新教材高中数学选择性必修第一册重难点突破专题15《圆锥曲线常考题型03-定点问题》（解析版）

1、 23/23专题15 圆锥曲线常考题型03定点问题圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，而这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量影响的某个点，就是要求的定点求解这类难点问题的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量1如图，已知抛物线 SKIPIF 1 0 上一点 SKIPIF 1 0 到焦点 SKIPIF 1 0 的距离为3，直线 SKI

2、PIF 1 0 与抛物线交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为坐标原点）（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线 SKIPIF 1 0 过定点【解答】解：（1）由抛物线的方程可得准线的方程为： SKIPIF 1 0 ，再由抛物线的性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到直线的距离，所以由题意可得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，所以抛物线的方程为： SKIPIF 1 0 ；（2）证明：设直线 SKIPIF 1 0 的方程为 S

3、KIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，联立 SKIPIF 1 0 ，整理可得： SKIPIF 1 0 ，可得： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，所以直线 SKIPIF 1 0 的方程为： SKIPIF 1 0 ，所以直线恒过定点 SKIPIF 1 0 2已知抛物线 SKIPIF 1 0 （1）若 SKIPIF 1 0 与圆 SKIPIF 1 0 在第一象限内交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，求直线 SKIPIF 1 0 的方程；（2）直线 SKIPIF 1 0

4、 过点 SKIPIF 1 0 交 SKIPIF 1 0 于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，点 SKIPIF 1 0 关于 SKIPIF 1 0 轴的对称点为 SKIPIF 1 0 ，直线 SKIPIF 1 0 交 SKIPIF 1 0 轴于点 SKIPIF 1 0 ，求证： SKIPIF 1 0 为定点【解答】解：（1）联立 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，可得直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，（2）证明：由题意，可设直线 SKIPIF 1

5、 0 方程为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，联立直线 SKIPIF 1 0 与抛物线方程 SKIPIF 1 0 ，化简整理可得， SKIPIF 1 0 ，由韦达定理可得， SKIPIF 1 0 ，由题意，可设直线 SKIPIF 1 0 方程为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，化简整理可得， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 方程为 SKIPIF 1 0 ， S

6、KIPIF 1 0 直线 SKIPIF 1 0 必过点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为定点 SKIPIF 1 0 ，即得证3设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是抛物线 SKIPIF 1 0 上的两点，且 SKIPIF 1 0 （）若 SKIPIF 1 0 ，求直线 SKIPIF 1 0 的方程；（）证明：当点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上运动时，线段 SKIPIF 1 0 的垂直平分线过定点【解答】解：（） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 和

7、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是抛物线 SKIPIF 1 0 上的两点，且 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，可得直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，即为 SKIPIF 1 0 ；或 SKIPIF 1 0 ，即为 SKIPIF 1 0 ；（）证明：由题意可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，相减可得 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 的

8、斜率 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 中点的横坐标为5，可得 SKIPIF 1 0 的垂直平分线方程为 SKIPIF 1 0 ，即为 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则线段 SKIPIF 1 0 的垂直平分线过定点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 4已知曲线 SKIPIF 1 0 上的任意一点到点 SKIPIF 1 0 的距离比到直线 SKIPIF 1 0 的距离小1（）求曲线 SKIPIF 1 0 的方程；（）若不经过坐标原点 SKIPIF 1 0 的直线 SKIPIF 1 0 与曲

9、线 SKIPIF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，以线段 SKIPIF 1 0 为直径的圆过点 SKIPIF 1 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 0 过定点【解答】解：（）因为曲线 SKIPIF 1 0 上的任意一点到点 SKIPIF 1 0 的距离比到直线 SKIPIF 1 0 的距离小1，所以曲线 SKIPIF 1 0 上的任意一点到点 SKIPIF 1 0 的距离与到直线 SKIPIF 1 0 的距离相等，所以曲线 SKIPIF 1 0 为以 SKIPIF 1 0 为焦点，直线 SKIPIF 1 0 为准线的抛物线，即 SKIPIF 1 0 ，所以

