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文档简介

1、一、余弦定理余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦222222c a b 2abC .222为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:A222 证法一:如图 1,在ABC中,由 可得:C2222AB1222证法二:本方法要注意对A进行讨论.A2222222(2)当A是锐角时,如图 2-1,过点C作CD AB,交于点D,则在RtACD中,ADbcosA,CDbsinA.C 222(cbcosA) (bsin A)22ADB2图2-1.下载可编辑.222说明:图 2-1 中只对 是锐角时符合,而 还可以是直角或钝角.若 是直角,图中的BBBBBDA在 Rt

2、ACD中,bAC222(cbcosA) (bsin A)222ABD222222ADCBDAD在RtABD中,sin ccDCDAD在RtACD中,sin bbAB3 2cb2 2 c b 222222222222222abcc A B C AB).下载可编辑.A将,平方相加可得a (cbcos) (bsin ) b c bccosA.22222222证法五:建立平面直角坐标系(如图 4),则由题意可得yCA可得a (cbcosA) (bsin A) c 2cbAb .22222xA(O)B图4222证法六:在ABC中,由正弦定理可得a 2RsinA,b2RsinB,c2RsinC.于是,a

3、4R sin A 4R sin (BC)22222 4R (sin Bcos C cos Bsin C 2sin BsinCcosBcosC)22222 4R (sin Bsin C2sin Bsin C2sin BsinCcosBcosC)22222 4R (sin Bsin C 2sin BsinCcos(BC)222 4R (sin Bsin C 2sin BsinCcos)222(2RsinB) (2RsinC) 2(2RsinB)(2RsinB)cos A2222222 4R sin A4R sin B4R sin C8R sinBsinCA2222222 2sin A2sin B2sin C4sin BsinCA222 2sin A2cos2Bcos2C4sin BsinCA2 22cos A 22cos(BC)cos(BC)4sin BsinCcos A2 cos Acos(BC)cos(BC)2sin BsinCcosA2.下载可编辑.FFEAcaGbbAC由相交弦定理可得: ,bc bA cb a b aD5222证法九:如图6,过C作CD,交ABC的外接圆于D,则AD BC a,BD AC b.的垂线,垂足分别为 , ,则E FAACDbaa222证法十:由图 7-1 和图7-2 可得a (cbcosA) (bsin

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