新教材高中数学选择性必修第一册重难点突破专题08《与圆有关的定点问题以及阿波罗尼斯圆》（原卷版）

1、 10/10专题08 与圆有关的定点问题以及阿波罗尼斯圆题型一 与圆有关的定点问题1已知直角坐标系 SKIPIF 1 0 中，圆 SKIPIF 1 0 过点 SKIPIF 1 0 作圆 SKIPIF 1 0 的切线 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 的方程；直线 SKIPIF 1 0 与圆 SKIPIF 1 0 交于点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，已知 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 轴平分 SKIPIF 1 0 ，证明：不论 SKIPIF 1 0 取何值，直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 轴的交点为定点，并求出此

2、定点坐标 2已知圆 SKIPIF 1 0 过点 SKIPIF 1 0 ，圆心 SKIPIF 1 0 在直线 SKIPIF 1 0 上（1）求圆 SKIPIF 1 0 的一般方程（2）若不过原点 SKIPIF 1 0 的直线 SKIPIF 1 0 与圆 SKIPIF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，且 SKIPIF 1 0 ，试问直线 SKIPIF 1 0 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由3已知直线 SKIPIF 1 0 ，半径为3的圆 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 相切，圆心 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF

3、1 0 轴上且在直线 SKIPIF 1 0 的右下方（1）求圆 SKIPIF 1 0 的方程；（2）过点 SKIPIF 1 0 的直线与圆 SKIPIF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 轴上方），问在 SKIPIF 1 0 轴正半轴上是否存在定点 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 轴平分 SKIPIF 1 0 ？若存在，请求出点 SKIPIF 1 0 的坐标；若不存在，请说明理由 4已知 SKIPIF 1 0 为直线 SKIPIF 1 0 上一动点，过点 SKIPIF 1 0 向圆 SKIPI

4、F 1 0 作两切线，切点分别为 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 （1）求四边形 SKIPIF 1 0 面积的最小值及此时点 SKIPIF 1 0 的坐标；（2）直线 SKIPIF 1 0 是否过定点？若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由5已知圆 SKIPIF 1 0 和直线 SKIPIF 1 0 （1）若直线 SKIPIF 1 0 与圆 SKIPIF 1 0 相交，求 SKIPIF 1 0 的取值范围；（2）若 SKIPIF 1 0 ，点 SKIPIF 1 0 是直线 SKIPIF 1 0 上一个动点，过点 SKIPIF 1 0 作圆 SKIPIF 1 0 的两条切线 S

5、KIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ，切点分别是 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ，证明：直线 SKIPIF 1 0 恒过一个定点 6已知圆 SKIPIF 1 0 ，点 SKIPIF 1 0 是直线 SKIPIF 1 0 上的一动点，过点 SKIPIF 1 0 作圆 SKIPIF 1 0 的切线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，切点为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）当切线 SKIPIF 1 0 的长度为 SKIPIF 1 0 时，求点 SKIPIF 1 0 的坐标；（2）若 SKIPIF 1 0 的外接圆为圆 SKIPIF 1

6、 0 ，试问：当 SKIPIF 1 0 运动时，圆 SKIPIF 1 0 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由 7已知圆 SKIPIF 1 0 经过两点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 且圆心 SKIPIF 1 0 在直线 SKIPIF 1 0 上（）求圆 SKIPIF 1 0 的方程；（）设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是圆 SKIPIF 1 0 上异于原点 SKIPIF 1 0 的两点，直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0

7、，求证：直线 SKIPIF 1 0 经过一定点，并求出该定点的坐标 8在平面直角坐标系 SKIPIF 1 0 中，点 SKIPIF 1 0 在直线 SKIPIF 1 0 上， SKIPIF 1 0 ，以线段 SKIPIF 1 0 为直径的圆 SKIPIF 1 0 为圆心）与直线 SKIPIF 1 0 相交于另一个点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）求圆 SKIPIF 1 0 的标准方程；（2）若点 SKIPIF 1 0 不在第一象限内，圆 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 轴的正半轴的交点为 SKIPIF 1 0 ，过点 SKIPIF 1 0 作两条直线分别

8、交圆于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，且两直线的斜率之积为 SKIPIF 1 0 ，试判断直线 SKIPIF 1 0 是否恒过定点，若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由9已知三点 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 在圆 SKIPIF 1 0 上 SKIPIF 1 0 为直线 SKIPIF 1 0 上的动点， SKIPIF 1 0 与圆 SKIPIF 1 0 的另一个交点为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 与圆 SKIPIF 1 0 的另一个交点为 SKIPIF 1 0 （1）求圆 SKIPIF 1 0 的标准

9、方程；（2）若直线 SKIPIF 1 0 与圆 SKIPIF 1 0 相交所得弦长为 SKIPIF 1 0 ，求点 SKIPIF 1 0 的坐标；（3）证明：直线 SKIPIF 1 0 过定点 10已知 SKIPIF 1 0 关于直线 SKIPIF 1 0 对称，且圆心在 SKIPIF 1 0 轴上（1）求 SKIPIF 1 0 的标准方程；（2）已知动点 SKIPIF 1 0 在直线 SKIPIF 1 0 上，过点 SKIPIF 1 0 引 SKIPIF 1 0 的两条切线 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ，切点分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 记四边形