10、曲线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 （）证明：根据题意当 SKIPIF 1 0 的斜率部位0时，设直线 SKIPIF 1 0 方程为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，联立 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，因为以线段 SKIPIF 1 0 为直径的圆过点 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPI

11、F 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 （舍去）或 SKIPIF 1 0 ，所以直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，所以直线 SKIPIF 1 0 经过定点 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 的斜率为0时，由对称性知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，此时 SKIPIF 1 0 也过 SKIPIF 1 0 ，所以直线 SKIPIF 1 0 经过定点 SKIPIF 1 0 综上直线 SKIPIF 1 0 经过定点 SKIPIF 1 0 5如图，过顶点在原点、对称轴为 SKIPIF 1 0 轴的抛物线 SKIPIF

12、 1 0 上的点 SKIPIF 1 0 作斜率分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的直线，分别交抛物线 SKIPIF 1 0 于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点（1）求抛物线 SKIPIF 1 0 的标准方程和准线方程；（2）若 SKIPIF 1 0 ，证明：直线 SKIPIF 1 0 恒过定点【解答】（1）解：设抛物线的方程为 SKIPIF 1 0 ，则代入 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 抛物线 SKIPIF 1 0 的标准方程为 SKIPIF 1 0 ，准线方程为 SKIPIF 1 0 ；（2）证明：

13、设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则直线 SKIPIF 1 0 方程 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 方程 SKIPIF 1 0 ，联立直线 SKIPIF 1 0 方程与抛物线方程，消去 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 同理 SKIPIF 1 0 而 SKIPIF 1 0 直线方程为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 由，整理得 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1

14、 0 ， SKIPIF 1 0 ，故直线 SKIPIF 1 0 经过定点 SKIPIF 1 0 6已知动圆过定点 SKIPIF 1 0 ，且在 SKIPIF 1 0 轴上截得的弦 SKIPIF 1 0 的长为8（）求动圆圆心的轨迹 SKIPIF 1 0 的方程；（）已知点 SKIPIF 1 0 ，设不垂直于 SKIPIF 1 0 轴的直线与轨迹 SKIPIF 1 0 交于不同的两点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 轴是 SKIPIF 1 0 的角平分线，证明直线过定点【解答】解：（）设圆心 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，过点 SK

15、IPIF 1 0 作 SKIPIF 1 0 轴，垂足为 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，化为 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时，也满足上式 SKIPIF 1 0 动圆圆心的轨迹 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 （）设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 由题意可知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 轴是 SKIPIF 1 0 的角平分线， SKIPIF 1 0

16、 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，化为 SKIPIF 1 0 直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，化为 SKIPIF 1 0 ，化为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 直线 SKIPIF 1 0 过定点 SKIPIF 1 0 7已知抛物线 SKIPIF 1 0 的焦点为 SKIPIF 1 0 ，且点 SKIPIF 1 0 与圆 SKIPIF 1 0 上点的距离的

17、最大值为 SKIPIF 1 0 （1）求 SKIPIF 1 0 ；（2）已知直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 相交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，过点 SKIPIF 1 0 作平行于 SKIPIF 1 0 轴的直线 SKIPIF 1 0 交直线 SKIPIF 1 0 于点 SKIPIF 1 0 问：直线 SKIPIF 1 0 是否过 SKIPIF 1 0 轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由【解答】解：（1）由抛物线的方程可得焦点 SKIPIF 1 0 ，圆 SKIPIF 1 0 可得圆心 SKIPIF 1 0 ，半径

18、SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 到圆 SKIPIF 1 0 的最大距离为： SKIPIF 1 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 ；（2）由（1）得抛物线的方程为： SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，联立 SKIPIF 1 0 ，整理可得： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以直线 SKIPIF 1 0 的方程为： S

