八上培优2等腰直角三角形与全等三角形

1、文档文档第2页(共5页)专业资料第2页(共5页)专业资料第1页（共25页）专业资料A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，AD为等边ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE=CF,BF+CE取得最小值时，ZAFB=(D0A.112.5B.105C.90D.82.53如图，ABC中，ZABC=45,AD丄BC于D,BE平分ZABC，且BE丄AC于八年级上学期培优辅导2等腰直角三角形与全等三角形1如图，在ABC中，ZABC=45AD,BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F,连接CF，则下列结论，BF=AC;ZFCD=45;若BF=2EC，则FDC周长等于AB的长;1其中

2、正确的有（若ZFBD=30,BF=2，贝UAF=E,与AD相交于点G,下列结论:DF丄AB于F,交BE于H.AD=BD;CE=BH;AE=BG;CD+AG=BD其中正确的序号是4如图，在RtAABC中，ZA=90/B=45；AC=4,D,E分别是B,AC的中点若RtADE绕点A逆时针旋转，得RtAADiEi,如图，设旋转角a(0aBG，又VAD=BD，/ADC=ZBDG，BHCE，故错误/.ZADC坐ABDG(ASA)，文档文档WORD文档第io页(共5页)专业资料第io页(共5页)专业资料专业资料第9页（共5页）DG+AG=AD,AD=BD,CD=GD,故答案为：.【点评】本题考查了等腰直角

3、三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，仔细分析图形并熟练掌握各性质是解题的鍵三解答题(共小题)4如图1，在RtAABC中，ZA=90/B=45；AC=4,D,E分别是B,AC的中点若RtADE绕点A逆时针旋转，得到RtAADiEi，如图2，设旋转角为a(0VaW180，记直线BDi与CEi的交点为P.求证：BD=CE;当ZCPDi=2ZCADi时，求CEi2的长V3_)连接PA，则APAB面积的最大为2+2(直接填写结果)【分析】(i)首先证明AC=AB，总感觉中点的性质即可证明EC=BD.延长BA交DiEi于F,如图2中，设AC交BDi于K只要证明ABDiAACEi，即

4、可推出ZCPDi=90推出/CADi=45推出ZBADi=i35。可得/DiAF=45=ZADiEi，再利用勾股定理即可解决问题；作PGMB，交AB所在直线于点G,由Di,Ei在以A为圆心AD为半径的圆上推出当BDi所在直线与相切时，直线BDi与CEi的交点P到直线AB的距离最大，由此即可解决问题；文档WORD文档专业资料专业资料【解答】解：(1)如图中，DB圉/.zCAD1=45zBADi=135.QiAF=45=ZADiEi,在RtKDiEi中，ADi=AEi=2,AF=DiF=DiEi=WyvADj+AE/7丄站FDi=90；Vza=90；ZB=45；11AC=AB,2=BDi2=BF2

5、+FDi2=20+8vEC=AC,BD=AB,C=DB.作PGMB，交AB所在直线于点G,(2)延长人交DiEi于F,如图中，_r/XJfTkTk.Di,Ei在以A为圆心AD为半径的设Ci交BDi于KPB/1KfJ7圆上，当BD所在直线与宓相切时，直线(AC二ARBDi与CEi的交点P到直线AB的距离iiVJrCAE二ZBADJi1最大，忑AfiL41二ad此时四形ADiPEi是正方形，PDi=2,BDi=2,在ZABDi禾和ZCEi中V3zABP=30:PB=2+2:2*/qv3点P到AB所在直线的距离的最大值ZABDiAACEi为：PG=i+.zABDi=ZACEi,CEi=BDiPAB的

6、面最大值ABXVzABK+ZAKB=90；-ZAKB=JCKP,zACP+/CKP=90PG=2+2,故答案为2+2第11页（共5页）zCPDi=90=90PEC，【点评】此题是几何变换综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题.5如图，E为菱形ABCD的边CD上任意点，将CE绕点E旋转一定角度后与AD平行.如图，若CE旋转后得到PE和NE,试判断下列结论是否成立？BD平分AN，成立；BD丄AP，成立(填写“成立”或“不成立”);证明(1)中你的判

