信号与系统signal第四章

1、 第四章 连续系统的复频域分析 拉普拉斯变换 常用函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯反变换 线性系统的复频域分析法 线性系统的模拟（框图） 信号流图 稳定性的判定 傅立叶分析工具在研究信号和线性时不变系统的很多问题时，是极为有用的。但傅立叶变换有不足之处。1、要求信号f(t)绝对可积。而有些常用信号不满足该条件。2、有些重要函数如eat (a0) 的傅立叶变换不存在，无法用傅立叶分析方法处理。而拉氏变换作为傅氏变换的推广，解决了上述不足。4-1 拉普拉斯变换一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换傅立叶变换定义:当函数f(t)不满足绝对可积条件时，将f(t)乘以衰减因子e-t ( 为一

2、实常数 ) ，恰当地选取 的值就可以使f(t)e-t 变得绝对可积，即:其中e-t称为收敛因子令s=+j因为上式中t为积分变量,故积分结果必为s的函数拉普拉斯正变换用傅立叶反变换的定义方法推出拉氏反变换令s=+j，因为常数，所以d = 1/j ds，且当时，s j 进行积分换元两边同乘et拉普拉斯反变换二、拉普拉斯变换定义1、双边拉普拉斯变换s称复频率，Fb(s)称信号的复频谱2、单边拉普拉斯变换f(t)为有始函数，即t0，幅度发散 0 ，0称为收敛坐标00j3、指数阶函数 凡是满足的函数称为指数阶函数只讨论单边拉氏变换1、单位阶跃信号u (t)3、指数函数e-t4、幂指数信号 tn n为正整

3、数 基本信号的拉氏变换2、冲激函数(t) (t) 15、正弦函数1、线性性质若f1(t)F1(s) f2(t)F2(s)则a1 f1(t)+a2 f2(t) a1 F1(s)+a2 F2(s) 其中: a1 、 a2为常系数 2、时间平移若 f(t)F(s) 4-2 拉氏变换的基本性质及反变换则t00例4-2.1 周期函数f(t)，周期为T，若f1(t)表示从t=0开始的第一个周期的波形，且f1(t)的拉氏变换为F1(s)，求f (t)的拉氏变换解: f (t) f1(t) f1(t-T)u(t-T) f1(t-2T) u(t-2T)+ 因为 f1(t) F1(s) 由时移特性有：3、s域平移

4、则若 f(t)F(s) 4、时域积分则若 f(t)F(s) 5、时域微分则若 f(t)F(s) 当f(0-), f(0-), f(n-1)(0-)均为0，此时7、时域卷积定理若 f1(t)F1(s) f2(t)F2(s) 则 f1(t)* f2(t) F1(s)F2(s)上式表明：两函数在时域中的卷积，等效于复频域中两函数拉氏变换的乘积证明：6、s域微分特性则若 f(t)F(s) 例4-2.2 已知求f(t)解:F(s)的分母D(s)=s2+3s+2=(s+1)(s+2) D(s)=0有两个互异实根 将F(s)展开为部分分式：拉氏反变换所以 f(t)=e-t-e-2tu (t)例4-2.3 已

5、知求f(t)用直接配方法4-4 线性系统的复频域分析LTIf(t)y(t)用复频域分析法求y(t) =?f(t) =est由时域分析知， yf(t) =f(t) h(t)= est h(t) =h(t) est系统复频域传递函数，简称传递函数、系统函数。所以 yf(t) = est H(s)LTIest est H(s)f(t)为一般信号LTILTIf(t)yf(t)=L-1H(s)F(s)用复频域分析法求解系统零状态响应的步骤:(1)求输入信号f(t)的拉氏变换F(s)(2)求系统函数H(s)(3)求响应yf(t)的拉氏变换Yf(s) =H(s)F(s)(4)求Yf(s)的拉氏反变换yf(t

6、)例4.4-1 已知输入f(t)=e-tu(t)，系统传递函数求:系统零状态响应yf(t)解：输入信号的拉氏变换零状态响应的拉氏变换Yf(s)=H(s)F(s)所以 yf(t)=2e-t-3e-2t+e-3tu(t)因为H(s)的特征根为: s1=-2, s2=-3所以自由响应分量： -3e-2tu(t)+e-3tu(t)强迫响应分量： 2e-t u(t)例4.4-2 已知一系统的单位阶跃响应为使其零状态响应求输入f(t)例4.4-3 某系统的系统函数该系统的单位阶跃响应系统的终值是1。试问该系统对何种激励的零状态响应为，H0为常数例4.4-4 某线性系统，在初始条件相同的情况下，当激励为f1

7、(t)=(t)时，其全响应为y1(t)= (t) +e-t t0 ； 当激励为f2(t)=u(t)时，其全响应为y2(t)=3e-t t0 ；求当激励为f3(t)=tu(t)-(t-1)u(t-1)-u(t-1)时，全响应y3(t)解:(1)求系统传递函数H(s)和零输入响应Yx(s)Y1(s)=H(s)F1(s)+Yx(s)Y2(s)=H(s)F2(s)+Yx(s)代入上式有：因为解得：所以零输入响应yx(t)=2e-t(4)求y3(t)因为f3(t)=tu(t)-(t-1)u(t-1)-u(t-1)G(s)=H(s)F4(s)y3f(t)=(1-e-t)u(t)-1-e-(t-1)u(t-

8、1)-e-(t-1)u(t-1)g(t)=e-tu(t)(3)求激励为f5(t)=tu(t)时系统的零状态响应s(t)S(s)=H(s)F5(s)s(t)=(1-e-t)u(t)=f5(t)-f5(t-1)-f4(t-1)所以系统的零状态响应y3f(t)=s(t)-s(t-1)-g(t-1)全响应 y3(t)=yx(t)+y3f(t)(2)求激励为f4(t)=u(t)时系统的零状态响应g(t)=2e-t+(1-e-t)u(t)-1-e-(t-1)u(t-1)-e-(t-1)u(t-1)例4.4-5 已知一线性系统的传递函数H(s)为: 初始条件y(0-)=1, y(0-)=2，激励为f(t)=

9、e-3tu(t)，求全响应y(t)。解: (1)求yx(t) 系统函数H(s)的极点为: p1=-1 p2=-2 所以yx(t)=A1e-t+A2e-2t 确定A1、A2，代入初始值得: A1+A2=1-A1-2A2=2A1=4A2=-3所以yx(t)=4e-t-3e-2t t 0(2)求yf(t)yf(t)=e-t-e-2tu(t)(3)全响应 y(t)= yx(t) +yf(t)=5e-t-4e-2t t 0例4.4-6 某线性系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=2f(t)+8f(t) 激励为f(t)=e-tu(t) 初始条件y(0-)=3, y(0-)=2 用复频域法求:(1)系统的零输入响应yx(t) (2)系统的零状态响应yf(t) (3)全响应y(t)解:对微分方程两边取拉氏变换，有 s2Y(s)-sy(0-)-y(0-)+5sY(s)-y(0-)+6Y(s) =2sF(s)-2