19、KIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，所以直线 SKIPIF 1 0 恒过 SKIPIF 1 0 轴上的一定点 SKIPIF 1 0 8已知直线 SKIPIF 1 0 与抛物线 SKIPIF 1 0 相交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，满足 SKIPIF 1 0 定点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是抛物线上一动点，设直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 与抛物线的另一个交点分别是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）求抛物线的方程；（2）求证：当

20、SKIPIF 1 0 点在抛物线上变动时（只要点 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 存在且不重合），直线 SKIPIF 1 0 恒过一个定点；并求出这个定点的坐标【解答】解：（1）设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，联立 SKIPIF 1 0 ，整理可得： SKIPIF 1 0 ，所以可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，进而可得 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，可得： SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，所以抛物线的方程为：

21、SKIPIF 1 0 ；（2）证明：设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 三点共线可得， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，整理可得： SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，同理可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 三点共线， SKIPIF 1 0 ，所以直线 SKIPIF 1 0 的方程： SKIPIF 1 0 ，整理可得

22、： SKIPIF 1 0 ，将 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的值代入直线方程可得： SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 解得： SKIPIF 1 0 ，所以直线 SKIPIF 1 0 过定点 SKIPIF 1 0 9在平面直角坐标系中，已知动点 SKIPIF 1 0 到点 SKIPIF 1 0 的距离为 SKIPIF 1 0 ，到直线 SKIPIF 1 0 距离为 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，记动点 SKIPIF 1 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 0 （1）求曲线 SKIPIF 1 0 的方程；（2）已知斜率之和为 SKIPIF

23、 1 0 的两条直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 相交于点 SKIPIF 1 0 ，直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 与曲线 SKIPIF 1 0 分别相交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 四点，且线段 SKIPIF 1 0 、线段 SKIPIF 1 0 的中点分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，问：直线 SKIPIF 1 0 是否过定点？若过定点，请求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由【解答】解：（1）因为动点 SKIPIF 1 0 到点 SKIPIF 1

24、0 的距离为 SKIPIF 1 0 ，到直线 SKIPIF 1 0 距离为 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，则动点 SKIPIF 1 0 到点 SKIPIF 1 0 的距离等于到直线 SKIPIF 1 0 的距离，所以点 SKIPIF 1 0 的轨迹为抛物线，其焦点坐标为 SKIPIF 1 0 ，故曲线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ；（2）设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的方程分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，联立方程组 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，

25、则 SKIPIF 1 0 ，同理可得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，则直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，整理可得 SKIPIF 1 0 ，故直线 SKIPIF 1 0 恒过定点 SKIPIF 1 0 10在平面直角坐标系 SKIPIF 1 0 中，已知动点 SKIPIF 1 0 到点 SKIPIF 1 0 的距离与它到直线 SKIPIF 1 0 的距离之比为 SKIPIF 1 0 记点 SKIPIF 1 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 0 （1）求曲线 SKIPIF 1 0 的方程

26、；（2）过点 SKIPIF 1 0 作两条互相垂直的直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 交曲线 SKIPIF 1 0 于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点， SKIPIF 1 0 交曲线 SKIPIF 1 0 于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，线段 SKIPIF 1 0 的中点为 SKIPIF 1 0 ，线段 SKIPIF 1 0 的中点为 SKIPIF 1 0 证明：直线 SKIPIF 1 0 过定点，并求出该定点坐标【解答】解：（1）设 SKIPIF 1 0 ，根据题意可得 SKIPIF 1 0 ，化简得曲线 SKIPIF 1

27、0 的方程为 SKIPIF 1 0 （2）证明：设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，若直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 都存且不为零，设直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，则直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时，这个方程变为 SKIPIF 1 0 只有一解，直线 SKIPIF 1 0 与曲线 SKIPIF 1 0 只有一个交点，不合题意，当 SKIPIF 1 0 时， S

28、KIPIF 1 0 ，直线 SKIPIF 1 0 与曲线 SKIPIF 1 0 恒有两个交点，由韦达定理， SKIPIF 1 0 ，故线段 SKIPIF 1 0 的中点为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，同理，线段 SKIPIF 1 0 的中点为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，此时，直线 SKIPIF 1 0 恒过点 SKIPIF 1 0 若 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1