7、断.若/ABC=60，AB=BM=J1，请直接写出CE的长度.D【分析】(1)根据题意、结合图形进行猜测；连接AC、PC、CN，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明ZECP=ZDCA，得到A、P、C三点共线，根据菱形的性质证明即可；根据菱形的性质和余弦的定义求出BH，得到HM，根据三角形中位线定理求出CN，根据余弦的定义求出PN，根据直角三角形的性质解答即可.【解答】解：(1)BD平分AN，成立；同理，ZDCA=90-ZADC，BD丄AP，成立,vPN/AD，故答案为：成立；成立ZPEC=ZADC，(2)连接AC、PC、CN，ZECP=ZDCA，vEP=EC，A、P、C三点共线,ZECP

8、=ZEPC，v四边形ABCD是菱形,ZECP=BD丄AC，vCE=PE=EN(M92#)匹即當Q6=N9d7vBXado/v文档WORD文档专业资料专业资料CNIIBD，又AH=HC,AM=MN，即BD平分AN;(3)四边形ABCD是菱形，丄:丄ABD=ZABC=30,3+V3BH=ABXcos30=+1iaI=I二-si|r+r/2-sIQ1VV丄.JriwlvAH=HC,AM=MN,CN=2HM=-1,CN6-2近“cos303PN=13/3石-Q-zCE=PN=【点评】本题考查的是菱形的性质、锐角三角函数的定义的应用，掌握菱形的四条边相等、每条对角线平分一组对角、锐角三角函数的定义是解题

9、的关键.6已知：如图，两个直角三角形ABC和厶BEF,ZABC=ZBEF=90AB=BC,BE=EF，连接AF，点M为AF的中点，连ME.如图1,当F在BC边上时，求证：CF=2ME;如图2,将厶BEF绕顶点B逆时针旋转一个角度，当F在厶ABC内部时，上述结论是否仍然成立？为什么？(3)如图3,将厶BEF绕顶点B逆时针旋转一个角度.B作BH丄ME于H,EH=2,BH=4,ME=5,求四边形当F在厶ABC外部时，过ACFEB的面积./jri/囹3【分析】(1)延长EF交AB于D,如图1，则可判断BED和厶BEF为全等的等第13页（共25页）VZEBF为等腰直角三角形延长E至G，且使EG=FE，连

10、接G，腰直角三角形，先证明ME为AFAD的中位线得到AD=2ME，再利用等腰直角三角形的性质和等量代换得到AD=CF，于是有CF=2ME;延长E到点G，使EG=EF，如風连结AG、BG，先证明ME为AFAG的中位线得到AG=2ME，然后证明ABGACBF得到AG=CF，所以CF=2ME;先判断出BHJME，再根据三垂直模型，得BHEEQF(AAS)，进而求出QH=2，即可得出结论【解答】证明：如图，延长E交AB于GZBEF=ZBEG=90，ZFBE=ZGBE=45在AFBE和GBE中ZBEF=ZBEGBE二BEZFBE=ZGBE.BEGBE(ASA)AG;v/BEF为等腰直角三角形F=EG又M

11、为AF的中点nME=AGZBFG为等腰直角三角形,/.zCBF=ZABG，BC=ABZCBF=ZABGIBF二BG在BCF和ABAG中，BF=BG，AB=CB/.ZBCFABAG(SAS)CF=AGCF=2MECF=AG(2)CF=2ME，理由：如图，M、E分别AF、FG的中点CF=2ME(3)如图延长E至G，且使EG=FE，连接G，AG;同(2)的方法得，ZBCFBAG(SAS)，zBCF=ZBAF,第14页（共5页）文档文档专业资料专业资料VzBAC+ZBCA=90,zCAG+ZACF=90CF1AG,.点M是AF的中点，AM=FM,VEF=EG,CFJME,zEQF=90,BHJME,z