10、 SKIPIF 1 0 的面积为 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 的最小值；证明直线 SKIPIF 1 0 恒过定点11已知圆 SKIPIF 1 0 与直线 SKIPIF 1 0 相离， SKIPIF 1 0 是直线 SKIPIF 1 0 上任意一点，过 SKIPIF 1 0 作圆 SKIPIF 1 0 的两条切线，切点为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）若 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 ；（2）当点 SKIPIF 1 0 到圆 SKIPIF 1 0 的距离最小值为 SKIPIF 1 0 时，证明：直线 SKIPIF 1 0 过定点

11、12已知圆 SKIPIF 1 0 ，圆 SKIPIF 1 0 （1）求过点 SKIPIF 1 0 且与圆 SKIPIF 1 0 相切的直线的方程；（2）若与 SKIPIF 1 0 轴不垂直的直线 SKIPIF 1 0 交 SKIPIF 1 0 于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，交 SKIPIF 1 0 于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，且 SKIPIF 1 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 0 过定点13已知圆 SKIPIF 1 0 经过点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且圆心在直线 SKIPIF 1 0 上（1）求圆 SK

12、IPIF 1 0 的方程；（2）过点 SKIPIF 1 0 的直线与圆 SKIPIF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，问在直线 SKIPIF 1 0 上是否存在定点 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 恒成立？若存在，请求出点 SKIPIF 1 0 的坐标；若不存在，请说明理由 14已知圆 SKIPIF 1 0 的圆心在 SKIPIF 1 0 轴正半轴上，半径为5，且与直线 SKIPIF 1 0 相切（1）求圆 SKIPIF 1 0 的方程；（2）设点 SKIPIF 1 0 ，过点 SKIPIF 1 0 作直线 SKIPIF 1 0 与圆 S

13、KIPIF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，若 SKIPIF 1 0 ，求直线 SKIPIF 1 0 的方程；（3）设 SKIPIF 1 0 是直线 SKIPIF 1 0 上的点，过 SKIPIF 1 0 点作圆 SKIPIF 1 0 的切线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，切点为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 求证：经过 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标 题型二 阿波罗尼斯圆15古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之

14、比为常数 SKIPIF 1 0 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆若平面内两定点 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 间的距离为2，动点 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的最大值为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 16阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一：若动点 SKIPIF 1 0 与两定点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的距离之比为 SKIPIF 1

15、0 ，则点 SKIPIF 1 0 的轨迹就是圆事实上，互换该定理中的部分题设和结论，命题依然成立已知点 SKIPIF 1 0 ，点 SKIPIF 1 0 为圆 SKIPIF 1 0 上的点，若存在 SKIPIF 1 0 轴上的定点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 和常数 SKIPIF 1 0 ，对满足已知条件的点 SKIPIF 1 0 均有 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A1B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 17阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠“阿波罗尼斯圆”是他的代

16、表成果之一：平面上一点 SKIPIF 1 0 到两定点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的距离之满足 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 为常数，则 SKIPIF 1 0 点的轨迹为圆已知圆 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 ，若定点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 和常数 SKIPIF 1 0 满足：对圆 SKIPIF 1 0 上任意一点 SKIPIF 1 0 ，都有 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 18阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果

17、之一：平面上一点 SKIPIF 1 0 到两定点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的距离之满足 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 为常数，则 SKIPIF 1 0 点的轨迹为圆已知圆 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 ，若定点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 和常数 SKIPIF 1 0 满足：对圆 SKIPIF 1 0 上任意一点 SKIPIF 1 0 ，都有 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 面积的最大值为 19已知圆 SKIPIF 1 0 的圆心在直线 SKIPIF 1 0 上，与 SK

18、IPIF 1 0 轴正半轴相切，且被直线 SKIPIF 1 0 截得的弦长为 SKIPIF 1 0 （1）求圆 SKIPIF 1 0 的方程；（2）设点 SKIPIF 1 0 在圆 SKIPIF 1 0 上运动，点 SKIPIF 1 0 ，且点 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，记点 SKIPIF 1 0 的轨迹为 SKIPIF 1 0 求 SKIPIF 1 0 的方程，并说明 SKIPIF 1 0 是什么图形；试探究：在直线 SKIPIF 1 0 上是否存在定点 SKIPIF 1 0 （异于原点 SKIPIF 1 0 ，使得对于 SKIPIF 1 0 上任意一点 SKIPI

19、F 1 0 ，都有 SKIPIF 1 0 为一常数，若存在，求出所有满足条件的点 SKIPIF 1 0 的坐标，若不存在，说明理由20阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作圆锥曲线一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点 SKIPIF 1 0 与两定点 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 的距离之比为 SKIPIF 1 0 ，那么点 SKIPIF 1 0 的轨迹就是阿波罗尼斯圆下面，我们来研究与此相关的一个问题已知圆： SKIPIF 1 0 和点 SKIPIF 1 0 ，点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为圆 SKIPIF 1 0 上动点，则 SKIPIF 1 0 的最小值为21已知圆 SKIPIF 1 0 ，直线 SKIPIF 1 0 （1）求直线 SKIPIF 1 0 所过定点 SKIPIF 1 0 的坐标；（2）若直线 SKIPIF 1 0 被圆 SKIPIF 1 0 所截得的弦长为 SKIPIF 1 0 ，求实数 SKIPIF 1 0 的值；（3）若点 SKIPIF 1 0 的坐标为 SKIPIF 1 0