《超级画板》进行数学探究性教学案例

1、超级画板帮你教数学之12超级画板与探究性教学案例（1）彭翕成华中师范大学教育信息技术工程研究中心，武汉430079江春莲华中师范大学数学与统计学学院，武汉430079超级画板为数学探究性活动提供了有力的工具平台1-2,用它作出一些特殊的点、线的轨迹已是一件非常容易之事。本文将基于 超级画板从椭圆的作图问题延伸拓展，并 从数学的角度解释得到的二次曲线轨迹。【例1】在人教版普通高中课程标准实验教科书数学选修 2-1第39页例3是这样的：（如图1）设点A, B的坐标分别为（3,0） , （5,0）.直线AM , BM相交于点M,且它4们的斜率之积为，求点M的轨迹方程。9图1图2在超级画板中，对这一问

2、题，我们只需要两次使用“ LineOfPointSlope（,）;“命令作出两直线及其交点（两直线的斜率可分别用变量t和-4）,再作出t的动画并对点 M进9t22行跟踪。我们不难求出其轨迹方程为x y-=1 （x ； -5）.25 100（9【椭圆作图的切线法】在众多的椭圆作法中，有个“切线法” 。该法主要步骤是：（1） 作圆L O及其直径AB , （2）分别过A , B作L O的切线l , m , （3）在L。上任取一点C, 过点C作|_O的切线分别交l , m于点G, H,连接AH, BG交于点M,则当点C在O 上运动时，点 M的轨迹为椭圆（图2）。事实上，若以。为原点，直径 AB为X轴建

3、立直角坐标系，则可设 L O的方程为X2 + y2 = r2 ,则切线l , m的方程分别为X= r和X = r ,若设点C坐标为 （r coS r Si n则切线GH的方程为xcos +ysin = r ,所以点G, H的坐标分别为1-111y = -gcot,lx-r),22方程为+3=1。r 1 2r4(-r, rcot) , (r, rtan-),所以直线 ah , BG 的万程分力1J为y = - tan (x + r)和，1”一 ，一两万程联立解得点 M坐标为(rcosB, -r sin0),所以点M的轨迹实际上，按此方法我们只能作出长轴为圆x2 + y2 = r2的直径，短轴为其

4、半径一半的椭圆。在上述讨论中，由直线AH, BG的方程我们可以得出y-hy= _1，即x r x - r 41kAjk BJ =-为定值，这是切线法与前述例题一致的地方。4下面我们将从例1与椭圆作图的切线法提出一些数学问题进行探讨。【拓展1】例1中，若设点A, B的坐标分别为(_r,0) , (r,0).直线AM , BM的斜率222x y之积为-a ,则点 M的轨迹方程为 一+上3=1 (x/r)。现在的问题是，在这种情况 r (ar)下，若设直线 AM与过点B的直线x = r的交点为H,直线BM与过点A的直线x = -r的交点为G (图3),则直线GH有什么特点？我们对直线GH进行跟踪发现

5、其包络为椭圆(图4)。这里我们讨论一下该包络的方程。a2右设直线AM的万程为y = k(x + r),则直线BM的万程为y = (x r),进而可求得 k2ra2点G , H的坐标分别为(r, 2kr)和(-r, )，所以，直线 GH的方程为 ka_a(k -)(x r) y+2kr=0,设 F(x, y,k)=(k -)(x-r) - y+ 2kr,则直线 GH 的包 kk络由方程组尸x,y,k)=0确定。而Fk(x,y,k) =02Fk(x,y,k) =(1 ,a7)(x-r) , 2r ,由此我们得到方 k(k-程组(12)(x - r) - y 2kr = 0 k2a2)(x-r) 2

6、r =0解得22a - kx 2 2 r22a F ，消去参数k得：与十2 = 1.4a2ka 4a ry = -2ra k图3图4【拓展2】在椭圆作图的切线法中，若AB不是直径，结果如何呢？图 5表明，点M的轨迹仍为椭圆。我们还是以。为原点，平行于AB的直线为X轴建立直角坐标系， 则可设点A , B的坐标为（r cos%r sin叼 和（r cos ,r sinc（）,过点 a, b的切线方程分别为-xcos.：s ysin - - r和 xcos： 1 ysin - - r ,这两个方程分别与过点C的切线方程xcos + y sin日=r联立可求得点G, Ha -0 rsin的坐标分别为(

7、T-2, 6 +asin26 -ar cost)，sinQ +a r cos(,cos20 +a rsin一)cos所以直BG 的方y -rsin :20 +asin-sin-：20 -a cos2x rcos：0 +a0 -clcos cos： cos22t y - r sin、工和y一x - r cos：CL -0 cos20 +a-sin ： sin2asincos：2sin222rcos 二cosix =；2：联立两式解得点M的坐标为1 cos & 一空口 sin8r cos 二：(sin 二-sin 二:)y =r sin : 21 cos : -sin、i sin 1由其解得sin

8、 二二cos 二 一2 一y - rsin - 1 ycos2-2；r cos - -r sin 工 ysin ,22 一 广2，由sin日+cos日=1并整理得点xcos -的轨迹方程2 . 2 .rcos -rsin - ysin, 3r sin :、222(y -2-)x 3 cos :-2rcos_ 2,2rcos2 ;、2() )(2 )、.3 cos -：3 cos 二【拓展3】在椭圆作图的切线法中，若G, H仍为过点C的切线与直线x=r的交点,但将A移至直线x= T上其他地方，结果又如何呢？仿上可设点C坐标(r cose, r sin0), TOC o 1-5 h z 00则切线

9、GH的方程为xcosO + ysin 0 = r，点G, H的坐标为(_r, rcot)和(r r tan ), 22Q8若设A(r,a),则直线AH的方程为x(r tana)2ry =ar -r2 tan,将其与BG的22 2r2 cos - ar sin【 r 2sin1万程 x+2ytan= r联立解得点 M 坐标为(, ),由其斛得22r - asin 1 2r - asin 二.-2rysin 1二2M 的轨迹方程为 r2x2 + 2arxy+4r2y22ar 2y -r4 = 0 ,其ay+，所以点t xr aycos 1:2ay r =4r2(a2 -4r2),所以当a 2r时，

10、轨迹为椭圆(图 6)；当a =2r时，轨迹为抛物线(图7)；当a a2r时，轨迹为双曲线(图 8)。【拓展4】在拓展3中，若GH不是垂直于半径 OC,而是垂直于连接点 C与x轴上任一点D的连线，结果又如何呢？仿上可设点C坐标(rcose, rsin日)，D(d,0),则直线CD则直线 GH 的方程为的方程为 rsin 9x (r cose d) y = dr sin e-一 (r d)(1 cos)(r cosB d)x+rsin Hy =r(rd cos),所以点 G,H 的坐标为(r, ),sinu(r +d)(1cos,。仍设 A(_r,a),则直线 AH , BG 的方程分别为 sin 1y -a x r(r d)(1-cosi) -asin 12r sini和_y_x 一 r(r -d)(1 cos)-2r sin1，将（1）式变形得IZa +亘=（r +d）（1 co刈（3）将（2）（3）两式相乘并整理得点M的轨迹方x r 2r 2r sin 二22X22 222222, 222、桂(r -d )x +2arxy +4r y -2ar y + r (d r) = 0,其 A=4r(a +4d 4r),所以当a2+