12、BHE=ZEQF=90,zBEH+ZEBH=90,VzBEH+ZFEQ=90,左BH=ZFEQ,BE=FE,根据三垂直模型，得BHEEQF(AAS)BH=QE=4,MQ=54=1EH=2QH=42=2CF=2MECF=10.*S四边形CFEB=S梯形BHQC+2Sbeh=20.等腰三角形EF=EG，解（2）的坐AEQF（AAS）.【点评此题是四边形综题主要考查了全等三角形判定和性质，的判定和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出关键是判断出BCFBAG，解（3）的关键是判断出BHE已知，ABC中，AB=AC,ZBAC=90第15页（共5页）如图，若CD平分/ACB,BE1CD，垂足E在

13、CD的延长线上，试探究线段BE和CD的数量关系，并证明你的结论.如图，若点D在线段BC延长线上，ZEDB=ZACB,BEIDE，垂足为，CJrfa*DE与AB相交于点F,试探究线段BE和FD的数量关系，并证明你的结论.【分析】(1)如图1，证明ABMACD，得CD=BM，再证明MECABEC,得BE=EM，则E=CD;Jrawi(2)如图2,根据(1)作辅助线，证明DE/QC,利用(1)的结论即可【解答】解：(1)如图1,BE=CD,(2)如图2,BE=DF,理由是：理由是：BEJCD,/BEC=90,VzBAC=90,JrJrrJrzBEC=ZBAC,aCBcm/fxBBzEDB=ZADC,

14、zABM=ZACD,作ZACB的平分线，交BE于Q,交ABVAB=AC,ZBAM=ZBAC=90,于M,ZABM坐ZACD,丄由(1)得：BQ=MC,11CD=BM,zBDE=ZACB,ZBCM=ZACB,vdMCE=/BCE,EC=EC,/BEC=/zBDE=ZBCM,MEC=90/.ZMECBEC,BE=EM,n7oCQ/DE,丽市匹但,BEDFBM_CIbTdfWORD文档文档专业资料专业资料第16页（共5页）.BQBE1_=、一CMDE21_(O|MlBE=DF.【点评】本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的性质和判定，在证明线段的和、差及倍数关系时，如果这些线段不在同一直线上，可以利

15、用证明三角形全等，将线段转化到同一直线上，再证明其数量关系.如图，等腰ABC中，ZACB=90；AC=BC，点D在AB上,AD=AC，BE垂直于直线CD于点E.求ZBCD的度数；求证：CD=2BE;若点卍O是AB的中点，请直接写出BC、BD、CO三条线段之间的数量/关系.质求得BC=CH+BH=CO+/2BD即可.ry【解答】解：(1)等腰RtABC中,ZACB=90，CA=CB，zA=/CBA=45，AD=AC，zACD=67.5；zBCD=90ZACD=22.5；(2)作AH1CD于H，如图:jf*feTxBE1直线CD于E，AC=AD，CD=2CH，ZBEC=ZAHC=90，JZBCE+

16、如CA=ZHAC+ZDCA=90，ZBEC=ZAHC=90询E=AH，在CBE与ACH中，z.ZCBEACH(AAS)，【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质得出ZA=45利用等腰三角形进行解答即可；作AH1CD于H，根据全等三角形的判定和性质解答即可；过作DH1BC于点H，利用等CH=BE，C即CD=2CH=2BE如图,腰直角三角形的性质证得RtACOD坐RtCHD，得出CH=CO，进一步利用性第17页（共5页）过作DH_LBC于点H,，由(1)可知/BCD=22.5RtMOD坐Rt:HD,VO是AB的中点，/CH=CO,zBCO=45,返.zDbH=45,ZDHB=90,zDCO=ZHCD

