ + ）=f（ ）+（ 第19页（共32页）由题 （ + ）= + ，f（ ）+（ ）= + 即 （ + f（ ）+（ 由题 ，（ ）=f（ ）=f（ ）（ ） （ ）=f（ 即 （ f（ ）也共线，故正确；故答案为：【点评】 M 的所有元素都具有性质P，S是 M

21、 的子集，那么 S 中所有元素都具有性质 三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论三、解答题（共6 小题，满分74 分）1712分）在ABC 中，、B 为锐角，角A、C 所对的边分别为 a、b、，且 cos2A= ，sinB= （）求 A+B 的值；（）若 ab= 1，求 a、c 的值【

22、考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系可得cosB 的值，再由余弦函数的二倍角公式可得 sinA和 cosA的值，最后根据两角和的余弦公式可得答案第20页（共32页）（ C Cabc的值【解答】）A、B 为锐角，sinB= ，cosB= = 又 cos2A=12sinA= ，sinA= ， = （A+）=cosAcosBsinAsinB= = A+B，A+ （）由（1）知 ，sinC= 由正弦定理 = = 得a= b= ，即 a= b， bb= 1， b= ，b=1a= ， 【点评】公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力1812 2009年

23、面向国内发行总量为 2000 万张的熊 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 是省外游客，其余是省内游客在省外游客中有 持金卡，在省内游客中有 持银卡 3 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率； 3 ，求的分布列及数学期望 E第21页（共32页）【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差【专题】11：计算题【分析】（）由题意得，省外游客有27 人，其中9 人持金卡；省内游客有 9人，其中 6 人持银卡记出事件，表示出事件的概率，根据互斥事件的概率公式，得到结论（）在该团的境内游客中随机采访3 名游客，其中持银卡人数为随机变量，则得到【解答】

24、 36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中 是省外游客，其余是省内游客由题意得，省外游客有 27人，其中 9人持金卡；境内游客有 9 人，其中 6 人持银卡设事件 B为“采访该团 3 人中，恰有 1人持金卡且持银卡者少于 2 人”，事件 1为采访该团 3 人中，1 人持金卡，0人持银卡”，事件 2为采访该团 3 人中，1 人持金卡，1人持银卡”（B）（A）+P（）=所以，在该团中随机采访 3人，恰有 1人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率是 （）的可能取值为 0，1，2，3（=0）= P（=1）= （=2）= ，P（=3）= ，第22页（共32页）所以的分布列为 0 1 2 3P 【点评】解

25、题过程中判断概率的类型是难点也是重点，这种题目高考必考，应注意解题的格式1912 分）如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直，ABE 是等腰直角三角形，AB=AE，AEF=45（I）求证：EF平面 BCE；（）设线段 CD、AE的中点分别为 P、，求证：PM平面 BCE；（）求二面角 FBDA 的大小面垂直；MJ：二面角的平面角及求法【专题】11：计算题；14：证明题【分析】（1 EF平面 BCE，根据线面垂直的判定定理可知只需证 EFBE，EF，BCBE=B，根据条件很显然；（2 的中点 CN，MN PMCN，根据线面平行的判定定理很快得证；（3）作 FGAB

26、，交 的延长线于G，作 GH 于 H，连接 FH，易证FHG为二面角 FBDA 的平面角，在 FGH中求出此角即可第23页（共32页）解：因为平面 ABEF平面ABCDBC平面 ABCDBCAB ABEF平面 ABCD=AB，所以 平面 ABEF所以 EF因为ABE 为等腰直角三角形，AB=AE，所以AEB=45，又因为AEF=45，所以FEB=90，即 EF因为 平面 ABCD，BE平面 BCE，BE=B所以 EF平面 （ II）取 的中点 N，连接 CN，MN，则 MN= =PCPMNC为平行四边形，所以 PM在平面 内，PM不在平面 内，PM平面 BCE（III）由 AB，平面 ABEF

27、平面 ABCD，易知 平面 ABCD、作 AB，交 的延长线于 G，则 、从而 FG平面 ABCD，作 GH 于 ，连接 FH，则由三垂线定理知 FH、FHG 为二面角 FBDA 的平面角、，AEF=45，AEF=90，、设 AB=1，则 AE=1，AF= ，则第24页（共32页）在 中，GBH=45，BG=AB+ = ，在 FGH中， ，二面角 FBDA 的大小为【点评】能力和推理论证能力，属于基础题2012 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为F、F，离心率，右准线方程为 x=2（）求椭圆的标准方程；（ F1的直线 l 与该椭圆交于 N l 的方程IGK3KH与圆锥曲线的综合【专题】11：计算

28、题；16：压轴题【分析】（ 得 （）由题意知 F（1，F（1， l 的斜率不存在，第25页（共32页）则直线 l 的方程为 x=1，由 得设 、 ，这与已知相矛盾若直线 l l 的斜率为 k l 的方程为 y=k（+设 M（x1，1N（2，y2 ，消元得（+2k2）+4k+2k22=0再由根与系数的关系进行求解【解答】）由已知得 ，解得 所求椭圆的方程为（ ）由（1）得 F（，0F（，0）若直线 l 的斜率不存在，则直线 l 的方程为 x=1，由 得设 、 ， ，这与已知相矛盾若直线 l l 的斜率为 l 的方程为 y=k（+1设 （x，yN（，联立 ，消元得（+2k）x+4kx+2k2=0第

29、26页（共32页） ， 又化简得 40k23k17=0解得 =1或 k= （舍去）k=1所求直线 l 的方程为 y=x+1 或 y=1【点评】本题考查直线和圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，合理解答2112分）已知 a0 且 a1，函数 （）=log（ax（）求函数 f（）的定义域，并判断 f（）的单调性；（）若 nN，求 ；（3）当 a=e（e 为自然对数的底数）时，设h（x）=（1e（xm+1若函数的极值存在，求实数 m 的取值范围以及函数 （）的极值【考点】4K：对数函数的定义域；4O：对数函数的单调性与特殊点；6D：利用导数研究函数的极值；：极限及其运算【专题】11：计算题；16：

30、压轴题【分析】（）据对数函数的真数大于 0，列出不等式求出定义域；求出导函数，利用导函数大于 0函数得到递增；导函数小于 0 函数单调递减（）求出 f（）代入极限式，利用特殊函数的极限值求出极限（3）求出导函数，令导函数为 0，导函数是否有根进行分类讨论；导函数的根第27页（共32页）是否在定义域内再一次引起分类讨论，利用极值的定义求出极值【解答】）由题意知，1a0所以当 0a1 时，f（x）的定义域是（0a1 时，f（x）的定义域是（，（x）= =当 0a1 x（0 a10a0 （x0 （）是减函数当 a1 时，x（，0 x10，a0，故 f（）0，所以f（）是减函数（2）因为 f（n）=log（1n a（）=1a，由函数定义域知 1a0，因为 n是正整数，故 0a1，所以 = （3）h（）=e（m+1x0 （）=