29、 0 或 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，此时直线 SKIPIF 1 0 过点 SKIPIF 1 0 ，若直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 中其中一条的斜率为0，另一条的斜率不存在，不妨设 SKIPIF 1 0 的斜率为0，则直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，此时，直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，此时，直线 SKIPIF 1 0 也过点 SKIPIF 1 0 ，综上，直线 SKIPIF 1 0 也过点 SKIPIF 1 0 11已知曲线 SKI

30、PIF 1 0 上的任意一点到点 SKIPIF 1 0 的距离与到直线 SKIPIF 1 0 的距离相等（）求曲线 SKIPIF 1 0 的方程；（）若不经过坐标原点 SKIPIF 1 0 的直线 SKIPIF 1 0 与曲线 SKIPIF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，且 SKIPIF 1 0 求证：直线 SKIPIF 1 0 过定点【解答】（）解：因为曲线 SKIPIF 1 0 上的任意一点到点 SKIPIF 1 0 的距离与到直线 SKIPIF 1 0 的距离相等，根据抛物线的定义可知，曲线 SKIPIF 1 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 0 为

31、焦点，直线 SKIPIF 1 0 为准线的抛物线，故曲线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ；（）证明：设直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，联立方程组 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，因为线段 SKIPIF 1 0 为直线的圆过点 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 为直角三角形，故有 SKIPIF 1

32、 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，化简可得 SKIPIF 1 0 ，又因为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，因为直线 SKIPIF 1 0 不过原点 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，所以直线 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，所以直线 SKIPIF

33、1 0 恒过定点 SKIPIF 1 0 12已知双曲线 SKIPIF 1 0 的离心率为 SKIPIF 1 0 ，且该双曲线经过点 SKIPIF 1 0 （1）求双曲线 SKIPIF 1 0 的方程；（2）设斜率分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的两条直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 均经过点 SKIPIF 1 0 ，且直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 与双曲线 SKIPIF 1 0 分别交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 异于点 SKIPIF 1 0 ，若 S

34、KIPIF 1 0 ，试判断直线 SKIPIF 1 0 是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由【解答】解：（1）由离心率为 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即双曲线方程为 SKIPIF 1 0 又点 SKIPIF 1 0 在双曲线 SKIPIF 1 0 上， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 双曲线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ；（2）当直线 SKIPIF 1 0 的斜率不存在时，点

35、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 关于 SKIPIF 1 0 轴对称，设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，不符合题意，故直线 SKIPIF 1 0 的斜率存在不妨设直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，代入 SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SK

36、IPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，整理得： SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时，直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，经过定点 SKIPIF 1 0 ；当 SKIPIF 1 0 时，直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，经过定点 SKIPIF 1 0 ，

37、不符合题意综上，直线 SKIPIF 1 0 过定点 SKIPIF 1 0 13设 SKIPIF 1 0 是椭圆 SKIPIF 1 0 上异于长轴顶点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的任意一点，过 SKIPIF 1 0 作 SKIPIF 1 0 的切线与分别过 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的切线交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点已知 SKIPIF 1 0 ，椭圆 SKIPIF 1 0 的离心率为 SKIPIF 1 0 （1）求椭圆 SKIPIF 1 0 的方程；（2）以 SKIPIF 1 0 为直径的圆是否过 SKIPIF 1 0 轴

38、上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不过定点，说明理由【解答】解：（1）由题可知 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 （2）设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由于 SKIPIF 1 0 是异于长轴顶点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的任意一点，故切线斜率存在设过 SKIPIF 1 0 的椭圆的切线为 SKIPIF 1 0 ，联立方程 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，

39、结合 SKIPIF 1 0 ，解得过 SKIPIF 1 0 点的切线方程为 SKIPIF 1 0 由于分别过 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的切线分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的坐标为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，在 SKIPIF 1 0 轴上取点 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，所以，以 SKIPIF 1 0 为直径的圆过 SKIPIF 1