17、=22.5；BH=BD；2DO=DH；BC=CH+BH=CO+BD.在RtACOD禾口RtCHD中；【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用等腰三角形的角度与边之间的关系是解决问题的关键已知，在ABC中，CA=CB；CA、CB的垂直平分线的交点O在AB上，M、N分别在直线AC、BC上，ZMON=ZA=45(1)如图，若点M、N分别在边AC、BC上，求证：N+MN=AM;AM之间的数量关系，请写出你的结论(不/、AZX图fBJrJr求证明xXX、(2)如2若点M在边AC上，点N在BC边的延长线上，试青想N、MN、【分析】(1)连接O,在线段AM上截取AQ=CN，连接Q，

18、由O为CA、CB的垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得到OA=OB=OC，又AC=BC得U/A=ZB=45再根据三线合一的性质得到CO与AB垂直且CO为顶角的平分线，由ZA和/B求出ZACB为直角，得到ZOCB也为45禾【J用SAS得到三角形AOQ与三角形CON全等，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得到OQ=ON，ZAOQ=/CON，等量代换得到ZQON为直角，又ZMON为45所以ZQOM也为45得两角相等，然后由OQ=ON，求出的两角相等，OM为公共边，利用SAS得到三角形OQM与三角形MON全等，根据全等三角形的对应边相等得到QM=MN，由AM=AQ+

19、QM，等量代换即可得证；第18页（共25页）文档文档专业资料专业资料(2)在CA的延长线上截取AQ=CN,由QM=AQ+AM，等量代换得证.【解答】解：(1)连接C,在AM上截取AQ=CN，连接Q,vOCA、CB的垂直平分线的交点，.qc=oa=oBVAC=BC,/OC!AB,CO平分ZACB,.公/b=45即/ACB=90,/QCN=45,即ZOCN=ZA=45；在/AOQ和ON中，AQ二CN.-qm=NM,IZA=ZOCNIoA=OC/ZAOQACON(SAS),OQ=ON,ZAOQ=/CON,VOC1AB,同(1)利用两次全等即可得到QM=MN,虫OC=ZAOQ+ZCOQ=90,/.zC

20、ON+/COQ=90,即/QON=90,又/MON=45,/zQOM=45,在AQOM和ANOM中，;OQ=ONZM0N=ZQ0M.OM=OM/ZQOM坐ANOM(SAS),MM=aq+qm=cn+mn；(2)MN=AM+CN.图1【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，线段的和、差、倍、分问题常情况下先在较长的线段上截取一段与其中一条线段相等，然后构造全等三角形证明剩下的线段与另一条线段相等，本题的突破点是截取出AQ=CN，构造全等三角形，证明QM=NM.10如图，在AABC中，CA=CB,/ACB=90:DAB的中点，M,N分别为AC,BC上的点，且DM1DN.求证：CM+CN=BD;如

21、2若M，N分别在AC、CB的延长线上，探究CM、CN、BD之间的数量关系.第19页(共5页)图1【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰直角三角形斜边上的中线性质得至到ZA=ZB=/ACD=/DCB=45,AC=BC,CD1AB,CD=BD=AD，再利用等角的余角相等得到/CDM=ZBDN，然后根据ASA可”断ACMDABDN，则M=BN;（2）根据等腰直角三角形的性质和等腰直角三角形斜边上的中线性质得到ZA=ZB=ZACD=ZDCB=45,AC=BC,CD1AB,CD=BD=AD，求出ZDCM=ZDBN=135,然后根据Asa可判断dcmdbn，推出cm=bn即可.图I虫CB是等腰直角三

22、角形，D为斜边AB的中点，在RtCDB中，ZCDB=90,CD=BD,由勾股定理得：BC=BD,ZA=ZB=ZACD=ZDCB=45,AC=BC,CD1AB,CD=BD=AD,/.zCDB=90,TDM1DN,JMDN=90,/.JMDC=ZBDN=90-ZCDN,在CMD和口ABND中，fZCDM=ZNDBCD=BDZMCD=ZBZCMD坐ABND(ASA),即CM+CN=BN+CN=BC=BD;(2)解：CN-CM=BD,理由是：如图，连接D,daAlXXzX.ZVs.*XJrI丿*JFTkC5VZACB是等腰直角三角形，D为斜边AB的中点，DM=BN,第20页（共5页）【解答】证明：（1

23、）如图，连接D,ZA=ZB=ZACD=ZDCB=45,AC=BC,CD1AB,CD=BD=AD,zCDB=90,ZDCM=/DBN=135,DM1DN,/.JMDN=90,/.JMDC=ZBDN=90-ZCDN,在CMD禾和BND中，ZCDMZNDBCD二BD，Zmcd二ZbZCMD坐ABND(ASA),DM=BN,在RtCDB中，ZCDB=90,CD=BD,由勾股定理得：BC=BD,即CN-CM=CN-BN=BC=BD.【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，能推出CMDBND是解此题的关键注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS，全

24、等三角形的对应边相等，对应角相等.11如图，在等腰三角形RtABC中，ZACB=90；AC=BC,M、N在斜边上，且/MCN=45.(1)将厶BCN绕点C按顺时针繭转90得MCP，连接P(如图).BBNAMMN(2)如求证：MN题中点N仍在线段B上，而点M在BA的延长线上时，试判Z/之间的数量关系并说明理由.*试说明ZPCM=ZNCM的理由;【分析】(1)将BCN绕点C按顺时针:向旋90得ACP,连接P，根据SAS证得MCPMCN，得出MP=MN，再根据ZPAM=ZCAP+ZCAB=90，运用勾2=AM=AM2+BN2;+AP2，进而得至UMN2=AM2+BM2;股定理得出RtMPM中，PM(

25、2)将厶BCN绕点C按顺时针:向旋90得ACP，连接P,得出ZPCN=ZWORD文档WORD文档专业资料专业资料ACB=90；PC=NC,AP=BN,JCAP=ZB=45根据SAS证得MCPMCN，进而得出MP=MN，再根据/PAB=ZCAP+ZCAB=90,得到ZPAM=90,在RtAAPM2=AM2+AP2，进而得出MN2=AM2+BM2中，根据勾股定理得到PM第21页（共5页）文档文档第22页（共5页）专业资料第22页（共5页）专业资料【解答】解：（1）如图2，将ABCN绕点C按顺时针方向旋转90得ACP,（2）MN2=AM2+BM2,连接P,理由：如图，将BCN绕点C按顺时ZBCN=Z

26、ACP,在ABC中,ZACB=90,ZMCN=45,虫CM+ZBCN=45,虫CP+ZACM=45,/.zPCM=ZNCM;证明：由旋转可得CAPCBN,AP=BN,PC=NC,ZCAP=ZB=45；,在AMCP和ZJMCN中；PC=NCAMCN(SAS)；CM=CMZMCPMCN(SAS)；MP=MN；VzPAM=ZCAP+ZCAB=90；Rt/APM中；PM2=AM2+AP2；MN2=AM2+BM2;针方向旋转90得渔CP；连接P；贝UZPCN=ZACB=90；PC=NC；AP=BN；ZCAP=ZB=45；vZMCN=45；启CM=9045=45；zPCM=ZNCP；在MCP和MCN中；Z

27、PCM=ZNCMCM=CMMP=MN；tZAB=ZCAP+ZCAB=90；ZAM=90；Rt/APM中；PM2=AM2+AP2；mn2=am2+bm2【点评】此题属于三角形综合题；主要考查了旋转的性质；等腰直角三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定与性质的综合应用解题的关键是运用旋转前、后的图形全等解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质.文档文档第 页(共5页)专业资料第 页(共5页)专业资料12在等腰Rt/ABC中，/BAC=90；AB=AC，点P为AC上一点，M为BC上一占八、若AMIBP于点E.如图BP为MBC的角平分线，求证：PA=PM