40、0 轴上的定点为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 14设 SKIPIF 1 0 为坐标原点，椭圆 SKIPIF 1 0 的焦距为 SKIPIF 1 0 ，离心率为 SKIPIF 1 0 ，直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点（1）求椭圆 SKIPIF 1 0 的方程；（2）设点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 0 过定点，并求出定点的坐标【解答】解：（1） SKIPIF 1 0 椭圆 SKIPIF 1 0 的焦距为 SKIPIF 1 0 ，离心率为 SKI

41、PIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 椭圆离心率为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，故椭圆 SKIPIF 1 0 的方程为： SKIPIF 1 0 （2）设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，联立 SKIPIF 1 0 ，消去 SKIPIF 1 0 整理得： SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF

42、 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，整理得： SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 （舍去），所以直线 SKIPIF 1 0 过定点 SKIPIF 1 0 15已知椭圆 SKIPIF 1 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，设点 SKIPIF 1 0 ，在 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ，周长为 SKIPIF 1 0 （1）求椭圆 SKIPIF 1 0

43、的方程；（2）设不经过点 SKIPIF 1 0 的直线 SKIPIF 1 0 与椭圆 SKIPIF 1 0 相交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，若直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 的斜率之和为 SKIPIF 1 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 0 过定点，并求出该定点的坐标【解答】（1）解：由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 的周长为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，联立，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 椭圆方程为 S

44、KIPIF 1 0 ；（2）证明：当直线 SKIPIF 1 0 的斜率不存在时，设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，此时 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 重合，不符合题意；当直线 SKIPIF 1 0 的斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 0 方程： SKIPIF 1 0 ，交点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1

45、 0 SKIPIF 1 0 ，依题： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 直线 SKIPIF 1 0 方程为： SKIPIF 1 0 ，则过定点 SKIPIF 1 0 16已知斜率为 SKIPIF 1 0 的直线经过点 SKIPIF 1 0 与抛物线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为常数）交于不同的两点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时，弦 SKIPIF 1 0 的长为 SKI

46、PIF 1 0 （1）求抛物线 SKIPIF 1 0 的标准方程；（2）过点 SKIPIF 1 0 的直线交抛物线于另一点 SKIPIF 1 0 ，且直线 SKIPIF 1 0 经过点 SKIPIF 1 0 ，判断直线 SKIPIF 1 0 是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由【解答】解：（1） SKIPIF 1 0 斜率为 SKIPIF 1 0 的直线经过点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 直线方程为 SKIPIF 1 0 ，联立 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 （舍 SKIPIF

47、1 0 或 SKIPIF 1 0 设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 弦 SKIPIF 1 0 的长为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，整理，得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 （舍 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 抛物线 SKIPIF 1 0 的标准方程为 SKIPIF 1 0 （2）设 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，代

48、入抛物线的方程，可得 SKIPIF 1 0 设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIP

49、IF 1 0 直线 SKIPIF 1 0 过定点 SKIPIF 1 0 17过点 SKIPIF 1 0 的动直线 SKIPIF 1 0 与抛物线 SKIPIF 1 0 相交于 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 两点，已知当 SKIPIF 1 0 的斜率为 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 （1）求抛物线 SKIPIF 1 0 的方程；（2）设圆 SKIPIF 1 0 ，已知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是抛物线 SKIPIF 1 0 上的两动点，且直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 都与圆 SKIPIF 1 0 相切 SKIP

50、IF 1 0 是坐标原点），求证：直线 SKIPIF 1 0 经过一定点，并求出该定点坐标【解答】解：（1）由题意可得直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，联立 SKIPIF 1 0 ，整理可得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0

51、 由可得 SKIPIF 1 0 ，所以抛物线的方程为 SKIPIF 1 0 ；（2）证明：显然直线 SKIPIF 1 0 的斜率存在，设直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，联立直线 SKIPIF 1 0 与抛物线的方程可得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，即 SK

52、IPIF 1 0 ，因为直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 都与圆 SKIPIF 1 0 相切，圆心到直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的距离相等，所以 SKIPIF 1 0 ，整理可得 SKIPIF 1 0 ，代入可得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，所以直线 SKIPIF 1 0 恒过定点 SKIPIF 1 0 18从抛物线 SKIPIF 1 0 上任意一点 SKIPIF 1 0 向 SKIPIF 1 0 轴作垂线段，垂足为 SKIPIF 1 0 ，点 SKIPIF

53、 1 0 是线段 SKIPIF 1 0 上的一点，且满足 SKIPIF 1 0 （1）求点 SKIPIF 1 0 的轨迹 SKIPIF 1 0 的方程；（2）设直线 SKIPIF 1 0 与轨迹 SKIPIF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 上异于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的任意一点，直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分别与直线 SKIPIF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，以 SKIPIF 1 0 为直径的圆是否过 SKIPIF

54、 1 0 轴上的定点？若过定点，求出符合条件的所有定点坐标；若不过定点，请说明理由【解答】解：（1）设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则点 SKIPIF 1 0 的坐标为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，（2分）即 SKIPIF 1 0 ，（3分）因为点 SKIPIF 1 0 在抛物线 SKIPIF 1 0 上，所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 所以点 SKIPIF 1 0 的轨迹 SKIPIF 1

55、0 的方程为 SKIPIF 1 0 （5分）（2）以 SKIPIF 1 0 为直径的圆过 SKIPIF 1 0 轴上的定点 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 理由如下：设直线 SKIPIF 1 0 与曲线 SKIPIF 1 0 的交点坐标为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 由韦达定理得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （7分）设点 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 所以直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 ，得点 SKIPIF 1

56、0 的坐标为 SKIPIF 1 0 （9分）同理可得点 SKIPIF 1 0 的坐标为 SKIPIF 1 0 （10分）如果以 SKIPIF 1 0 为直径的圆过 SKIPIF 1 0 轴某一定点 SKIPIF 1 0 ，则满足 SKIPIF 1 0 因为 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 故以 SKIPIF 1 0 为直径的圆过 SKIPIF 1 0 轴上的定点 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 （12分）19已知椭圆 SKIPIF 1 0 的右焦点为 SKIPIF 1 0 ，且经

57、过点 SKIPIF 1 0 （）求椭圆 SKIPIF 1 0 的方程；（）设 SKIPIF 1 0 为原点，直线 SKIPIF 1 0 与椭圆 SKIPIF 1 0 交于两个不同点 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ，直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 轴交于点 SKIPIF 1 0 ，直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 轴交于点 SKIPIF 1 0 若 SKIPIF 1 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 0 经过定点【解答】解：（）椭圆 SKIPIF 1 0 的右焦点为 SKIPIF 1 0 ，且经过点 SKIPIF 1 0 可得 SKI

58、PIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则椭圆方程为 SKIPIF 1 0 ；（）证明： SKIPIF 1 0 与椭圆方程 SKIPIF 1 0 联立，可得 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，令

59、 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即为 SKIPIF 1 0 ，即有 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，满足 SKIPIF 1 0 ，即有直线 SKIPIF 1 0 方程为 SKIPIF 1 0 ，恒过原点 SKIPIF 1 0 20已知椭圆 SKIPIF 1 0 ，四点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 中恰有三点在椭圆 SKIPIF 1

60、 0 上（1）求 SKIPIF 1 0 的方程；（2）设直线 SKIPIF 1 0 不经过 SKIPIF 1 0 点且与 SKIPIF 1 0 相交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点若直线 SKIPIF 1 0 与直线 SKIPIF 1 0 的斜率的和为 SKIPIF 1 0 ，证明： SKIPIF 1 0 过定点【解答】解：（1）根据椭圆的对称性， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点必在椭圆 SKIPIF 1 0 上，又 SKIPIF 1 0 的横坐标为1， SKIPIF 1 0 椭圆必不过 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIP